Courbes paramétrées
Anna COHEN, Quentin COLLETTE, Stéphanie FEUVRIE
Mathématique et Multimédia
C :
(x(t) y(t)
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Courbes paramétrées
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Mathématique et Multimédia
C :
(x(t) y(t)
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité
Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude
Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y
Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies
Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe
Étude des points doubles Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles
Étude de la convexité
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Plan d’étude
Domaine de définition et dérivabilité Réduction du domaine d’étude Étude des variations de x et y Étude des branches infinies Traçage de la courbe Étude des points doubles Étude de la convexité
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Exemple
C :
x(t) = t+ 1 t2 y(t) =t2+ 1 t
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Exemple
C :
x(t) = t+ 1 t2 y(t) =t2+ 1 t
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Domaine de définition et dérivabilité
Les deux fonctions x(t) et y(t) sont des sommes et composées de fonctions polynomiales C∞ surR\{0}. Elles sont donc C∞ sur R\{0}.
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Domaine de définition et dérivabilité
Les deux fonctions x(t) et y(t) sont des sommes et composées de fonctions polynomiales C∞ surR\{0}. Elles sont donc C∞ sur R\{0}.
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Réduction du domaine d’étude
En posantt = −1t0 , on obtient une nouvelle paramétrisation de la même courbe.
x
−1 t0
= −1
t0 +t02 =y(t0) y
−1 t0
= 1
t02 +t0 =x(t0)
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Réduction du domaine d’étude
En posantt = −1t0 , on obtient une nouvelle paramétrisation de la même courbe.
x
−1 t0
= −1
t0 +t02 =y(t0) y
−1 t0
= 1
t02 +t0 =x(t0)
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Réduction du domaine d’étude
En posantt = −1t0 , on obtient une nouvelle paramétrisation de la même courbe.
x
−1 t0
= −1
t0 +t02 =y(t0) y
−1 t0
= 1
t02 +t0 =x(t0)
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Réduction du domaine d’étude
Commett0 =−1, le point
x(t) y(t)
!
est le symétrique du point
x(t0) y(t0)
!
par rapport à la première bissectrice.
Donc la courbe admet la première bissectrice comme axe de symétrie.
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Réduction du domaine d’étude
Commett0 =−1, le point
x(t) y(t)
!
est le symétrique du point
x(t0) y(t0)
!
par rapport à la première bissectrice.
Donc la courbe admet la première bissectrice comme axe de symétrie.
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Étude des variations de x et y
On a :
x0(t) = 1− 2
t3 qui s’annule pour t =√3 2 y0(t) =2t+ 1
t2 qui s’annule pour t = −1
√3
2
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Étude des variations de x et y
On a :
x0(t) = 1− 2
t3 qui s’annule pour t =√3 2 y0(t) =2t+ 1
t2 qui s’annule pour t = −1
√3
2
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Étude des variations de x et y
On obtient le tableau de variations suivant :
t
Signe de x0(t)
Signe de y0(t)
Variations de x
Variations de y
−∞ −1√3
2 0 √3
2 +∞
+ + + 0 −
− 0 + + +
−∞
−∞
+∞ +∞
x(√3 2) x(√3
2)
+∞
+∞
+∞
+∞
y(−1√3 2) y(−1√3
2)
+∞
−∞
+∞
+∞
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞ et lorsquet tend vers 0− et 0+.
Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞ t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0. On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+.
Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞ t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0. On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0. On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0. On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0.
On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0.
On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole. De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0.
On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole.
De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Étude des branches infinies
La courbe admet des branches infinies lorsque t tend vers±∞
et lorsquet tend vers 0− et 0+. Regardons la limite en+∞de y(t)x(t) :
t→+∞lim
y(t)
x(t) ∼ lim
t→+∞
t2
t = +∞
Orx(t) n’a pas de limite lorsque t tend vers +∞. On en déduit que la courbe admet une branche parabolique pour t −→+∞.
Quand t tend vers +∞, t12 et −1t '0.
On regarde donc la courbe :
( x(t) =t y(t) =t2
L’allure de la courbe est proche de celle d’une parabole.
De même quandt est très petit on obtient une parabole couchée.
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Traçage de la courbe
-4 -2 0 2 4 6 8
-4 -2 0 2 4 6 8
Figure:Courbe paramétrée C
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Étude des points doubles
On cherchet1 et t2 deux nombres réels distincts tels que :
(x(t1) =x(t2) y(t1) = y(t2)
Par étude graphique, on voit que le seul point double appartient à la première bissectrice.
On cherche donc t ∈R tel que x(t) = y(t) : t+ t12 =t2− t12 ⇔ t4−t3 −t −1=0
Pour résoudre ce genre de polynôme on pourrait utiliser des méthodes numériques, mais c’est très long.
