Étude des courbes algébriques planes

Étude des courbes algébriques planes

GARBERI Mickaël et POURRIER Valentin Mémoire de M1

Université Nice Sophia Antipolis Directeur : Andreas Höring

1. Introduction 2. Vocabulaire

3. Nombre de singularités d'une courbe

4. Courbes polaires, courbes Hessiennes et nombre de points d'inexion

5. Formules de Plücker

1 Introduction

Nous avons basé notre étude des courbes algébriques planes sur le livre Plane Algebraic Curves, de Gerd Fischer.

Pour réaliser cette étude, nous considérons les courbes anes dans C ² , puis nous les étendons à des courbes dans le plan projectif P ² ( C ) pour sim- plier leur étude et en déduire quelques propriétés intéressantes grâce aux formules de Plücker.

1.1. Dénition : Soit une courbe projective C de P ² ( C ) . La courbe C est une courbe de Plücker si elle vérie les deux propriétés suivantes :

1. La courbe C est irréductible et deg C ≥ 2 .

2. Les points singuliers de C et de sa courbe duale C ^∗ sont au plus des points doubles simples et des cusps simples.

Toutes les notions utilisées seront dénies plus loin.

1.2. Théorème : Pour une courbe de Plücker C de P ² ( C ) de degré n et de classe n*, on a les égalités suivantes :

1. n ^∗ = n(n − 1) − 2d − 3s 2. s ^∗ = 3n(n − 2) − 6d − 8s 3. n = n ^∗ (n ^∗ − 1) − 2d ^∗ − 3s ^∗ 4. s = 3n ^∗ (n ^∗ − 2) − 6d ^∗ − 8s ^∗

où d est le nombre de points doubles simples de C, s le nombre de cusps simples de C, d ^∗ le nombre de points doubles simples de C ^∗ et s ^∗ le nombre de cusps simples de C ^∗ .

2 Vocabulaire

Notre premier but sera d'étudier le nombre de singularités d'une courbe ane.

2.1. Dénition : Une courbe ane C est un sous-ensemble de C ² tel qu'il existe un polynôme f ∈ C [X ₁ , X ₂ ] tel que :

C = V (f) = {(x ₁ , x ₂ ) ∈ C ² | f(x ₁ , x ₂ ) = 0}

Tout d'abord, il est indispensable de dénir ce qu'est une courbe irré-

ductible ainsi que son polynôme minimal.

2.2. Dénition : Une courbe ane C est dite réductible s'il existe deux courbes anes C ₁ et C ₂ telles que C ₁ 6= C ₂ et C = C ₁ ∪ C ₂ . Une courbe est donc irréductible si elle n'est pas réductible : s'il existe C ₁ et C ₂ telles que C = C ₁ ∪ C ₂ , alors C ₁ = C ₂ .

Le polynôme minimal d'une courbe ane se dénit de la façon suivante.

2.3. Dénition : Si C=V(f), où f est un polynôme de C [X ₁ , X ₂ ] , f peut se décomposer de manière unique, à scalaire près, en facteurs irréductibles {f _i } i∈[[1,...,k]] de la forme f = f ₁ ^r

...f _k ^r

avec les r _i 6= 0 car C [X ₁ , X ₂ ] est un anneau factoriel, puisque C est un corps. Alors le polynôme minimal de C sera : f ˜ = f ₁ . . . f _k .

S'en suit la dénition de degré d'une courbe ane.

2.4. Dénition : Pour une courbe ane C=V(f), avec f ˜ le polynôme mi- nimal de f, le degré de C est égal au degré de f ˜ :

deg C = deg f ˜

où le degré de f ˜ est dénit par le degré de son monome de plus grand degré.

Pour étudier la courbe dans C ² , il est judicieux de l'étudier dans le plan projectif P ² ( C ) . Pour cela, il est important de dénir l'homogénisation d'un polynôme et la manière dont nous l'utiliserons pour étudier la clotûre projective d'une courbe.

