E139-Les indices s’indicent Des entiers positifs

E139-Les indices s’indicent

Des entiers positifs 𝑎₁ = 12, 𝑎₂, 𝑎₃, …. sont en progression arithmétique de raison >

1. Il existe un entire 𝑘 tel que 𝑎_𝑎

𝑎𝑘 = 2000. En déduire 𝑎_𝑎

𝑎𝑎𝑘.

Solution de Kee-Wai Lau

Soit 𝑟 > 1 la raison de progression arithmétique. Alors 𝑎_𝑘 = 12 + (𝑘 − 1)𝑟, et

2000 = 𝑎_𝑎

𝑎𝑘

= 12 + (𝑎_𝑎𝑘− 1)𝑟

= 12 + (11 + (𝑎_𝑘− 1)𝑟)𝑟

= 12 + (11 + (11 + (𝑘 − 1)𝑟)𝑟)𝑟

= 12 + 11𝑟 + 11𝑟²+ (𝑘 − 1)𝑟³.

Ainsi

𝑘 = 1 + 1988 − 11𝑟 − 11𝑟²

𝑟³ .

De 𝑘 > 1, on a 𝑟 ≤ 12. Il est facile de verifier que 𝑘 est un entier si et seulement

si 𝑟 = 7 avec 𝑘 = 5. Par conséquence,

𝑎_𝑎

𝑎𝑎𝑘 = 𝑎₂₀₀₀= 12 + 7(2000 − 1) = 14005.