Mais on sait que sit0 est racine de ce polynôme, alors −1t
0 l’est aussi.
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Étude des points doubles
On cherchet1 et t2 deux nombres réels distincts tels que :
(x(t1) =x(t2) y(t1) = y(t2)
Par étude graphique, on voit que le seul point double appartient à la première bissectrice.
On cherche donc t ∈R tel que x(t) = y(t) : t+ t12 =t2− t12 ⇔ t4−t3 −t −1=0
Pour résoudre ce genre de polynôme on pourrait utiliser des méthodes numériques, mais c’est très long.
Mais on sait que sit0 est racine de ce polynôme, alors −1t
0 l’est aussi.
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Étude des points doubles
On cherchet1 et t2 deux nombres réels distincts tels que :
(x(t1) =x(t2) y(t1) = y(t2)
Par étude graphique, on voit que le seul point double appartient à la première bissectrice.
On cherche donc t ∈R tel que x(t) = y(t) : t+ t12 =t2− t12 ⇔ t4−t3 −t −1=0
Pour résoudre ce genre de polynôme on pourrait utiliser des méthodes numériques, mais c’est très long.
Mais on sait que sit0 est racine de ce polynôme, alors −1t
0 l’est aussi.
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Étude des points doubles
On cherchet1 et t2 deux nombres réels distincts tels que :
(x(t1) =x(t2) y(t1) = y(t2)
Par étude graphique, on voit que le seul point double appartient à la première bissectrice.
On cherche donc t ∈R tel que x(t) = y(t) : t+ t12 =t2− t12 ⇔ t4−t3 −t −1=0
Pour résoudre ce genre de polynôme on pourrait utiliser des méthodes numériques, mais c’est très long.
Mais on sait que sit0 est racine de ce polynôme, alors −1t
0 l’est aussi.
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Étude des points doubles
On cherchet1 et t2 deux nombres réels distincts tels que :
(x(t1) =x(t2) y(t1) = y(t2)
Par étude graphique, on voit que le seul point double appartient à la première bissectrice.
On cherche donc t ∈R tel que x(t) = y(t) : t+ t12 =t2− t12 ⇔ t4−t3 −t −1=0
Pour résoudre ce genre de polynôme on pourrait utiliser des méthodes numériques, mais c’est très long.
Mais on sait que sit0 est racine de ce polynôme, alors −1t
0 l’est aussi.
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Étude de la convexité
Pour savoir si on est dans le cas d’un repère direct ou indirect, on étudie le signe du déterminant de
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
:
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
=
1−2t −6t4
2t +t12 2− t23
= t26 (t6−9t3−1)
= t26 (t3− 92)2− 854 qui est positif pourt ∈]−∞,0[∪√3
9,+∞ .
Donc la courbe est convexe sur cette réunion d’intervalles.
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Étude de la convexité
Pour savoir si on est dans le cas d’un repère direct ou indirect, on étudie le signe du déterminant de
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
:
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
=
1−2t −6t4
2t +t12 2− t23
= t26 (t6−9t3−1)
= t26 (t3− 92)2− 854 qui est positif pourt ∈]−∞,0[∪√3
9,+∞ .
Donc la courbe est convexe sur cette réunion d’intervalles.
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Étude de la convexité
Pour savoir si on est dans le cas d’un repère direct ou indirect, on étudie le signe du déterminant de
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
:
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
=
1−2t −6t4
2t +t12 2− t23
= t26 (t6−9t3−1)
= t26 (t3− 92)2− 854
qui est positif pourt ∈]−∞,0[∪√3
9,+∞ .
Donc la courbe est convexe sur cette réunion d’intervalles.
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Étude de la convexité
Pour savoir si on est dans le cas d’un repère direct ou indirect, on étudie le signe du déterminant de
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
:
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
=
1−2t −6t4
2t +t12 2− t23
= t26 (t6−9t3−1)
= t26 (t3− 92)2− 854 qui est positif pourt ∈]−∞,0[∪√3
9,+∞
.
Donc la courbe est convexe sur cette réunion d’intervalles.
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Étude de la convexité
Pour savoir si on est dans le cas d’un repère direct ou indirect, on étudie le signe du déterminant de
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
:
x0(t) x00(t) y0(t) y00(t)
=
1−2t −6t4
2t +t12 2− t23
= t26 (t6−9t3−1)
= t26 (t3− 92)2− 854 qui est positif pourt ∈]−∞,0[∪√3
9,+∞
.
Donc la courbe est convexe sur cette réunion d’intervalles.
Anna COHEN, Quentin COLLETTE, Stéphanie FEUVRIE Courbes paramétrées
