A232. Chi va piano, va sano e va lontano
Montrons que sin>1 s’écritbj. . . b0en binaire, alorsa(n) =
j−1
X
i=0
|b(i+ 1)−b(i)|. C’est trivialement vrai pourn= 1.
Sin= 2pqoùqest le plus grand diviseur impair den,alorsa(n) =a(n−1) + 1 siqs’écrit. . .01 en binaire eta(n) =a(n−1)−1 siq s’écrit. . .11 en binaire.
Examinons les différents cas selon la terminaison den−1 :
n−1 n a(n)−a(n−1)
. . .00 . . .01 +1
. . .001 . . .010 +1
. . .101 . . .110 -1
. . .10 . . .11 -1
. . .001· · ·1 . . .010· · ·0 +1 . . .101· · ·1 . . .110· · ·0 -1
111· · ·1 1000· · ·0 +1
Dans tous les cas, a(n)−a(n−1) correspond aussi à l’ajout (+1) ou à la suppression (-1) d’un élément parmi 01 ou 10 (en souligné dans le tableau), le reste étant inchangé (ou éventuellement déplacé mais sans en changer le nombre, pour être plus précis).
Ainsi pour tout entier j > 1, nous avons a 2j−1
= 0 (minimum local) et selon la parité du nombre de chiffres de l’écriture binaire den:
a 10· · ·10
=a
j−1
X
i=0
22i+1
!
=a
22j+1−2 3
= 2j−1 (maximum local)
a 101· · ·01
=a
j−1
X
i=0
22i
!
=a
22j−1 3
= 2j−2 (maximum local)
Par le théorème des valeurs intermédiaires version discrète, le pas étant de±1, nous sommes assurés que chaque entier sera présent une infinité de fois dans cette suite.
L’entier 2009 apparaîtra la première fois pourn=
1004
X
i=0
22i+1 = 220113−2 qui est un nombre de 605 chiffres !
Remarque :a(n) =A037834(n).
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