St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦8 - COURBES PLANES - Sujet 1
Exercice 1
Etudier et tracer la courbe paramétrée d’équations :
x(t) = t2 1 +t y(t) = t3
1 +t
On a :
x0(t) = t(t+ 2) (1 +t)2
y0(t) = t2(3 + 2t) (1 +t)2
Etude des branches infinies : En ±∞: lim
±∞
y x
= +∞ donc il y a une branche parabolique de direction (Oy).
En −1 : lim
−1
y
x =−1,lim
−1(y+x) = 1donc il y a une asymptote d’équation y=−x+ 1.
Etude du point singulier (pour t= 0) : x(t) =t2(1−t+o(t)) =t2−t3+o(t3) y(t) =t3(1 +o(1)) =t3+o(t3)
−
→V1 = 1
0
pour p= 2, et−→ V2 =
−1 1
pourq= 3.
On a un rebroussement de première espèce.
Exercice 2
Déterminer le rayon de courbure et une représentation paramétrique de la développée de la courbe paramétrée d’équations :
x(t) =t−tan(t)
y(t) = 1−ln(cos(t)) ,oùt∈i
−π 2,π
2 h
.
x0(t) =−tan2(t)) y0(t) = tan(t)
x00(t) =−2 tan(t)(1 + tan2(t)) y00(t) = 1 + tan2(t)
On trouve le rayon de courbureR=|tan(t)|
q
1 + tan2(t) = |tan(t)|
cos(t) Puis une paramétrisation de la développée :
X(t) =t−2 tan(t)
Y(t) = 1−ln(cos(t))−tan2(t)
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦8 - COURBES PLANES - sujet 2
Exercice 1
Etudier et tracer la courbe paramétrée d’équations :
x(t) = t2 t−1 y(t) = t2
t2−1
On a :
x0(t) = t(t−2) (t−1)2
y(t) = −2t (t2−1)2 Etude des branches infinies : En ±∞: lim
±∞|x|= +∞ etlim
±∞y= 1 donc il y a une asymptote horizontale d’équationy = 1.
En −1 : lim
−1 |y|= +∞ etx(−1) =−1
2 donc il y a une asymptote verticale d’équationx=−1 2. En 1 : lim
1
y x = lim
1
1 t+ 1 = 1
2,lim
1 (y−1
2x) =−1
4 donc il y a une asymptote d’équationy = 1 2x−1
4. Etude du point singulier (pour t= 0) :
x(t) =−t2(1 +t+o(t)) =−t2−t3+o(t3) y(t) =−t2(1 +o(t)) =−t2+o(t3)
−
→V1= 1
1
pour p= 2, et−→ V2 =
1 0
pourq = 3. On a un rebroussement de première espèce.
Exercice 2
Déterminer le rayon de courbure et une représentation paramétrique de la développée de la courbe paramétrée d’équations :
x(t) =t2
y(t) =ln(t) ,oùt∈R∗+. On a :
( x0(t) = 2t y0(t) = 1
t
( x00(t) = 2 y00(t) = −1
t2
On trouve le rayon de courbureR=−(1 + 4t4)32 4t2 Puis une paramétrisation de la développée :
X(t) = 2t2+ 1 4t2 Y(t) =ln(t)−2t4−1
2
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