III. Étude d’un wattmètre électronique

(1)

PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N^◦4 - 22/12/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

ÉLECTROCINÉTIQUE

0

I. Circuit en régime transitoire

1.

En régime stationnaire, un condensateur est équi- valent à un interrupteur ouvert. Le schéma équi- valent est alors celui ci-contre.

On a une seule maille doncu1=Ri. De plus elle est est ouverte donci= 0 et donc u_1,0=u1,∞= 0 . La loi des mailles impose alors u2 = −e, d’où

u_2,0= 0 et u_2,∞=−E.

2. La puissance reçue parC2estP2=−u2i2=−u2.(−C2du2 dt) =^dξ^e,2

dt avecξ_e,2=¹₂C2u²₂l’énergie électrique stockée dans le condensateur (qui doit varier continûment). Après application de l’échelon ce condensateur reçoit donc

W2= ˆ ∞

0

P2dt= [ξe,2]^∞₀ =¹₂C2u²_2,∞−¹₂C2u²_2,0 d’où W2=¹₂C2E² .

Par le même raisonnement on obtient la puissance reçue parC1:P1= ^dξ_dt^e,1 avecξ_e,1=¹₂C1u²₁ et donc W1= 0 .

3. On aW_G=´∞

0 Eidt=−E C2

´∞ 0

du2

dtdt=−E C2[u2(t)]^∞₀. Finalement W_G=C2E². 4. On introduit les courantsi1eti2 comme ci-contre.

Pourt >0, la loi des mailles donne E=Ri−u2+u1.

On obtient un bilan instantané en puissances en multipliant par le couranti=i1+i2 et en notant queu1=Ri2:

Ei=Ri²−u2i+u1i2+Ri²₂

⇔ P_G=P_J,2+P2+P1+P_J,1=P_J+P1+P2

oùP_J,1etP_J,2représentent respectivement les puissances dissipées par effet Joule dans la résistance du bas et celle du haut, etP1etP2sont toujours les puissances reçues par les condensateurs. Par intégration entre 0 et∞on obtient donc

W_G=W_J+W1+W2 ⇔ W_J=W_G−W1−W2=¹₂C2E² . 5. La tension aux bornes d’un condensateur étant continue, on a u1(0⁺) =u1(0⁻) =u_1,0= 0 .

D’autre part^du_dt¹=_Cⁱ¹

1aveci1=i−i2. Ces derniers courants sont déterminés par continuité des tensions aux bornes des condensateurs dans les lois de mailles :

Ri2(0⁺) =u1(0⁺) = 0 et Ri(0⁺) =u2(0⁺)−u1(0⁺) +e(0⁺) = 0−0 +E d’où finalement du1

dt(0⁺) = E RC1

.

1

6. On réutilise les lois de maille et de nœued utilisées ci-dessous, pourt >0 :

E = Ri−u2+u1 (1)

i = i1+i2=C1u˙1+u1

R (2)

i = −C2

du2

dt (3)

On voit qu’il est nécessaire de dériver l’Eq. (1) pour y injecter l’Eq. (3) puis l’Eq. (2) : 0 ⁽¹⁾= Rdi

dt−du2

dt +du1

dt

(3)= Rdi dt+ i

C2

+du1

dt

(2)= Rd dt

C1u˙1+u1

R

+ 1 C2

C1u˙1+u1

R

+du1

dt

= RC1u¨1+

2 +C1

C2

˙ u1+ u1

RC2

(4) que l’on met sous forme canonique :

d²u1

dt² +ω0

Q du1

dt +ω²₀u1= 0 avec ω0= 1 R√

C1C2

et Q= 2 sC2

C1

+ sC1

C2

!−1

.

Remarque : la simplification de l’expression deQpermet de voir qu’il ne dépend pas deR! 7. On obtient ω0= 1

RC et Q=1

3. Il s’agit d’un équation linéaire à coefficients constants d’ordre 2 et sans second membre. Comme Q < ¹₂, le régime transitoire est apériodique. Les racines de l’équation caractéristiquer²+^ω_Q⁰r+ω²₀= 0 sont

r_1,2=−ω0

2Q±ω0 s 1

4Q²−1 =−3∓√ 5 2RC ,

où l’on a simplifié comme suggéré par l’énoncé avecC1=C2. La solution s’écrit donc u1(t) =A e⁻

t τ1+B e⁻

t

τ2 avec (A, B)∈R², τ1= 2RC 3−√

5 et τ2= 2RC 3 +√

5 . Les constantes (A, B) sont obtenues via les conditions initiales :

u1(0⁺) = 0 =A+B⇔B=−A (5)

˙

u1(0⁺) = E RC =A

−1 τ1

+ 1 τ2

=A

√5

RC ⇒ A=−B= E

√

5. (6)

Finalement u1(t) = E

√5

e⁻^τ^t1−e⁻^τ^t2

.