2.5. Dénition : Un polynôme homogène P de degré n est un polynôme de la forme

P (X ₁ , . . . , X _k ) = X

i

+···+i

=n

α _i

_,...,i

X ₁ ⁱ

. . . X _k ⁱ

où α _i

_,...,i

∈ C.

2.6. Dénition : Pour un polynôme f et

f(X 1 , X 2 ) = f 0 (X 1 , X 2 ) + · · · + f n (X 1 , X 2 )

sa décomposition en polynômes homogènes, où f _i est un polynôme homogène de degré i, et n est le degré de f, on dénit son homogénisation par

F (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₀ ⁿ f ₀ (X ₁ , X ₂ ) + · · · + X ₀ ⁰ f _n (X ₁ , X ₂ )

On a alors les égalités :

F = X ₀ ⁿ f ( X ₁ X ₀ , X ₂

X ₀ ) et f = F (1, X ₁ , X ₂ )

2.7. Dénition : La clôture projective d'une courbe C=V(f) est dénie par C ¯ = V (F ) ⊂ P ² ( C ) avec F l'homogénisation de f.

P ² ( C ) est le plan projectif dénit sur C, c'est-à-dire C ³ \ {0} quotienté par la relation d'équivalence "être colinéaire à" :

(x ₀ , x ₁ , x ₂ ) = λ(y ₀ , y ₁ , y ₂ ) ⇔ (x ₀ , x ₁ , x ₂ ) ∼ (y ₀ , y ₁ , y ₂ )

On notera (x ₀ : x ₁ : x ₂ ) un des représentants de cette classe. On dit que C ¯ est une courbe projective.

2.8. Dénition : Une courbe projective K est un sous-ensemble de P ² ( C ) tel qu'il existe un polynôme homogène F ∈ C [X ₀ , X ₁ , X ₂ ] tel que :

K = V (F ) et degF ≥ 1

Il est alors judicieux de s'intéresser aux intersections de deux courbes non pas dans C ² , mais plutôt dans le plan projectif P ² ( C ) pour éviter des distinctions de cas. La notion de multiplicité d'intersection nous permet d'étudier plus en détail un point d'intersection entre deux courbes.

2.9. Dénition : Pour deux polynômes P (X) = p ₀ + p ₁ X + · · · + p _n X ⁿ et Q(X) = q 0 + q 1 X + · · · + q m X ^m de A[X] , avec A un anneau commutatif unitaire et les p _i et q _i des éléments de A, la résultante R _P,Q de P et Q est dénie par :

R _P,Q =

p ₀ . . . p _n

... ...

... ...

p ₀ . . . p _n q ₀ . . . . . . q _m

... ...

q ₀ . . . . . . q _m

= det(M _P,Q )

où la matrice M _P,Q est une matrice carrée de taille m + n .

2.10. Dénition : Si C ₁ = V (F ₁ ) et C ₂ = V (F ₂ ) sont deux courbes projec- tive de P ² ( C ) n'ayant aucune composante commune et ne passant pas par le point q = (0 : 0 : 1) , c'est-à-dire

F ₁ (0 : 0 : 1) 6= 0 et F ₂ (0 : 0 : 1) 6= 0

Si p = (p ₀ : p ₁ : p ₂ ) ∈ C ₁ ∩ C ₂ est un point d'intersection, alors on aura :

mult _p (C ₁ ∩ C ₂ ) = ord _p

(G) où G ∈ C [X ₀ , X ₁ ] est la résultante de F ₁ et F ₂ ,

p ⁰ = (p ₀ : p ₁ ) et ord _p

(G) est l'ordre d'annulation de G en p'.

2.11. Dénition : Pour un polynôme P s'annulant en p, l'ordre d'annulation de P en p correspond à la multiplicité de p en tant que racine de P.

