Courbes paramétrées

Université de Caen 1^ersemestre 2017-2018

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Courbes paramétrées

Exercice 1. Étudier (domaine d’étude, variations, branches infinies avec asymptotes éventuelles, points singuliers) et construire les courbes paramétrées suivantes :

– a:

x = sin(2t)

y = sin(3t) (courbe de Lissajous), – b:

x = e^t y = t² , – c:

( x = _1+t^t4

y = _1+t^t3₄ (lemniscate de Bernoulli), – d:

x = sin 2t+ 2 sint

y = −2 cost−cos 2t (cardioïde), – e:

(

x = ^1−t_1+t²2

y = _1+t^2t2

(quelle est cette courbe ?), – f :

x = tcost y = tsint , – g:

x = t√ 1−t²

y = t(1−t²) , – h:

x = 2−t² y = t√

t⁴−4t²+ 3 (courbe elliptique), – i:

x = e^tcos(2πt)

y = e^tsin(2πt) (spirale), – j:

x = cos³t

y = sin³t (astroïde), – k:







x = q

t+_t−1¹

y = q

t−_t+1¹ , – l:

x = 2t²−t y = t²+ ln(t) + 1 .

Exercice 2.La cycloïde.Un cercle Cde rayon 1roule sans glisser sur l’axeOx. On note M un point fixé deC et on se propose d’étudier la trajectoire deM. On noteΩle centre (mobile) deC etIle point de contact (mobile) deCavec l’axeOx. Soitt l’abscisse deI. On suppose queM =Iquandt= 0.

Déterminer en fonction det les coordonnées deM. (On pourra remarquer quet est une mesure de l’angle(−−→\ ΩM ,−→

ΩI).

Étudier cette courbe paramétrée : domaine d’étude, variations, points singuliers avec tangentes.

Exercice 3.La strophoïde.On définit la courbe paramétrée : ( x = ^t_t²2⁻¹+1

y = t^t_t²2⁻¹+1

Faire l’étude de cette courbe (domaine d’étude, variations, points singuliers) et déterminer ses points multiples. Dé- terminer les tangentes en les points multiples.