2

(2)

II. Mesure d’une impédance complexe par détection synchrone

II.1. Étude du convertisseur courant-tension

1. a)Le courantientre dans la résistanceR1, qui est soumise à la tensionu_A+εen convention générateur, donc u_A+ε=−R1i.

b)On injecteε=_K(jω)^u^A dans la relation précédente, ce qui conduit à T(jω) =u_A(t)

i(t) = G0

1 +j_ω^ω

c

avec G0=− R1

1 + 1/K0

et ω_c=ω0(K0+ 1) . Avec les valeurs proposées, on a G0 ≈ −R1 etω_c ≈ K0ω0 ≈ 2×10⁸rad.s⁻¹, d’où _ω^ω

c = ^2πf_ω

c <

2π×10⁻⁵1. Finalement on obtient T≈ −R1.

Remarque : Tout se passe comme si on avait simplement utilisé la résistanceR1 seule avecu_Ala tension à ses bornes. Mais l’intérêt de ce montage est qu’il permet l’adaptation d’impédance, c’est-à- dire la mise en cascade avec les autres éléments du montage total sans modification des fonctions de chaque bloc. Ceci est du à l’impédance de sortie quasi nulle de l’ALI, et son impédance d’entrée très grande.

2. a)Si on permute les bornes d’entrée, on obtient :u_A−ε=−Ri. Donc cela revient à remplacerK0par

−K0dans les calculs précédents. On obtient alors T(jω) =u_A(t)

i(t) = G⁰₀ 1−j_ω^ω0

c

avec G⁰₀=− R1

1−1/K0

et ω⁰_c=ω0(K0−1) .

b)On a alors u_A1−j_ω^ω0 c

=G⁰₀i, d’où l’équation différentielle −1 ω⁰_c

du_A

dt +u_A=G⁰₀i valable en régime quelconque. Les solutions de l’équation sans second membre associée vont diverger car les deux coefficients ne sont pas de même signe.Le système serait alors instable.

3. On a en complexes :i=û_Zê=_|Z|Ûêe^j(ωt−ϕ)etu_A=−R1idonc i(t) = U_e

|Z| cos(ωt−ϕ) et u_A(t) =−R1U_e

|Z| cos(ωt−ϕ) . Remarque : l’énoncé demandaiti(t)mais c’est une coquille. ConcrètementTsert à calculeru_A(t), qui est

ce que l’on cherche pour la suite.

II.2. Etude du circuit déphaseur

4. La loi des nœuds en terme de potentiel s’écrit

•à l’entrée inverseuse :V₋_R¹

2+_R¹

2

=^u_R^A

2+^u_R^D

2 ⇔ 2V₋=u_A+u_D;

•à l’entrée non inverseuse :V₊_R¹

a+jωC=^u_R^A

a+ 0×jωC ⇔ V₊(1 +jR_aCω) =u_A; CommeV₊=V₋, le rapport des 2 précédentes équations conduit à ²

1+jRaCω= 1+H_d, d’oùH_d=u_D(t)

u_A(t)=1−jRaCω 1 +jR_aCω . 5. a)Le gain de ce quadripôle vautG_d=|H_d|= 1. Il est indépendant de la fréquence doncce filtre ne

modifie pas les amplitudes des harmoniques les unes par rapport aux autres. Son seul intérêt réside donc dans sa phase, d’où son nom.

b)On noteϕ_dle déphasage apporté par le déphaseur : ϕ_d= arg(H_d) =−2 arctan (R_aCω) , avecω= 2πf. On veutϕ_d=−^π₂ ⇔arctan (R_aCω) =^π₄⇔R_aC2πf= 1⇔ R_a= 1

2πf C = 36 kΩ. c)La tension de sortie vautu_D(t) =−G_dR1I0cos(ωt−ϕ+ϕ_d) d’où u_D(t) =−R1I0sin(ωt−ϕ) .

3

II.3. Mesure deZ par détection synchrone

6. On au_e(t) =U_ecos(ωt) etu_A(t) =−^R_|Z|¹^U^e cos(ωt−ϕ), donc en linéarisant le produit on obtient

u_m(t) =−KR1U_e²

2|Z| (cos(ϕ) + cos(2ωt−ϕ)) . Le signal comporte une composante continue (constante) et une harmonique de pulsation 2ω.

