St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦8 - INTEGRALES A PARAMETRE - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f :x7→
Z +∞
0
e−xt2 1 +t2dt 1. Montrer que f est définie et continue surR+. 2. Montrer que f est dérivable sur R∗+.
3. Montrer que f est solution surR∗+ de l’équation différentielle :y−y0 =
√π 2√
x. On donne, poura >0 :
Z +∞
0
e−ax2dx=
√π 2√
a.
Exercice 2
Pour n∈N∗, on considèreFn:x7→
Z +∞
0
dt (x2+t2)n.
1. Montrer que Fn est dérivable sur ]0,+∞[, et exprimer sa dérivée à l’aide deFn+1. 2. En déduire la valeur de
Z +∞
0
dt (1 +t2)3.
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CB n
◦8 - INTEGRALES A PARAMETRE - Sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f :x7→
Z +∞
0
e−xt 1 +t2dt.
1. Montrer que f est de classeC2 surR∗+.
2. Montrer que f est solution surR∗+ de l’équation différentielle :y00+y = 1 x.
Exercice 2
Pour n∈N∗, on considèreFn:x7→
Z +∞
0
dt (ex+t2)n.
1. Montrer que Fn est dérivable sur [0,+∞[, et exprimer sa dérivée à l’aide deFn+1. 2. En déduire la valeur de
Z +∞
0
dt (1 +t2)3.
Spé PT B CB8 - 2018-2019