2.12. Exemple : Prenons l'exemple du cercle d'équation f (X 1 , X 2 ) = X 1 (X 1 + 1) + X ₂ ² = 0 et de la droite d'équation X ₁ = 0 dans C ² .

Notons F (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₁ (X ₁ + X ₀ ) + X ₂ ² son homogénisation.

On a alors le système suivant : ( X ₁ (X ₀ + X ₁ ) + X ₂ ² = 0

X ₁ = 0

On recherche donc l'ensemble des points d'intersection de ces deux courbes : on obtient, en remplaçant X ₁ = 0 , le système suivant :

( X ₂ ² = 0

X ₁ = 0

Ce qui nous donne un unique point d'intersection : le point p = (1 : 0 : 0) . Pour déterminer la multiplicité en p de l'intersection entre C et la droite d'équation X ₁ = 0 , nous allons calculer la résultante G correspondant à ce système en considérant ces deux polynômes en tant qu'éléments de A[X ₁ ] , où A = C [X ₀ , X ₂ ] :

G(X ₀ , X ₂ ) =

1 0 0

0 1 0

1 X 0 X ₂ ²

= X ₂ ²

On obtient donc que le point p ˜ = (1 : 0) a un ordre d'annulation de 2, et donc que le point p = (1 : 0 : 0) est de multiplicité 2 pour l'intersection.

X2

X1

Figure 1 Exemple d'un cercle et de la droite X ₁ = 0

Il est indispensable pour la suite de dénir ce qu'est un point singulier d'une courbe ane.

2.13. Dénition : Pour une courbe ane C=V(f), un point p ∈ C est dit singulier s'il vérie :

grad _p ( ˜ f ) = ( ∂ f ˜

∂X ₁ (p), ∂ f ˜

∂X ₂ (p)) = (0, 0)

où f ˜ est le polynôme minimal de C. Dans le cas contraire, il est dit régulier.

D'où vient la question naturelle : peut on savoir combien de points sin- guliers possède une courbe ?

3 Nombre de singularités

Le théorème de Bézout nous permet d'obtenir une relation entre la mul- tiplicité des points d'intersection entre deux courbes et le degré de celles-ci.

3.1. Théorème : Théorème de Bézout

Soient C ₁ et C ₂ deux courbes projectives quelconques de P ² ( C ) ne possé- dant aucune composante commune. On a alors l'égalité :

X

p∈C

∩C

mult _p (C ₁ ∩ C ₂ ) = deg(C ₁ ) deg(C ₂ ) 3.2. Exemple :

Considérons deux droites D ₁ = V (f) et D ₂ = V (g) de C ² , avec f (X ₁ , X ₂ ) = X ₁ et g(X ₁ , X ₂ ) = X ₁ − 1

Notons D ˜ ₁ = V (F ) et D ˜ ₂ = V (G) leurs clôtures projectives respectives dans P ² ( C ) , avec F l'homogénisation de f et G l'homogénisation de g :

F (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₁ et G(X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₁ − X ₀

Le seul point d'intersection est donc le point : p = (0 : 0 : 1) . Calculons la résultante de F et G :

R _F,G (X ₀ , X ₂ ) =

1 0

1 −X ₀

= −X ₀

On obtient donc que le point p ˜ = (0 : 1) de P ¹ ( C ) a un ordre d'annulation

de 1, et donc que le point p = (0 : 0 : 1) de P ² ( C ) est de multiplicité 1 pour

l'intersection.

Le théorème suivant nous permet d'avoir une borne inférieure de la mul- tiplicité d'intersection en un point entre deux courbes :

3.3. Théorème : Soient C ₁ et C ₂ deux courbes anes de C ² ne possédant aucune composante commune. On a alors l'inégalité suivante :

mult _p (C ₁ ∩ C ₂ ) ≥ mult _p (C ₁ )mult _p (C ₂ )

avec mult _p (C) la multiplicité de la courbe C=V(f) en p, c'est à dire l'ordre d'annulation de f en p.

