H164 – A la recherche des extrêmes [**** à la main]
Après avoir donné à Zig le nombre entier z > 4 et à Puce le nombre entier p > 4, Diophante invite chacun d’eux à tracer sur le recto d’une feuille de papier puis sur le verso respectivement z points et p points, trois points quelconques n’étant jamais sur la même droite, de manière à obtenir sur le recto le plus grand nombre possible de quadrilatères convexes et sur le verso le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes.
Q₁ Zig constate qu’il a tracé au total 45 quadrilatères de plus que Puce. Déterminez z et p en justifiant vos réponses Donnez une illustration des configurations obtenues par les deux comparses.
Q₂ Cher lecteur, avec un point de plus que Zig, déterminez le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes que vous pouvez tracer. Donnez une illustration de la configuration ainsi obtenue.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁ et Q₂
Nombre maximum de quadrilatères convexes obtenus avec n > 4 points qui sont les sommets d’un polygone régulier = C(n,4) = n(n-1)(n-2)(n-3)/24
Nombre minimum de quadrilatères convexes obtenus avec n > 4 points : il est identique au nombre minimum de croisements dans un graphe à n sommets : A014540 de l’OEIS (voir annexe)
Pour plus de détails voir :
http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Topologi/Crosnber.htm Rectilinear crossing number of complete graph on n nodes.
file:///C:/Users/PORTABLE/AppData/Local/Temp/A_Lower_Bound_for_the_Rectilinear_Crossing_Number.
D’où le tableau :
89 – 44 = 45 z = 8 et p = 7
Avec z + 1 = 9 points on obtient au minimum 36 quadrilatères convexes.
Annexe
A014540 Rectilinear crossing number of complete graph on n nodes.
80, 0, 0, 0, 1, 3, 9, 19, 36, 62, 102, 153, 229, 324, 447, 603, 798, 1029, 1318, 1657, 2055, 2528, 3077, 3699, 4430, 5250, 6180(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
OFFSET
1,6
COMMENTS
The values a(19) and a(21) were obtained by Aichholzer et al. in 2006. The value a(18) is claimed by the Rectilinear Crossing Number project after months of distributed computing. This was confirmed by Abrego et al., they also found the values a(20) and a(22) to a(27). The next unknown entry, a(28), is either 7233 or 7234. - Bernardo M. Abrego
(bernardo.abrego(AT)csun.edu), May 05 2008
REFERENCES
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LINKS
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Eric Weisstein's World of Mathematics, Graph Crossing Number
Eric Weisstein's World of Mathematics, Rectilinear Crossing Number
Eric Weisstein's World of Mathematics, Zarankiewicz's Conjecture
CROSSREFS
Cf. A000241, A030179, A006247.
Sequence in context: A325666 A147174 A147158 * A293058 A294367 A146694
Adjacent sequences: A014537 A014538 A014539 * A014541 A014542 A014543
KEYWORD
nonn,nice,hard,more
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