Enonc´e noE115 (Diophante)
Un impair, deux pairs, trois impairs...
On consid`ere la suite strictement croissante des entiers naturels qui com- mence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4, puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5, 7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc.
Trouver le 2009i`eme terme puis donner la formule exprimant len-i`eme terme en fonction de n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les deux questions se traitent mieux dans l’ordre inverse.
J’appelle bloc chaque s´equence de termes de mˆeme parit´e.
Lek-i`eme bloc comprendktermes de mˆeme parit´e quek; la diff´erence entre son dernier terme et le dernier terme du bloc pr´ec´edent est 2k−1 (un ´ecart de 1 et k−1 ´ecarts de 2), ce qui explique que la suite des termes “fins de bloc” 1, 4, 9, . . ., soit identique `a la suite des carr´es.
Le rang du dernier terme duk-i`eme bloc est 1 + 2 +. . .+k=k(k+ 1)/2.
Ainsi len-i`eme terme appartient au k-i`eme bloc si
k(k−1)/2< n≤k(k+ 1)/2, soit (2k−1)2 <8n+ 1≤(2k+ 1)2, d’o`uk=dp2n+ 1/4−1/2e.
Cen-i`eme terme est s´epar´e de la fin du bloc (de valeur k2) par k(k+ 1)/2−n´ecarts de 2, il vaut donc
k2−k(k+1)+2n= 2n−k=b2n+1/2−p2n+ 1/4c=b(p2n+ 1/4−1/2)2c Pour n= 2009, on obtient b(√
4018,25−0,5)2c= 3955.
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