(1)Enonc´e noA232 (Diophante) Chi va piano, va sano e va lontano On consid`ere la s´equence de nombre entiers d´efinie par son premier terme a(1

Enonc´e n^oA232 (Diophante) Chi va piano, va sano e va lontano

On consid`ere la s´equence de nombre entiers d´efinie par son premier terme a(1) = 0 et la relation de r´ecurrence suivante :

• a(n) =a(n−1) + 1 si le plus grand diviseur impair denest de la forme 4k+ 1,

• a(n) =a(n−1)−1 si le plus grand diviseur impair denest de la forme 4k+ 3.

D´emontrer que cette s´equence contient au moins 2009 fois l’entier 2009.

Nota : il ne faut pas ˆetre press´e pour trouver l’entier 2009 la premi`ere fois mais il est bien connu : Chi va piano. . .

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soit c(n) le nombre qui vaut +1 ou −1 selon que le plus grand diviseur impair de nest de la forme 4k+ 1 ou 4k+ 3, en sorte que

a(n) =a(n−1) +c(n) sin >1. On ac(2m) =c(m).

Commec(1) = 1,^Pn_k=1c(k) =c(1) +a(n)−a(1) = 1 +a(n).

Si iest impair, c(i) +c(4m−i) = 0. Ainsi, dans 1 +a(4m) =^P4m_k=1c(k),

les contributions des k impairs s’annulent, et 1 +a(4m) =^P2m_k=1c(2k) =^P2m_k=1c(k) = 1 +a(2m), donc a(4m) =a(2m).

Commec(2) =c(1) = 1, a(2) = 1 eta(2^k) = 1 pour k≥1.

Je consid`ere maintenant la suite u<sub>q</sub> d´efinie par u<sub>1</sub>= 1, et la r´ecurrence uq+1 = 4uq+ 1, d’o`u uq = (4^q−1)/3.

a(2u_q+1) =c(8u_q+ 2) +c(8u_q+ 1) +a(8u_q) = 2 +a(2u_q), puis a(2u_q+1)−2(q+ 1) =a(2u_q)−2q =. . .=a(2u₁)−2 =−1, donc a(2uq) = 2q−1.

D’autre part

a(uq+1) =c(4uq+ 1) +a(4uq) = 1 +a(2uq) = 2q.

La suite. . . ,2^2q−2, uq,2^2q−1,2uq,2^2q, uq+1,2^2q+1, . . . est strictement crois- sante pourq > 1. Il y correspond, pour la s´equence des nombres a(n), la sous-s´equence

. . ., 1, 2q−2, 1, 2q−1, 1, 2q, 1, . . .

Soit x₁ < x₂ < . . . la suite croissante des solutions de l’´equation a(x) = 2009.

On voit quex= 2u1005 est une solution, doncx1≤2u1005 <2²⁰¹⁰. Ensuite, la s´equencea(n) atteint 2010 pourn=u₁₀₀₆, et comme elle varie par pas de 1, en revenant `a 1 pour les puissances de 2, elle passe deux fois (au moins) par la valeur 2009 entre 2²⁰¹⁰ et 2²⁰¹¹, de mˆeme qu’entre 2²⁰¹¹ et 2²⁰¹², etc.

Il en r´esulte que 2009 sera apparu au moins 2009 fois dans la s´equence a(n) entre n= 1 etn= 2³⁰¹⁴.

Autrement dit,x₂₀₀₉≤2³⁰¹⁴.

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