Le spectre en amplitude est représenté ci-contre (le signe−ne change rien au spectre en amplitude, qui est positif par définition, car tout est

déphasé deπ). 0 pulsation

amplitude

2ω

KR1U_e² 2|Z|

KR1U²_e 2|Z| |cosϕ|

7. a) Il n’est pas ici nécessaire de réaliser un filtre d’ordre élevé car seule la composante continue du signal à filtrer doit être préservée. Une pente douce pour le gain (−20 dB/dec pour un 1er ordre) n’est donc pas un gros désavantage, à condition de fixer unefréquence de coupure assez basse. Cela permet de se limiter à un circuit simple, et notamment sans bobine (volumineux et sujet à défauts).

On réalise un filtre passe-bas d’ordre 1 par uncircuit R-C série, en prenantla tension de sortie sur le condensateur(cf ci-dessous).

À Basse Fréquence (BF), un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et une bobine à un fil. À Haute Fréquence (HF), c’est le contraire. Comme le montrent les schémas asymptotiques ci-dessous, il s’agit bien d’un filtre passe-bas.

Filtre R-C série. Basses Fréquences Hautes Fréquences La fonction de transfert vautH= ¹

1+j_f^f 1

avecf1=_2πRC¹ la fréquence propre, et de coupure. On veut éliminer « totalement » la partie variable de fréquence 2f, ce qui est réalisé si 2ff1. On choisi par exemplef1∼10 Hz⇔RC∼0,01 s, ce qui est réalisé avec des valeurs réalistes commeR∼10 kΩ etC∼1µF. On a intérêt à prendreRgrand pour queC soit réaliste, mais aussi pourmaximiser l’impédance d’entréede ce filtre et donc l’adaptation d’impédance lors de la mise en cascade.

b)En admettant que seule la composante continue est préservée, et comme le gain statique vaut

|H|(0) = 1 et le déphasage à fréquence nulle est arg(H(0)) = 0, on obtient en l’absence du dé- phaseur U_s=−KR1U_e²

2|Z| cos(ϕ) .

En présence du déphaseur, on remplaceϕparϕ−ϕ_d=ϕ+^π₂ (d’après5.c).), donc on mesure cette fois U_s⁰=KR1U_e²

2|Z| sin(ϕ) .

Ainsi, si l’on noteY = _Z¹ = _|Z|¹ e^−jϕ= _|Z|¹ (cosϕ−jsinϕ) =Y_r+jY_il’admittance associée àZ, les deux mesures successives conduisent à U_s=k.Y_r et U_s⁰=k.Y_i, en notant k=−KR1U_e²

2 une

constante connue. On peut alors facilement remonter àXretXivia X_r= Y_r

Y_r²+Y_i² = kU_s

U_s²+U_s⁰² et X_i=− Y_i

Y_r²+Y_i²=− kU_s⁰ U_s²+U_s⁰² .

4

(3)

III. Étude d’un wattmètre électronique

III.1. Puissance moyenne

1. En complexes, on posev=V_me^jωteti=I_me^j(ωt−ϕ). On a alorsi= ^v

Z donc I_m= |v|

|Z|=√ Vm

R²+X² et ϕ= arg(Z) = arctan

X R

.Un dipôle est dit inductif siX >0, donc alors ϕ >0 . 2. La puissance reçue instantanée s’écrit

P(t) =v(t)i(t) =V_mI_mcos(ωt) cos(ωt−ϕ) =¹₂V_mI_m(cos(2ωt−ϕ) + cosϕ) La valeur moyenne du premier terme étant nulle, on obtient bien P=¹₂V_mI_mcosϕ. 3. On obtientI_m= 29 A,ϕ= 1,1 rad = 63^◦, etP= 2,0 kW.

III.2. Principe du wattmètre électronique

4. D’après le dispositif présenté, on a< v2(t)>=−< v1(t)>=−< Kv_a(t)v_b(t)>=−Kk_ak_b < v(t)i(t)>

donc < v2>=k_wP avec k_w=−Kkak_b. 5. On obtient P =−< v2>

Kk_ak_b = 3,8 kW.

III.3. Étude du moyenneur (filtre passe-bas) 6. En considérant nul le potentiel à la masse, on obtient







V_A_R³ +jωC2

= ^v_R¹+^v_R²+^V_R^B+jωC2×0 V_B_R¹ +jωC1

= ^V_R^A+jωC1v₂

⇔







V_A(3 +jωRC2) = v₁+v₂+V_B V_B(1 +jωRC1) = V_A+jωRC1v₂ 7. En régime linéaire on peut écrireV_B=V₋=V₊= 0. En réinjectant la seconde équation ci-dessus dans

la première, on obtient

−jωRC1v₂(3 +jωRC2) =v₁+v₂ ⇔ H=v₂

v₁=− 1

1 +jω3RC1−ω²R²C1C2

.

