Étude géométrique du condensateur transformateur

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Submitted on 1 Jan 1901

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Étude géométrique du condensateur transformateur

E. Perreau

To cite this version:

E. Perreau. Étude géométrique du condensateur transformateur. J. Phys. Theor. Appl., 1901, 10 (1),

pp.332-336. �10.1051/jphystap:0190100100033201�. �jpa-00240512�

332

travail produit par le moteur, supposé parfait, cc la chialeur non

cornpensée dégagée dans la cornbustion.

On sait d’ailleurs que, pour ^toute réaction spontanée, ^fortement exothermique, la chaleur non compensée ^est sensiblement égale ^{à la}

chaleur totale.

Les mêmes considérations s’appliquent évidemment aux moteurs à combustion sous pression ^constante.

ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DU CONDENSATEUR TRANSFORMATEUR ;

Par M. E. PERREAU.

La méthode de représentation géométrique ^des vecteurs est d’une

grande utilité dans l’étude des courants alternatifs. Non seulement elle conduit à des épures qui permettent, plus facilement que ^les calculs, ^{de mesurer les diverses} quantités qui interviennent, ^elle peut ^encore, dans certains cas, montrer très simplement l’influence des variations de l’une d’entre elles.

Je suis arrivé, pour le ^cas du condensateur-transformateur, ^{à une}

étude géométrique ^très simple, que je crois bon de faire connaître.

~

Fio. 1.

Les deux bornes de l’alternateur 0 de force électromotrice

e ==

E sin ~~

de résistance _r, de self-inductance 1, d’impédance ^{a, de} décalage

intérieur o(tang?

2013)? ^{sont reliées, d’une part, aux} deux extré- mités du circuit d’utilisation BDA de résistance rj, de self-induc- tance ~,, d’impédance an de décalage tpj tang

-’2013 )? et, d’autre part, ^{aux deux armatures} d’un condensateur C, ^ainsi placé ^{en déri-}

vation entre les extrémités A et B du circuit d’utilisation.

~_

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0190100100033201

333 Ce cas est à peu près ^celui qui ^se présente ^{dans la} pratique, quand ^{les deux bornes de} l’alternateur sont reliées ^aux deux extré- mités du circuit d’utilisation _par des câbles présentant ^{de la} capa-

cité, ^{comme des câbles armés} souterrains.

Appelons ^{i, i4, Í2, les courants à un moment} donné dans les cir- cuits AOB, BDA, BCA, comptés positivement ^{dans les sens ainsi} indiqués, ^{et u, le} voltage ^{à ce} moment entre les deux points ^{A et B.}

On a les relations :

Représentons ^{le vecteur} i11’11 par ^une droite OF arbitraire ; ^{sa lon-}

gueur représentera, ^à l’échelle de la figure ^{que nous} déterminerons,

FIG. 2.

l’amplitude r,l, ^{du vecteur} r~ i ~ ; ^i. ~L~ _est un vecteur en avance de dt

phase de § ^sur ~~ i , ^et d’amplitude 1

^{Ov X} l1,‘~ : c’est t F~.

p ^{ase e} ’>

^sur 1 ~ z~, ^et p ^{Itu e} l~ W1 .

X ~ . 1*1

^{c es}

334

Le vecteur OG, ^{somme de OF et de} FG, ^{est donc le} vecteur ’il

d’amplitude ^{U =} I tat.

Le vecteur i2 ^est en avance de phase de j ^sur

^{et a une ampli-}

tude CWU. Le vecteur r 1 £2 ^{sera donc} OH, tel que OH ^est perpen- diculaire à OG, ^et que tang ^OGH

r1Cw.

14a somme des deux vecteurs OF = 1-4 il ^{et OH =} 1’)1i2 ^{donnele vec-}

teur O K

r~ i, ^{en retard de} phase ^de ~! sur ^{O G = u.}

Pour obtenir maintenant le vecteur e, je méne par G ^une droite GL

parallèle ^à OK, ^{et de} long ueur égale ^à OK. ~ ; ^GL représente ^{le vec-}

ri

teur ri ; puis, par 1.J, je ^{mène LM en avance de} phase de ~ ^{sur GL,}

et de longueur égale ^{à GL X} 2013; ^LM représente ^{le vecteur l} ~~.

ZD r

dt

Par suite, ^{le vecteur} O1~I, ^{somme de OG}

u, de GL

rif de L1B1 = 1c~2 _C représente ^le vecteur e ; G~’I représente ^{le vecteur}

t

d’amplitude ^la.