Pour déterminer le maximum de singularités qu'une courbe peut posséder, il nous faudra montrer le lemme suivant :

3.4. Lemme : Soit n ∈ N et {P _i } _i∈[[1,...,

2

n(n+3)]] une collection de points dinstincts de P ² ( C ) .

Alors il existe une courbe projective C de degré inférieur ou égal à n passant par ces points.

Démonstration. Notons V _n le C-espace vectoriel des polynômes homogènes de degré n en trois variables :

V _n = {f ∈ C [X ₀ , X ₁ , X ₂ ] | f (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X

a+b+c=n

α _a,b,c X ₀ ^a X ₁ ^b X ₂ ^c et α _a,b,c ∈ C }

On a :

dim V n =

n + 3 − 1 n

= 1

2 (n + 2)(n + 1)

car, en considérant les polynômes homogènes de degré n s'écrivant sous la forme X ₀ ⁱ A(X ₁ , X ₂ ) avec A(X ₁ , X ₂ ) un polynôme de C [X ₁ , X ₂ ] de degré n − i et i ∈ [[0, . . . , n]] , il y a exactement n − i + 1 façons diérentes d'écrire A. On a alors

dim V _n =

n

X

j=0

(n+1−j) = (n+1) ² −

n

X

j=0

j = (n+1) ² − n(n + 1)

2 = (n + 1)(n + 2) 2 On a donc : tout polynôme P ∈ C [X ₀ , X ₁ , X ₂ ] s'écrit sous la forme :

P (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) =

(n+1)(n+2) 2

X

j=1

a _j M _j (X ₀ , X ₁ , X ₂ )

avec M _j un monome de degré n.

La courbe C=V(P) passe donc par un point p = (p ₀ , p ₁ , p ₂ ) si et seulement si

0 =

(n+1)(n+2) 2

X

j=1

a _j M _j (p ₀ , p ₁ , p ₂ )

D'où, C passe par d points ssi les coecients a _j satisfont un système linéaire homogène à d équations, et donc si d ≤ ¹ ₂ (n+1)(n+2)−1 = ¹ ₂ n(n+3) , l'espace des solutions a une dimension supérieure ou égale à 1 : il contient un polynôme non nul P, et donc la courbe recherchée est C=V(P).

Ce lemme nous permettra de montrer le théorème suivant :

3.5. Théorème : Une courbe ane irréductible de degré n C de P ² ( C ) pos- sède au plus γ(n) = ¹ ₂ (n − 1)(n − 2) singularités.

Avant de démontrer ce théorème, nous allons considérer des exemples de petit degré.

3.6. Exemples : 1. Cas n=1

Une courbe ane de degré 1 est une droite, qui est une courbe lisse, donc elle n'admet aucune singularité. On retrouve : γ(1) = 0 .

2. Cas n=2

De même, une courbe ane irréductible de degré 2 est une conique et est une courbe lisse car γ(2) = 0 .

En eet, supposons qu'il existe une conique irréductible C admet un point p comme singularité. Si l'on prend q un point de la courbe en lequel la courbe C est lisse, on considère la droite D passant par les points p et q.

On a alors :

mult _p (C ∩ D) ≥ mult _p (C)mult _p (D) ≥ 2 d'après le théorème 3.3 car p est une singularité de C.

De même,

mult _q (C ∩ D) ≥ mult _q (C)mult _q (D) ≥ 1 et donc, d'après le théorème de Bézout :

X

j∈C∩D

mult _j (C ∩ D) = deg(C)deg(D) = 2

Or, on a : X

j∈C∩D

mult _j (C ∩ D) ≥ mult _p (C ∩ D) + mult _q (C ∩ D) ≥ 2 + 1 = 3 ce qui contredit le théorème de Bézout.

p

q

D

C

Figure 2 Courbe de "degré 2" possédant un point singulier 3. Cas n=3

Pour n=3, on trouve : γ(3) = 1 : toute cubique irréductible contient donc au plus une singularité.

