H164 – A la recherche des extrêmes [**** à la main]
Après avoir donné à Zig le nombre entier z > 4 et à Puce le nombre entier p > 4, Diophante invite chacun d’eux à tracer sur le recto d’une feuille de papier puis sur le verso respectivement z points et p points, trois points quelconques n’étant jamais sur la même droite, de manière à obtenir sur le recto le plus grand nombre possible de quadrilatères convexes et sur le verso le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes.
Q₁ Zig constate qu’il a tracé au total 45 quadrilatères de plus que Puce. Déterminez z et p en justifiant vos réponses Donnez une illustration des configurations obtenues par les deux comparses.
Q₂ Cher lecteur, avec un point de plus que Zig, déterminez le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes que vous pouvez tracer. Donnez une illustration de la configuration ainsi obtenue.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 Pour obtenir le maximum de quadrilatères convexes, il faut que les z ou p points forment un polygone convexe. On obtient alors autant de quadrilatères convexes que de quadruplets, soit respectivement C(z,4) et C(p,4).
Par contre pour obtenir le minimum, il faut que l’enveloppe convexe des z ou p points soit un triangle, de même que les z-3 (ou p-3) points restants et ainsi de suite.
On constate que z doit valoir 8 et p égal à 7.
En effet le maximum Maxz=70 et Maxp= 35.
Par contre on vérifie que Minz=19 et Minp=9.
En effet on peut construire des quadrilatères de 4 façons suivantes :
en prenant un couple de points intérieurs (points 4 à 8 ou 4 à 7 respectivement), on peut construire un quadrilatère convexe avec un et un seul côté du triangle extérieur, soit respectivement 10 et 6 quadrilatères.
En prenant un point intérieur au deuxième triangle (7 ou 8), un point extérieur (1 à 3) et deux points du deuxième triangle (4 à 6) . Pour chaque point intérieur (7 ou 8) on peut construire 3 quadrilatères de cette espèce, soit 6 pour z et 3 pour p.
En prenant deux points intérieurs (7 et 8) et un point sur chacun des deux triangles (123 et 456). On peut construire 2 quadrilatères Soit 2 quadrilatères pour z.
En prenant deux points intérieurs (7 et 8) et deux points du triangle intérieur(456), on peut construire un seul quadrilatère.
Donc Minz=10+ 6 +2 +1=19 et Minp= 6+3 =9.
Donc z=8 et p=7.
Q2 : Pour 9 points
Par la même analyse que précédemment on obtient un nombre total de36 quadrilatères
