Courbes paramétrées

Stanislas

Exercices

Courbes paramétrées

Chapitre VIII MPSI 1

I - Étude de courbes paramétrées

Exercice 1. (-)Étudier les courbes paramétrées suivantes, oùt∈R.

1. f₁(t) = (t−t³, t²−t⁴). 2. f2(t) = (^1−t_1+t²2, t^1−t_1+t²2).

3. f₃(t) = (_1+t^t4,_1+t^t34).

4. f₄(t) = (^t+1_t3 ,^t−1_t2 ). 5. f₅(t) = (_1+t^t3,_1+t^t23).

6. f6(t) = (a(t−sint), a(1−cost)).

Exercice 2.Soit C la courbe dénie par l'équation paramétrique f(t) = (3t²,4t³), t∈R. Soient t, u∈R^?.

1. Soient M_t etM_u deux points de la courbeC. Écrire les équations de la tangente àC en M_t et de la normale à C enNu.

2. Trouver les équations des droites qui sont à la fois tangentes et normales àC.

Exercice 3. Identier le comportement asymptotique de la courbe paramétrée f(t) = (_t−1^t2 ,^t_t³2⁺¹−1), t∈R+ lorsquet tend vers l'inni.

Exercice 4. (!) Soit p > 0 un réel et P la parabole paramétrée par (2pt²,2pt). Pour tout t ∈R^?, on note : Mt le point de coordonnées (2pt²,2pt); Dt la normale à P au point Mt;Pt

le point d'intersection deDt avec l'axe des abscisses ; Qt son point d'intersection avec l'axe des ordonnées ;I_t le milieu du segment[P_tQ_t].

1. Pour tout t ∈R^?, déterminer une équation cartésienne de la droite Dt. En déduire les coor- données des pointsP_t, Q_t etI_t.

2. Pour quelles valeurs detle point It appartient-il à la paraboleP?

3. Étudier et représenter le lieu L du point I_t lorsque t parcourt R^?. On représentera sur le même dessin la paraboleP.

II - Étude d'équations polaires

Exercice 5. (-)Étudier les courbes dénies par les équations polaires suivantes.

1. r₁(θ) = sin(2θ). 2. r₂(θ) = cos(3θ)−1. 3. r3(θ) = 1 + 2 cos(2θ).

4.r₄(θ) = sin(^θ₃). 5.r₅(θ) = _1−sin(θ)^tan(θ) .

6. r₆(θ) = _eθ¹−1. 7. r7(θ) = _{cos 3θ}¹ .

Exercice 6.Étudier la courbeC d'équation polaire r(θ) = cos³θ−sin³θ. En déduire les points de C en lesquels la tangente est de pente1.

Exercice 7. (!)Soienta, b deux réels tels que 0< a < b. On considère la courbe C dénie par l'équation polairer(θ) =a+bcos(θ), θ∈R.

1. SoitD une droite coupantC et ne passant pas par 0.

a)Montrer que D coupe la courbe en quatre points notés (θ_i)i∈{1,...,4}.

b)Montrer que P⁴

i=1

r(θi) ne dépend pas de D.

c)Montrer que Q⁴

i=1

r(θ_i) ne dépend pas de D ssi D reste tangente à un cercle de centre O.