Vérions qu'une cubique irréductible ne peuve posséder qu'un seul point singulier.

On a : γ(3) = 1 .

Supposons qu'il existe une cubique irréductible C possèdant deux sin- gularités p ₁ et p ₂ : il existe alors une droite D passant par ces deux points.

P2 P1

C D

Figure 3 Courbe de "degré 3" possédant deux points singuliers

On a alors : mult _p

(C ∩ D) ≥ 2 et mult _p

(C ∩ D) ≥ 2 donc mult _p

(C ∩ D) + mult _p

(C ∩ D) ≥ 4

De plus, C étant irréductible, D ne peut être une composante de C, et donc, d'après le théorème de Bézout :

mult _p

(C ∩ D) + mult _p

(C ∩ D) = deg(C) × deg(D) = 3 × 1 ce qui contredit la première inégalité.

Démonstration. du Théorème 3.6 :

Supposons n ≥ 3 , les résultats pour n=1 et n=2 étant connus.

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe γ(n) + 1 singularités.

On choisit alors n-3 points diérents et distincts deux à deux appartenant à C, ce qui nous donne

γ(n) + 1 + n − 3 = 1

2 (n − 1)(n − 2) + n − 2 = 1

2 (n + 1)(n − 2) points distincts.

D'après le lemme 3.3 il existe une courbe C' de degré m ≤ n − 2 passant par chacun de ces ¹ ₂ (n − 2)(n + 1) points.

On a donc : pour tout point p ∈ (C ∩ C ⁰ ) :

Si p est un des points singuliers de la courbe C :

mult _p (C ∩ C ⁰ ) ≥ mult _p (C) × mult _p (C ⁰ ) ≥ 2

car p est singulier pour a courbe C et appartient à la courbe C', donc mult _p (C) ≥ 2 et mult _p (C ⁰ ) ≥ 1 , et d'après le théorème 3.3.

Si p est un des autres points choisis :

mult _p (C ∩ C ⁰ ) ≥ mult _p (C) × mult _p (C ⁰ ) ≥ 1

car p appartient à la courbe C et à la courbe C', donc mult _p (C) ≥ 1 et mult _p (C ⁰ ) ≥ 1 .

On a donc, d'un côté : X

p∈C∩C

mult _p (C ∩ C ⁰ ) ≥ 2(γ(n) + 1) + n − 3 = n(n − 2) + 1

D'autre part, comme la courbe C est irréductible et deg C ⁰ < n , la courbe C' ne peut être une composante de la courbe C.

D'où, d'après le théorème de Bézout : X

p∈C∩C

mult _p (C ∩ C ⁰ ) = n × m ≤ n(n − 2)

ce qui contredit la première inégalité.

4 Courbes polaires, courbes Hessiennes et nombre de points d'inexion

Nous avons désormais une borne supérieure du nombre de points singu- liers. Cependant, ce ne sont pas les seuls points remarquables d'une courbe : il y a les points d'inexion.

4.1. Dénition : Soit C une courbe ane de C ² et p ∈ C . Soit L une droite passant par p.

L est une tangente à C en p si l'inégalité suivante est vériée : ord _p (C) < mult _p (C ∩ L)

4.2. Dénition : Soit C une courbe ane de C ² et p un point où la courbe est lisse. Soit T la tangente à C en p.

Si mult _p (C ∩ T ) = 2 , alors la droite T est une tangente simple.

Si mult _p (C ∩ T ) ≥ 3 , alors la droite T est une tangente inexionelle.

Dans ce cas, p est appelé un point d'inexion.

Si mult _p (C ∩ T ) = 3 , p est appelé un point d'inexion simple.

Si une droite T est tangente à C en au moins deux points lisses de C, T est alors appelée une bitangente.

