8 - INTEGRALES A PARAMETRE - Sujet 1

St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2018-2019 - Correction

CB n

8 - INTEGRALES A PARAMETRE - Sujet 1

Exercice 1

On considère la fonction f :x7→

Z +∞

0

e^−xt2 1 +t²dt

On noteg la fonction définie sur R⁺×R⁺ parg(x, t) = e^−xt2 1 +t². 1. Montrer que f est définie et continue surR⁺.

• Pour tout x∈R⁺, t7→g(x, t) est continue surR+.

• Pour tout t∈R⁺, x7→g(x, t) est continue surR⁺.

• Hypothèse de domination :

∀(x, t)∈R⁺×R⁺,|g(x, t)| ≤ 1

1 +t² =ϕ(t).

La fonction ϕest intégrable sur[0,+∞[(c’est une intégrale de référence).

Le théorème de continuité sous le signe intégral donne f continue surR⁺. 2. Montrer que f est dérivable sur R^∗₊.

• Le travail de la question précédente donne pour tout x∈R^∗+, t7→g(x, t)intégrable sur [0,+∞[.

• Pour tout t∈R⁺, x7→g(x, t) est de classeC¹ surR^∗+, et∀(x, t)∈R^∗+×R+,∂g

∂x(x, t) = −t²e^−xt2 1 +t² .

• Pour tout x∈R^∗₊, t7→ ∂g

∂x(x, t) est continue sur R⁺.

• Hypothèse de domination :

Soit [a, b]⊂]0,+∞[, (0< a < b) ;∀(x, t)∈[a, b]×R⁺,

∂g

∂x(x, t)

≤e^−at2 =ϕ_a,b(t).

ϕa,b est intégrable sur[0,+∞[(c’est une intégrale de référence).

Le théorème de dérivation sous le signe intégral donnef de classeC¹ surR^∗+. De plus la formule de Leibniz donne :f⁰(x) =

Z +∞

0

−t²e^−xt2 1 +t² dt.

3. Montrer que f est solution surR^∗₊ de l’équation différentielle :y−y⁰ =

√π 2√

x. On donne, poura >0 :

Z +∞

0

e^−ax2dx=

√π 2√

a. Pour tout x >0, on a :f(x)−f⁰(x) =

Z +∞

0

e^−xt2 1 +t²dt−

Z +∞

0

−t²e^−xt2 1 +t² dt=

Z +∞

0

e^−xt2dt=

√π 2√

x, par linéarité des intégrales généralisées.

Exercice 2

Pour n∈N^∗, on considèreF_n:x7→

Z +∞

0

dt (x²+t²)ⁿ.

1. Montrer que Fn est dérivable sur ]0,+∞[, et exprimer sa dérivée à l’aide deFn+1. Pour n∈N^∗, on note f_n la fonction définie sur R^∗+×R⁺ parf_n(x, t) = 1

(x²+t²)ⁿ. On fixen∈N^∗.

• Soit x∈R^∗+.

La fonctiont7→fn(x, t) est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

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En+∞ :

On af_n(x, t) ∼

t→+∞

1

t²ⁿ, (avec n >0) donc par comparaison à une intégrale de Riemann conver- gente,t7→f_n(x, t) est intégrable sur[1,+∞[.

Finalement pour tout x∈R^∗+,t7→f_n(x, t)est intégrable sur [0,+∞[.

• Pour tout t∈R⁺, x7→fn(x, t) est de classeC¹ surR^∗+ et∀(x, t)∈R^∗+×R⁺,

∂f_n

∂x(x, t) = −2nx (x²+t²)ⁿ⁺¹.

• Pour tout x∈R^∗₊, t7→ ∂f_n

∂x(x, t) est continue sur R⁺.

• Hypothèse de domination :

Soit [a, b]⊂]0,+∞[, (0< a < b),∀(x, t)∈[a, b]×R⁺,

∂fn

∂x (x, t)

≤ 2bn

(a²+t²)ⁿ⁺¹ =ϕ_a,b(t).

La fonctiont7→ϕ_a,b(t) est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

En+∞ : On aϕ_a,b(t) ∼

t→+∞

2bn

t²⁽ⁿ⁺¹⁾, (avecn >0) donc par comparaison à une intégrale de Riemann conver- gente,t7→ϕ_a,b(t) est intégrable sur[1,+∞[.

Finalement ϕ_a,b est intégrable sur[0,+∞[.

Le théorème de dérivation sous le signe intégral donneF_n de classeC¹ surR^∗₊, et la formule de Leibniz donne : F_n⁰(x) =−2nxF_n+1(x).

2. En déduire la valeur de Z +∞

0

dt (1 +t²)³. On a :

Z +∞

0

dt

(1 +t²)³ =F3(1).

Pour x > 0, on a : F1(x) = Z +∞

0

dt x²+t² =

1

xArctan t

x +∞

0

= π

2x, donc la formule établie précédemment donne F2(x) = π

4x³, puisF3(x) = 3π 16x⁵. Finalement,

Z +∞

0

dt

(1 +t²)³ =F₃(1) = 3π 16.

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8 - INTEGRALES A PARAMETRE - Sujet 2

Exercice 1

On considère la fonction f :x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +t²dt.

On noteg la fonction définie sur R^∗+×R⁺ parg(x, t) = e^−xt 1 +t². 1. Montrer que f est de classeC² surR^∗₊.

– Montrons tout d’abord quef est de classeC¹ sur R^∗+.

• Soitx∈R^∗+.

La fonction t7→g(x, t) est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

En +∞ :

On a|g(x, t)| ≤e^−xtavecx >0, donc par comparaison à une intégrale de référence convergente, t7→g(x, t)est intégrable sur R⁺.

