• Aucun résultat trouvé

A513. Puissances parfaites en progression arithmétique

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "A513. Puissances parfaites en progression arithmétique"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

A513. Puissances parfaites en progression arithmétique

Trouver cinq puissances parfaites distinctes toutes positives en progression arithmétique et démontrer qu'il existe une progression arithmétique de 2008 puissances parfaites distinctes.

Source : d'après olympiades de mathématiques en Italie.

Solution

Proposée par Fabien Gigante

Montrons par récurrence sur qu’il existe une progression arithmétique de puissances parfaites distinctes.

Pour 1, une puissance parfaite quelconque , avec 1 et 1, convient.

Supposons la propriété vraie au rang : , tels que 0, 1, , avec 1 et 1.

Posons , ce qui implique

entier. Posons et ’ . Il vient alors :

• !0, 1", # # # avec #

( ) 1

• # # *+ #,- avec , 1 et , 1 1 On a construit ainsi une progression arithmétique de 1 puissances parfaites distinctes.

La propriété est donc vraie au rang 1, ce qui conclut la récurrence.

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 31.50 KB )

Documents relatifs

Sur la somme des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique

En ouire, plusieurs géo- mètres (*) ont donné diverses expressions de ffn^en fonc- tion explicite de ra, mais la loi de formation des coeffi- cients est assez compliquée. PÉPIN,

Sur trois carrés, lorsqu'ils sont en progression arithmétique

—Lorsque trois nombres premiers, dont 7 ne fait point partie, ont leurs carrés en progression arithméti- que, la raison est toujours un multiple de 2 3 X 3 X 5 X 7 - Cette

Sur quatre nombres en progression arithmétique dont les extrêmes et un moyen sont des carrés

on s'assure que, si elles ont un diviseur commun, ce doit être 3; or, lorsque ni /?, ni q n'est multiple de 3, si les restes de leur division par 3 sont égaux, a n'admet point

Remarques sur quelques produits dont les facteurs sont en progression arithmétique

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation ( http://www.numdam.org/conditions ).

Théorème sur les équations algébriques et sur une progression arithmétique

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation ( http://www.numdam.org/conditions )..

Forme remarquable que peut prendre l'équation qui donne la somme des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique

Forme remarquable que peut prendre l’équation qui donne la somme des puissances semblables des termes d’une progression arithmétique.. Nouvelles annales de mathématiques 1 re

Note sur la somme des puissances semblables de plusieurs nombres en progression arithmétique, et sur quelques propriétés des nombres premiers

La formule, au moyen de laquelle on calcule la somme s m des puissances entières du degré m de plusieurs nom- bres a, b 9 c, ...k, Z, en progression arithmétique est :.

Sur les déterminants dont les éléments principaux varient en progression arithmétique

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation ( http://www.numdam.org/conditions )..