A232. Chi va piano, va sano e va lontano
On considère la séquence de nombre entiers définie par son premier terme a(1) = 0 et la relation de récurrence suivante :
- a(n) = a(n-1) + 1 si le plus grand diviseur impair de n est de la forme 4k + 1 - a(n) = a(n-1) - 1 si le plus grand diviseur impair de n est de la forme 4k + 3.
Démontrer que cette séquence contient au moins 2009 fois l'entier 2009.
Nota : il ne faut pas être pressé pour trouver l'entier 2009 la première fois mais il est bien connu : Chi va piano....
Nous avons donc a(2)=1, a(3)=0, a(4)=1, a(5)=2, a(6)=1, a(7)=0, a(8)=1, a(9)=2, a(10)=3, a(11)=2, a(12)=1, a(13)=2, a(14)=1, a(15)=0, etc...
On a a(2p+1)-a(2p)=(-1)p+1: la suite a augmente et diminue alternativement d’une unité à chaque nombre impair; il en est de même à chaque double d’impair, à chaque quadruple d’impair, etc... La valeur de a(n) est donc liée aux parités des nombres d’impairs, de doubles d’impairs,.. , compris entre 1 et n.
Soient fn =2n-1, et gn=2n +2n-2 +...+2n-2[n/2]. On a donc fn <gn <fn+1 < gn+1 et a(fn)=0, puisqu’entre 1 et fn, il y a un nombre pair d’impair, de doubles d’impairs, etc... De même a(gn)=n, puisqu’entre 1 et gn , il y a un nombre impair d’impairs, de doubles d’impairs, etc...
La fonction a est une fonction entière «continue», c’est à dire que si p<q et a(p)≠a(q), pour tout b compris entre a(p) et a(q), il existe au moins r compris entre p et q tel que a(r)=b. Pour tout N entier, la fonction a atteint la valeur N pour la première fois pour gN , et pour tout n>N, fn<gn<fn+1 , avec a(fn )=a(fn+1 )=0, et a(gn )=n>N, donc la fonction a passe par la valeur N pour un entier compris entre fn et gn et un entier compris entre gn et fn+1 .
Il en résulte, que la fonction a passe par la valeur N un nombre infini de fois.