8. On en déduit H0=−1 , ω0= 1 R√

C1C2

et Q=1 3

sC2

C1

.

9. On prend soin d’imposerQ= ^√¹₂ de sorte à avoir un palier transmis à basses fréquences le plus large possible sans résonance. En effet, au-delà de cette valeur il y aurait une résonance qui transformerait le filtre en un passe-bande plutôt qu’un passe-bas. en dessous de cette valeur le gain décroît significativement dans le domaine de la bande passante.

Par ailleurs, pour cette valeur le gain s’écrit simplement G(f) = 1

r 1 +^f⁴

f₀⁴

avec f0= 1 2π√

LC

la fréquence propre qui se trouve être aussi la fréquence de coupure dans ce cas.

Pour calculer les capacités, on note que leur produit et leur quotient sont ici imposés et vérifient p=C1C2= 1

4π²R²f₀² et q=C2

C1

= 9Q².

5

On en déduit C2=√

pq= 3Q 2πRf0

= 0,14µF et C1= rp

q = 1

6πRf0Q = 32 nF.

10.Pour simplifier l’étude on posex=_ω^ω

0, et on note Φ = arg(H).

• À basse fréquence, soitx1 :H∼

0 H0=−1 donc GdB∼

0 20 log|H0|= 0 et Φ∼

0 π (on choisi +π car Φ est décroissant).

• À haute fréquence, soit pourx1 :H∼

∞−^H_x2⁰ donc GdB∼

∞−40 logx=−40 logf+ 40 logf0 et Φ∼

∞0 . Le gain admet donc une pente en−40 dB/dec.

• Pour tracer les courbes réelles on complète avecH(x= 1) =−jH0Q, ce qui donne GdB(x= 1) = 20 logQ=−3,0 dB et Φ(x= 1) =π

2. On représente sur la figure ci-dessousGdBen vert et Φ en rouge.

11.On a en régime sinusoïdal forcé^(jω)²

ω₀² +_Qω^jω

0+ 1v₂=H0v₁, ce qui correspond à l’équation différentielle 1

ω₀² d²v2

dt² + 1 Qω0

dv2

dt +v2=H0v1 .

12. a) On a montré en9.que G(f) = 1 r

1 +^f⁴

f₀⁴

. D’autre part Φ = arg(H0)−arg1 +^jx

Q−x² =π−

arg^jx_Q 1 +jQx−¹_xd’où Φ(f) =π 2−arctan

Q

f f0

−f0

f

.

b)On av1(t) =Kv_a(t)v_b(t) =Kk_ak_bv(t)i(t), ce qui donne après linéarisation (cf2.) : v1(t) =¹₂Kkak_bVmImcos(ϕ) +¹₂Kkak_bVmImcos(2ωt−ϕ) avec ω= 2πf . Le filtre agit indépendamment sur chaque composante :

v2(t) =¹₂Kk_ak_bV_mI_mcos(ϕ)G(0) cos(Φ(0)) +¹₂Kk_ak_bV_mI_mG(2f) cos(2ωt−ϕ+ Φ(2f)), avecG(0) cos(Φ(0)) =−1. Donc

v2(t) =−¹₂Kk_ak_bV_mI_mcos(ϕ) +¹₂Kk_ak_bV_mI_mG(2f) cos(2ωt−ϕ+ Φ(2f)) . On reconnaît bien, d’après4., que la composante continue est égale à−< v1(t)>.

c) La composante sinusoïdale est d’amplitude A_m=¹₂Kk_ak_bV_mI_mG(2f) = ^Kk^a^k^b^V^m^I^m

2√

1+16f⁴/f₀⁴ = 3,2 mV.

d)La composante variable introduit une erreur sur la mesure de puissance moyenne qui est en valeur absolue au maximum égale à l’amplitudeA_m. La précision relative de la mesure est donc

A_m

< v2(t)>

=

1

2Kk_ak_bV_mI_mG(2f)

1

2Kk_ak_bV_mI_m|cos(ϕ)| c’est-à-dire G(2f)

|cosϕ)|= 1

|cosϕ)|.^q1 + 16f⁴/f₀⁴

= 0,5 %,

ce qui est acceptable.

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