• Pour tout t∈R⁺, x7→g(x, t) est de classe C¹ surR^∗+ et∀(x, t)∈R^∗+×R⁺,

∂g

∂x(x, t) = −te^−xt (1 +t²).

• Pour tout x∈R^∗+, t7→ ∂g

∂x(x, t) est continue sur R⁺.

• Hypothèse de domination :

Soit[a, b]⊂]0,+∞[, (0< a < b),∀(x, t)∈[a, b]×R⁺,

∂g

∂x(x, t)

≤te^−at =ϕ_a,b(t).

La fonction t7→ϕ_a,b(t)est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

En +∞ : On a ϕa,b(t) =

t→+∞o 1

t²

, (par croissances comparées) donc par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, t7→ϕ_a,b(t)est intégrable sur[1,+∞[.

Finalementϕ_a,best intégrable sur [0,+∞[.

Le théorème de dérivation sous le signe intégral donnef de classeC¹surR^∗+, et la formule de Leibniz donne : f⁰(x) =

Z +∞

0

−te^−xt 1 +t² dt.

– Montrons que f⁰ est de classe C¹ surR^∗+, nous aurons ainsif de classeC² surR^∗+. On note g1 la fonction définie sur R^∗₊×R⁺ parg1(x, t) = −te^−xt

1 +t² (c’est ∂g

∂x).

• Soitx∈R^∗+. D’après le résultat précédent, la fonctiont7→g₁(x, t)est intégrable sur [0,+∞[.

• Pour tout t∈R⁺, x7→g1(x, t) est de classeC¹ sur R^∗₊ et∀(x, t)∈R^∗₊×R⁺,

∂g₁

∂x(x, t) = t²e^−xt (1 +t²).

• Pour tout x∈R^∗+, t7→ ∂g₁

∂x(x, t) est continue surR⁺.

• Hypothèse de domination :

Soit[a, b]⊂]0,+∞[, (0< a < b),∀(x, t)∈[a, b]×R⁺,

∂g1

∂x(x, t)

≤e^−at =ψ_a,b(t).

ψ_a,b est intégrable sur[0,+∞[(c’est une intégrale de référence).

Le théorème de dérivation sous le signe intégral donne f⁰ de classeC¹ surR^∗+, doncf de classeC² sur R^∗₊, et la formule de Leibniz donne : f⁰⁰(x) =

Z +∞

0

t²e^−xt 1 +t²dt.

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2. Montrer que f est solution surR^∗+ de l’équation différentielle :y⁰⁰+y = 1 x. Pour tout x >0, on a :

f⁰⁰(x) +f(x) = Z +∞

0

e^−xt 1 +t²dt+

Z +∞

0

t²e^−xt 1 +t²dt=

Z +∞

0

e^−xtdt=

−e^−xt x

+∞

0

= 1 x, par linéarité des intégrales généralisées.

Exercice 2

Pour n∈N^∗, on considèreFn:x7→

Z +∞

0

dt (e^x+t²)ⁿ.

1. Montrer que Fn est dérivable sur [0,+∞[, et exprimer sa dérivée à l’aide deFn+1. Pour n∈N^∗, on note fn la fonction définie sur R⁺×R⁺ parfn(x, t) = 1

(e^x+t²)ⁿ. On fixe n∈N^∗.

• Soit x∈R⁺.

La fonctiont7→fn(x, t) est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

En+∞ :

On afn(x, t) ∼

t→+∞

1

t²ⁿ, (avec n >0) donc par comparaison à une intégrale de Riemann conver- gente,t7→f_n(x, t) est intégrable sur[1,+∞[.

Finalement pour tout x∈R⁺,t7→fn(x, t)est intégrable sur [0,+∞[.

• Pour tout t∈R⁺, x7→f_n(x, t) est de classeC¹ surR⁺ et∀(x, t)∈R⁺×R⁺,

∂fn

∂x(x, t) = −ne^x (e^x+t²)ⁿ⁺¹.

• Pour tout x∈R⁺, t7→ ∂f_n

∂x(x, t) est continue sur R⁺.

• Hypothèse de domination :

Soit [a, b]⊂[0,+∞[, (0< a < b),∀(x, t)∈[a, b]×R⁺,

∂f_n

∂x(x, t)

≤ ne^b

(1 +t²)ⁿ⁺¹ =ϕa,b(t).

La fonctiont7→ϕa,b(t) est continue sur R⁺ donc localement intégrable.

En+∞ :

On a ϕ_a,b(t) ∼

t→+∞

ne^b

t²⁽ⁿ⁺¹⁾, (avec n > 0) donc par comparaison à une intégrale de Riemann convergente,t7→ϕ_a,b(t)est intégrable sur[1,+∞[.

Finalement pour tout ϕ_a,b est intégrable sur[0,+∞[.

Le théorème de dérivation sous le signe intégral donneF_n de classeC¹ surR^∗₊, et la formule de Leibniz donne : F_n⁰(x) =−ne^xFn+1(x).

2. En déduire la valeur de Z +∞

0

dt (1 +t²)³. On a :

Z +∞

0

dt

(1 +t²)³ =F₃(0).

Pour x ≥ 0, on a : F₁(x) = Z +∞

0

dt e^x+t² =

1

e^x2 Arctan t

e^x2 +∞

0

= πe^−x2

2 , donc la formule établie précédemment donne F2(x) = π

4e^−3x2 , puisF3(x) = 3π 16e^−5x2 . Finalement,

Z +∞

0

dt

(1 +t²)³ =F₃(0) = 3π 16.

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