Courbes planes paramétrées

Stanislas

Exercices

Courbes planes paramétrées

Chapitre XXVI MPSI 1

Dans tous les exercices, les courbes paramétrées sont dénies dans un repère orthonormé direct (O,−→

i ,−→ j).

I - Tracé de courbes

Exercice 1.Tracer les courbes suivantes.

1. Parabole semi-cubique(3t²,4t³). 2. (t²+²_t, t+¹_t).

3. (_1+t−t^t2 3,ln(1 +t²)).

4. Cardioïde((1 + cost) cost,(1 + cost) sint). 5. (2 cost+ cos 2t,2 sint−sin 2t).

6. (^t2_2t⁺¹,^2t−1_t2 ).

7. (¹_t + ln(2 +t), t+¹_t).

8. Lemniscate de Brenoulli(a_1+cos^sint2t, a^sin_1+cos^tcos2t^t). 9. Folium de Descartes (_1+t^3at3,_1+t^3at23).

Exercice 2.On considère la courbe paramétrée dénie par(tcost−sint,2 cost). Montrer que les tangentes à cet arc en les points stationnaires sont concourantes en l'origineO du repère.

II - Étude métrique des courbes

Exercice 3.Calculer une abscisse curviligne des courbes suivantes.

1. y² = 2px, p >0. 2. ρ(θ) = tanh^θ₂.

Exercice 4.Soita >0. Calculer la longueur des courbes suivantes.

1. Cardioïdeρ(θ) =a(1 + cos(θ)). 2. Astroïde (acos³t, asin³t).

Exercice 5.Soita >0. Montrer que l'ellipseE d'équation _4a^x22 +^y_a²2 = 1et la courbeΓ d'équation polaire ρ(θ) =asin(2θ) ont même longueur. Tracer ces deux courbes.

Exercice 6.On considère l'arc paramétré (cos²(t) + ln|sin(t)|,sin(t) cos(t)).

1. Calculer la longueur de l'arc paramétré entre les deux points de rebroussement.

2. Calculer le rayon de courbure de cet arc en tout point de paramètret∈_π

4,^π₂ .

Exercice 7. (La cycloïde)Soit a >0. Calculer la longueur d'une arche de l'arc paramétré (a(t− sin(t)), a(1−cos(t)).

Exercice 8.Calculer les rayons de courbure d'une ellipse aux sommets de celle-ci.

Exercice 9.On considère une courbe paramétrée dont tous les points sont biréguliers.

1. Soitf(t) = (x(t), y(t))un paramétrage cartésient de cette courbe.

a)Montrer que le rayon de courbureR vaut R= ^(x_x⁰²0y^+y00−x^0200)3/2y⁰ .

b)Soitt₀tel quex(t₀) =y(t₀) =y⁰(t₀) = 0etx⁰(t₀)y⁰⁰(t₀)6= 0. Montrer queR(t₀) = lim

t→t0

x²(t) 2y(t). 2. Soitρ(θ) un paramétrage polaire de cette courbe.

a)Montrer que le rayon de courbureR vaut R= _ρ^(ρ2+2ρ^2+ρ0202−ρρ^)3/200. b)En déduire la valeur de R siρ(θ0) = 0etρ⁰(θ0)6= 0.

Courbes planes paramétrées MPSI 1

Exercice 10.Calculer le rayon de courbure en l'origine du repère des arcs paramétrés suivants.

1. (2t+t³,2 sinh²(t)). 2. (t²lnt, t(lnt)²).

3.ρ(θ) = 1+cos(θ) cos(2θ)^sinθ . 4. ρ(θ) = ^cos_1+sin^{θ−2 sin}3θ^θ.

Exercice 11.On considère l'arc paramétré (ae^−t2(2 cost−sint), ae^−t2(2 sint+ cost)). 1. Calculer le rayon de courbure en tout point.

Le centre de courbure est le pointΩdéni par −−→

MΩ =R−→

N. Le cercle de courbure est le cercle de centreΩet de rayon |R|.

2. Écrire l'équation du cercle de courbure en tout point.

3. En quels points le cercle de courbure passe-t-il parO?

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