Il est intéressant de se demander s'il existe des tangentes à C passant par un point arbitraire q, c'est là qu'intervient la dénition de courbe polaire.

4.3. Dénition : Soit C = V (f ) une courbe ane de P ² ( C ) et soit F son polynôme minimal tel que deg(F ) ≥ 2 . Soit q = (q ₀ : q ₁ : q ₂ ) un point de P ² ( C ) arbitraire. Notons :

D _q F = q ₀ ∂F

∂X ₀ + q ₁ ∂F

∂X ₁ + q ₂ ∂F

∂X ₂ =< grad F, q >

Si deg(D _q F ) ≥ 1 , alors la courbe polaire de pole q de C, notée P _q F , est la courbe donnée par P q F = V (D q F ) .

4.4. Proposition : Soit C = V (f) une courbe projective de P ² ( C ) et F son polynôme minimal, soit q un point arbitraire de P ² ( C ) . Supposons que F soit de degré n. On a alors :

1. deg(D _q F ) = n − 1 si D _q F 6= 0 .

2. C et P _q C ont une composante commune si et seulement si C contient une ligne passant par q.

3. Si p ∈ P ² ( C ) est un point singulier, alors p ∈ P _q C .

Ces propriétés nous permettent d'en déduire un théorème plus précis : 4.5. Théorème : Soit C = V (F ) une courbe projective de P ² ( C ) de degré n ≥ 2 ne contenant aucune ligne et soit q un point de P ² ( C ) arbitraire.

La courbe polaire P q C est alors une courbe de degré ≤ n − 1 n'ayant aucune composante commune avec C.

De plus, en tant que diviseur eectif, P _q C est de degré n-1.

Les points de l'intersection C ∩ P q C sont exactement les points p de C dont la tangente à C en p passent par q, ainsi que les singularités de C.

4.6. Dénition : Soit C une courbe ane de C ² . C peut s'écrire de la forme : C =

d

X

i=1

a _i C _i

où a i est un entier non nul et C i une courbe ane irréductible de C ² . On a alors : deg(C) = P d

i=1 a _i deg(C _i ) et les courbes anes a _i C _i sont les diviseurs eectifs de C.

Le théorème de Bézout nous permet donc d'armer qu'une courbe pro- jective C de P ² ( C ) possède au plus n(n − 1) tangentes passant par un point q de P ² ( C ) . Cependant, nous avons besoin d'un autre outil pour obtenir les points d'inexion d'une courbe projective C.

4.7. Dénition : Soit F un polynôme homogène de C [X ₀ , X ₁ , X ₂ ] de degré

≥ 2 . La matrice Hessienne de F, notée H _F est dénie par la matrice symétrique suivante :

H _F =

∂ ² F

∂X _i ∂X _j

0≤i,j≤2

Si F est un polynôme minimal la courbe projective C=V(f) de P ² ( C ) , et si deg(det H _F ) ≥ 1 , alors on dénit la courbe Hessienne de C par H(C) = V (det (H _F )) .

Nous pouvons alors en déduire les propriétés suivantes :

4.8. Proposition : Soit C=V(f) une courbe projective de P ² ( C ) , F son po- lynôme minimal et n le degré de F. On a alors :

1. Si det(H _F ) 6= 0 , alors deg(det H _F ) = 3(n − 2) .

2. La courbe Hessienne de C contient l'ensemble des points singuliers de

C.

D'où le théorème :

4.9. Théorème : Soit C=V(f) une courbe ane de P ² ( C ) ne contenant aucune ligne et F son polynôme minimal. On a alors :

1. det H _F 6= 0 .

2. Un point lisse p de la courbe C est un point d'inexion si et seulement si p ∈ H(C) .

3. C et H(C) n'ont aucune composante commune.

4. Si p est un point d'inexion simple, alors mult _p (C ∩ H(C)) = 1 . Le théorème de Bézout nous permet donc d'obtenir un majorant du nombre de points d'inexion :

4.10. Corollaire : Soit une courbe ane C=V(f) de P ² ( C ) ne contenant aucune ligne.

Alors C possède au plus 3n(n-2) points d'inexion.

