E139 - Les indices s’indicent

Des entiers positifs a₁ = 12, a₂, a₃,…. sont en progression arithmétique de raison > 1. Il existe un

entier k tel que = 2000. En déduire

Renommons a(k) la progression et soit r sa raison : donc a(k)=(k-1)r+12, a(a(k))=(a(k)-1)r+12=((k-1)r+11)r+12=(k-1)r²+11r+12 ;

a(a(a(k)))=((k-1)r²+11r+11)r+12=(k-1)r³+11r(r+1)+12 : ce nombre est congru à 12 modulo r, donc r est un diviseur de 2000-12=1988=2²*7*71, soit 1, 2, 4, 7, 14, 28, 71, ...

14³ étant déjà supérieur à 2000, les seules possibilités pour r sont donc 2, 4 et 7.

(k-1)r³=1988-11r(r+1)

Pour r=2, 11r(r+1)=66 et 1988-66=1922 n’est pas divisible par 2³.

Pour r=4, 11r(r+1)=220, 1988-220=1768=2³*13*17 qui n’est pas divisible par 4³ Pour r=7, 11r(r+1)=616 et 1988-616=1372=4*7³ :

donc k=5, a(5)=40, a(40)=285, a(285)=2000, a(2000)=14005

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