Chapitre : Dérivation
v I. Fonctions polynomiales
~ Activité : 1p70 (recherche de formule pour xn), éventuellement 2p70 sur les opérations
1. Dérivées
Propriété (Rappels)
Soit k une constante (un nombre réel fixé).
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =k.
Alors la fonction dérivée de f est définie par f0(x) = 0.
Si f(x) = x, alors f0(x) = 1.
Si f(x) = x2, alors f0(x) = 2x.
Propriété Soit n un entier naturel supérieur à 1. Soit f(x) =xn. Alors f0(x) =nxn−1. En particulier,
— Si f(x) =x3, alorsf0(x) = 3x2;
— Si f(x) =x4, alorsf0(x) = 4x3. Propriété (Opérations)
Soit k un nombre réel et u une fonction.
Alors la dérivée de la fonction (ku) est (ku)0 =ku0. Soit v une autre fonction.
Alors la dérivée de la fonction (u+v) est(u+v)0 =u0 +v0.
Ces formules et les propriétés précédentes permettent de calculer la dérivée de toute fonction poly- nomiale.
Exemple Soit f(x) = 5x3+ 7x2+ 3x.
Alors f0(x) = 5×(3x2) + 7×(2x) + 3×(1) = 15x2+ 14x+ 3 I Exercices : 10,11,12,15,16,18 (,17 corrigé) p78
I Exercices : 43,44,45,46 (développer au préalable),51,52(,53)p80 (diverses fonctions)
II. Tangente
~ Activité : 4p74 (en salle informatique)
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit Cf la courbe représentative de f. Soit A un point de Cf d’abscisse xA.
On appelle tangente à la courbe Cf au point Ala droite passant par A et ayant pour coefficient directeur le nombre f0(xA).
Exemple Soit f(x) = 3x2−2x+ 1.
Pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse xA = 3, on calcule tout d’abord f0(x) :
f0(x) = 3×(2x)−2×(1) + 0 = 6x−2.
Le coefficient directeur de la tangente est donc f0(xA) =f0(3) = 6×3−2 = 18−2 = 16.
L’équation de la tangente est de la forme y=mx+p,m étant le coefficient directeur.
Donc on a y= 16x+p.
Il reste à déterminer p. Pour cela on utilise le fait que la tangente passe par le pointA.
Autrement dit, on a yA= 16xA+p.
Or xA= 3, donc yA=f(xA) = 3×(32)−2×3 + 1 = 27−6 + 1 = 22.
Par suite, 22 = 16×3 +p, donc 22 = 48 +p, puis p= 22−48 =−26.
Finalement, la tangente a pour équation y= 16x−26.
Plus simplement on donne la propriété suivante :
Propriété Soit f une fonction dérivable sur R dont la dérivée est f0. On note Cf la courbe représentative de f. Soit a un réel. Alors la tangente à Cf au point d’abscisse a a pour équation :
y=f0(a)(x−a) +f(a)
Exemple Vérification de l’équation obtenue précédemment en utilisant la formule.
I Exercices : 33,35p79
I Exercices : 30p79 (valeurs données sans expression de f, tracé de tangente à faire) I Exercices : 86,87,88p83
I Exercices : 90,91p83 (lectures graphiques)
III. Étude des variations
~ Activité : 3p74 (en salle informatique)
Propriété Soit I un intervalle et f une fonction définie et dérivable sur I.
• Si f0(x)>0 pour toutx∈I, alors f est croissante sur I;
• Si f0(x)60 pour toutx∈I, alors f est décroissante sur I.
Exemple (exercice 70p81) Soit f(x) = 1
4x4−x3−5x2. Alors f0(x) = x3−3x2−10x.
Pour étudier le signe de f0(x), polynomiale de degré 3, il faut parvenir à la factoriser.
On pourra alors faire un tableau de signe. Or f0(x) = x(x2 −3x−10).
Il suffit maintenant d’étudier le signe de x2−3x−10, polynomiale de degré 2.
Pour cela on calcule : ∆ = (−3)2−4×(−10) = 9 + 40 = 49 = 72 >0.
Il y a donc deux racines : x1 = −b−√
∆
2a = 3−7
2 =−2 et x2 = −b+√
∆
2a = 3 + 7 2 = 5 Par suite, comme a= 1>0 on a :
x x x2 −3x−10 signe def0(x)
Variations def
−∞ −2 0 5 +∞
− − 0 + +
+ 0 − − 0 +
− 0 + 0 − 0 +
−8
−8
0 0
−93,75
−93,75
I Exercices : 23,24p78, 62p81 (polynomiales de degré 2) I Exercices : 26,27p78, 64,66,68p81 (polynomiales de degré 3) I Exercices : 71p81 (polynomiale de degré 4)
I Exercice : (DM) 80p82 (polynomiale de degré 3 et extremum)
IV. Fonctions rationnelles
~ Activité : QCM 6,7,8 page 96 (transformation d’expressions)
1. Fonction inverse
Propriété La fonction dérivée de la fonction inverse définie sur ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ par f(x) = 1 est la fonction f0 définie sur le même ensemble par : x
f0(x) = − 1 x2
Exemple Soit f(x) = 5 + 1
x. Alors f0(x) = 0 +
−1 x2
=− 1 x2. I Exercices : 1,2,3,4,6,8p102
I Exercices : 36,38p104
2. Quotient de fonctions
~ Activité : 2p98 : la dérivée de u
v n’est pas u0 v0 !
Propriété Soit u etv deux fonctions définies sur un intervalle I, ayant pour dérivées respective- ment u0 etv0. On suppose que quelque soit x∈I, u(x)6= 0.
On pose f(x) = u(x) v(x).
Alors la dérivée f0 def est définie sur I par : f0(x) = u0(x)v(x)−u(x)v0(x) (v(x))2 . On peut écrire :
u
v 0
= u0v −uv0 v2 Exemple Soit f(x) = 5x2 + 2
3x−1, définie sur[1; 10].
f est de la forme u
v avecu(x) = 5x2 + 2 etv(x) = 3x−1.
On a alors u0(x) = 10x et v0(x) = 3.
Par suite,
f0(x) = u0(x)v(x)−u(x)v0(x)
(v(x))2 = 10x×(3x−1)−(5x2+ 2)×3 (3x−1)2
= 30x2−10x−15x2−6
(3x−1)2 = 15x2−10x−6 (3x−1)2
I Exercices : 11,12,13,14,... p102 I Exercices : 44,45,50,51p105
3. Tangentes
I Exercice : 26p103
I Exercices : 72,73p108, 74,76p109 I Exercice : (en DM ?) 78p109
4. Étude de variations
I Exercices : 21,22,25p103 (fonction rationnelle)
I Exercices : 55,56p106, 60,62p107 (autres fonctions rationnelles) I Exercice : (DM) 79p109 (rationnelle et extremum)