Avant de continuer, considérons la courbe cuspidale et appliquons le théo- rème.

4.11. Exemple : Soit C la courbe cuspidale de P ² ( C ) d'équation f (X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ³ − X ₂ ² = 0

Notons F (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ³ − X ₀ X ₂ ² l'homogénisation de f. On a :

det H _F =

0 0 2X ₂

0 6X ₁ 0

2X ₂ 0 −2X ₀

= −24X ₁ X ₂ ²

La courbe Hessienne H(C) de C est donc la courbe projective d'équation G(X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₁ X ₂ ² = 0 .

Les points d'intersection de H(C) et de C sont donc p = (0 : 0 : 1) et q = (1 : 0 : 0) .

On a :

grad(F ) = (−X ₀ ² : 3X ₁ ² : −2X ₀ X ₂ )

et donc, comme grad _q (F ) = (0 : 0 : 0) , le point q est un point singulier.

Comme grad p (F ) = (1 : 0 : 0) 6= (0 : 0 : 0) , le point p est donc un point

lisse de la courbe C. Vérions que la multiplicité de p pour l'intersection

entre les courbes C et H(C) est bien égale à 1, et que p est bien un point

d'inexion simple pour la courbe C. Notons R _F,G la résultante des polynômes F et G. On a :

R F,G (X 0 , X 2 ) =

1 0 0 −X ₀ X ₂ ²

X 2 0 0 0

0 X ₂ 0 0

0 0 X ₂ 0

= X 0 X ₂ ⁵

On a donc : le point (0 :1) a un ordre d'annulation de 1 et donc le point p = (0 : 0 : 1) est de multiplicité 1 pour l'intersection.

La tangente à la courbe C en p est la droite d'équation T (X ₀ , X ₁ , X ₂ ) = X ₀ = 0

En notant R _F,T la résultante des polynômes F et T, on a : R _F,T (X ₁ , X ₂ ) =

−X ₂ ² X ₁ ³

1 0

= −X ₁ ³

Donc T est une tangente inexionnelle, et comme l'ordre d'annulation du point (0 :1) est de 3 pour la résultante, on obtient bien que le point p = (0 : 0 : 1) est un point d'inexion simple.

p = (0:0:1)

q = (1:0:0)

C

X0 X1

X2

H(C)

Figure 4 Courbe cuspidale et sa courbe Hessienne

5 Formules de Plücker

Les formules de Plücker nécessitent de savoir ce qu'est la courbe duale d'une courbe projective.

5.1. Dénition : Soit C une courbe projective de P ² ( C ) . On dénit C ^∗ la courbe duale de C par :

C ^∗ = {L ∈ ( P ² ) ^∗ ( C ) | L est tangente à C en un certain point p ∈ C}

où ( P ² ) ^∗ ( C ) est déni de la manière suivante : à un point q = (q ₀ : q ₁ : q ₂ ) de ( P ² ) ^∗ ( C ) correspond une droite V (q ₀ X ₀ + q ₁ X ₁ + q ₂ X ₂ ) de P ² ( C ) .

Pour la suite, on admettra le théorème suivant :

5.2. Théorème : Soit C une courbe projective de P ² ( C ) n'ayant comme composante aucune ligne. On a alors :

1. La courbe duale C ^∗ de C est une courbe projective de ( P ² ) ^∗ ( C ) .

2. Si la courbe projective C est irréductible, alors sa courbe duale C ^∗ est irréductible et deg C ^∗ ≥ 2 .

3. On a l'égalité suivante : C ^∗∗ = C .

Les formules de Plücker faisant intervenir les courbes de Plücker, les points doubles simples et les cusps simples, voici leurs dénitions.