Comme l’amplitude ^{de e est donnée} égale ^{à E, il en} résulte que 1 échelle à laquelle ^est construite la figure ^est maintenant déter-

minée, ^et qu’on peut ^{mesurer les diverses} quantités î, 11, 1,, U, ^etc.

Dans la pratique, ^ce qui ^{intéresse est de savoir comment} varient le~.

1 E

d l

C

l d, .1.. J

rapports 1et PP E

^{quand la capacité C varie, le courant} d’utilisation 1,

il ^{u P}

étant supposé ^constant.

La figure ^montre que :

’rout revient donc à voir comment se déplace ^le point ^M quand ^C

varie.

Quand ^C varie, ^le point ^{H se} déplace ^{sur la} droite OH perpendi-

dulaire à OG, ^le point ^{K se} déplace ^sur la droite FK1, parallèle

à OH menée par F; ^{donc on a :}

Par suite :

Menons la droite fixe GX faisant, ^{avec le} prolongement ^{de OG,}

un angle

^{et abaissons de ~1 la} perpendiculaire ^{MN)’ sur cette}

335

droite, ^{on voit} que l’angle ^3IGN

angle ^l..GZ

~? , ^donc que :

par suite, que le point ^{:B1 se} déplace ^{sur la} droite fixe l~’’1, ^faisant

avec OG un ang>le §

^{y, et} distante de G de aI1 cos 9~.

Pour C

o, le point ^{H est en 0, K en F,} ~.!

9t, ^et le point ^M

est en 1B1j, tel que NMt

PK, 2013;et angle 1B’GM¡

9j’

1

°° ’

Les triangles semblables OFIi et :LBIGlVI1 ^{nous montrent} alors que :

Donc, quand ^C varie, ^le point ^{M se} déplace ^{sur la droite} Mi NY,

en s’éloignant ^de 1B11 ^d’une longueur égale ^{à aC~~U.}

Nous pouvons maintenant étudier facilement ^la variation _{des rap-}

’

ports :

et t

Pour :

ce qui était évident a przorz.

Comme :

Lorsque augmente, ^{11’I se} rapproche ^de N, ^GM diminue, ^OM

1 E

aussi ; ^les dIE diminuent ainsi ue l d’ 1 ^’

aussi ; ^{les deux} rapports il ^et TI diminuent ainsi que le décalage y.

Lorsque ^{M est en} N, c’est-à-dire _pour une valeur de C, ^donnée

par :

1

...l.~COSo,

^X.

I _{est minimum et}

é~al ^a -’2013.20132013-’- - 2013’-

cos co 1.

il 11af ^a

1

~.~

o, i est ^en concordance de phase ^{avec ru :}

336

C continuant à croître, i ^{est en avance de} phase ^{sur u, et} le rap- port f

~

croîtra alors indéfiniment.

il

E, ^{lui, continue à} décroître pour passer par ^un minimum, lorsque ^M

u

est en P, pied ^{de la} perpendiculaire abaissée de 0 sur NY, ^c’est-à-

dire pour ^une valeur de C, donnée par :

La valeur minimum de E corres ondante é aIe â U P ^{sera :}

La valeur minimum de

u correspondante égale oF ^{sera :}

A ce moment :

sera

et le décalage +

^{sera donné par}

tang ç

tang

^NOP

a1 sin ’?;

a cos q~,

C.. , T r~

d’fi . C continuant ensuite à croître, .2013

1

et TI croissent indéfiniment en

même temps que l’avance de phase ’~ ^{de i sur u} qui ^croît jus- qu’à ^7t pour C

^{oc .}

qU’à ) ^{pour C # °’ .}

Cette discussion montre que, pour faire passer dans ^un circuit d’ utilisation donné un courant d’intensité donnée, ^on peut, ^en plaçant

en dérivation un condensateur, employer ^une force électromotrice plus petite que celle nécessaire sans cela, ^et qu’en ^{outre il} passera dans le circuit de l’alternateur un courant plus petit donnant naissance à

une dissipa1ion plus ^faible d’énergie par chaleur de Joule.

Le condensateur agit ^{comme un} transformateur recevant un cou-

rant 1 sous une force électromotrice E et donnant un courant plus

fort 1

^{sous un} voltage plus ^{faible U. Son} emploi ^est particulièrement

avantageux, quand ^la capacité ^{C est} 2013~ _y ^{qui donne le minimum}

,

1

.de Î

cos ~ ~ . -de

1 ^CPt.