5.3. Dénition : Soit une courbe ane C=V(f) de C ² possédant un point singulier p tel que mult _p (C) = 2 et f ˜ son polynôme minimal. On a alors, en décomposant f ˜ en polynômes homogènes :

f ˜ = ˜ f ₂ + ˜ f ₃ + · · · + ˜ f _n avec f ˜ ₂ (X ₁ , X ₂ ) = aX ₁ ² + bX ₁ X ₂ + cX ₂ ² et a, b, c ∈ C.

Deux cas sont alors possibles : 1. Soit b ² − 4ac 6= 0 :

Alors f ˜ se factorise en un produit de deux polynomes homogènes de degré 1 distincts, décrivant chacun une droite tangente à C en p.

Si mult _p (C ∩ D) = 3 , pour chacune des deux droites D tangente à C en p, le point p est appelé un point double simple.

2. Soit b ² − 4ab = 0 :

Alors f ˜ se factorise en un polynome homogène de degré 1 au carré, décrivant une droite tangente D à C en p.

Si mult _p (C ∩ D) = 3 , le point p est appelé un cusp simple.

On utilisera alors les notations utilisées dans le théorème 1.2.

5.4. Dénition : Soit C une courbe algébrique de P ² ( C ) et soit C ^∗ sa courbe duale. La classe de C, notée n ^∗ , correspond au degré de la courbe C ^∗ . 5.5. Remarque : Soit C une courbe algébrique de P ² ( C ) . On a : d ^∗ =#{bitangentes de C}, s ^∗ =#{points d'inexion de C},

d =#{bitangentes de C ^∗ } et s =#{points d'inexion de C ^∗ }.

Nous avons ainsi tous les outils en mains pour comprendre et utiliser les formules de Plücker :

5.6. Théorème : Pour une courbe de Plücker C de P ² ( C ) de degré n et de classe n*, on a les égalités suivantes :

1. n ^∗ = n(n − 1) − 2d − 3s 2. s ^∗ = 3n(n − 2) − 6d − 8s 3. n = n ^∗ (n ^∗ − 1) − 2d ^∗ − 3s ^∗ 4. s = 3n ^∗ (n ^∗ − 2) − 6d ^∗ − 8s ^∗ avec les notations précédentes.

Nous allons vérier ces formules pour une quadrique irréductible de P ² ( C ) . 5.7. Exemple : Soit C une quadrique irréductible de P ² ( C ) .

La courbe C est alors une courbe de Plücker, puisqu'elle n'admet aucun point singulier d'après le théorème 3.6.

D'après le théorème 5.2, sa courbe duale C ^∗ est irréductible et est de degré ≥ 2 , donc sa classe n ^∗ est ≥ 2 .

D'après les formules de Plücker, on a aussi :

n ^∗ = n(n − 1) − 2d − 3s = 2 − 2d − 3s avec d ≥ 0 et s ≥ 0 , donc n ^∗ ≤ 2 , d'où n ^∗ = 2 .

On a de même :

s ^∗ = 3n(n − 2) − 6s − 8s = −6d − 8s et s ^∗ ≥ 0 , donc s ^∗ = 0 .

De plus, on a :

s = 0 = 3n ^∗ (n ^∗ − 2) − 6d ^∗ − 8s ^∗ donc d ^∗ = 0 .

On trouve donc : n ^∗ = n = 2 , s = d = 0 : c'est évident puisque la courbe C ne possède aucun point singulier, et s ^∗ = d ^∗ = 0 , ce qui est aussi évident puisque la courbe duale C ^∗ est de degré 2 et est irréductible, donc n'a aucun point singulier.

On obtient donc que les courbes C et C ^∗ n'ont ni bitangente, ni point

d'inexion.

Références

[1] Gerd Fischer, traduit de l'allemand par Leslie Kay, Plane Algebraic

Curves, publié par la Société Mathématique Américaine (AMS), 2001.