Courbes planes paramétrées

(1)

Chapitre 8

Courbes planes paramétrées

Dans ce chapitreI désigne un intervalle deRnon réduit à un point. Le plan euclidienR² est muni d'un repère orthonormé directR = (O,−→

i ,−→

j). On notera h·,·ile produit scalaire sur R². On notek · kla norme associée, i.e. kxk²=u²₁+u²₂. Une fonctionf : I →R², t7→(f1(t), f2(t)) est dérivable sif₁ etf₂ le sont. La dérivée def est la fonction f⁰ = (f₁⁰, f₂⁰).

Propriété 1 (Dérivation du produit scalaire).

Soient f et g deux fonctions dérivables de I dans R². Les fonctions hf, gi et det(f, g) sont dérivables et satisfont, pour tout réel t∈I,

hf, gi⁰ =hf⁰, gi+hf, g⁰i, kfk⁰(t) = hf(t), f⁰(t)i

kf(t)k , sif(t)6= (0,0), det(f, g)⁰ = det(f⁰, g) + det(f, g⁰).

I - Dénitions

Définition 1 (Courbe paramétrée, Support).

Soitk∈N^?∪ {∞}. Soitf une fonction de classeC^k deI dansR². Le couple(I, f)est appelé courbe paramétrée, ou arc paramétré, de classeC^k.

L'ensemble f(I) ={f(t), t∈I} est appelé le support de la courbe(I, f). I.1 - Tangentes

Notation.

Dans toute la suite,Γ = (I, f) désigne une courbe paramétrée de classe C². Pour toutt∈I, le point du plan de coordonnées f(t)sera noté M_t. Le réel t₀ désigne un élément de I.

Définition 2 (Point régulier / singulier). Le point Mt0 est dit

(i). régulier si f⁰(t0)6= (0,0),

(ii). stationnaire ou singulier si f⁰(t0) = (0,0).

Définition 3 (Tangente).

L'arcΓadmet une tangente au pointMt0 si un vecteur directeur de la droite(MtMt0)admet une limite non nulle en t0. La droite passant par Mt0 et dirigée par ce vecteur est appelée tangente enM_t₀ à Γ.

Proposition 2 (Tangente en un point régulier).

SiMt0 est un point régulier, l'arc Γadmet une tangente au point Mt0 dirigée par le vecteur de coordonnées f⁰(t0).

I.2 - Branches innies

Le réel t₀ désigne une des bornes de l'intervalleI, ou les quantités +∞ et−∞. Définition 4 (Branche infinie, Direction asymptotique).

L'arc Γ possède une branche innie ent0 si lim

t→t₀kf(t)k= +∞. L'arc Γ admet une direction asymptotique de pentem∈R ent0 si

t→tlim0

kf(t)k= +∞et lim

t→t0

f₂(t) f1(t) =m.

(2)

Chapitre 8. Courbes planes paramétrées MPSI 1

Définition 5 (Asymptote, Branche parabolique).

Soit Γune courbe paramétrée de direction asymptotique m au pointt0.

(i). Sif2−mf₁a une limite niepent0, la droite d'équationy=mx+pest dite asymptote à la courbe paramétrée ent0.

(ii). Si f2−mf1 a une limite innie en t0, la courbe paramétrée possède une branche parabolique de pente men t₀.

I.3 - Tracé d'une courbe paramétrée

Le tracé d'une courbe paramétrée doit être précédé de l'étude suivante. On notef = (x, y). 1. Recherche de l'intervalle de dénitionD de l'arc paramétré.

2. Réduction de l'intervalle d'étude en utilisant les symétries.

Généralement, on teste les changements de paramétrage

∗ u=−t, réduction à D∩R+,

∗ u= 2t₀−t, réduction à D∩[t₀,+∞[,

∗ u= ¹_t, réduction à D∩]0,1].

Propriété Symétrie

x(u) =x(t) y(u) =y(t) identité x(u) =x(t) +a y(u) =y(t) +b translation a−→

i +b−→ j x(u) =−x(t) y(u) =y(t) axe (O,−→

j) x(u) =x(t) y(u) =−y(t) axe (O,−→

i) x(u) =−x(t) y(u) =−y(t) centreO

x(u) =y(t) y(u) =x(t) axe première bissectrice

3. Régularité & Variations : étude des variations de x et y, tracé du tableau des variations (incluant les tangentes remarquables).

4. Étude des points stationnaires (cf. cours sur les développements limités).

5. Étude des branches innies :lim

t0

kfk= +∞. limt0

|x(t)| lim

t0

|y(t)| Comportement

+∞ y₀ asymptotey=y₀

x₀ +∞ asymptotex=x₀

limt0

|y|

|x| = +∞ branche parabolique, direction(Oy) limt0

|y|

|x| = 0 branche parabolique, direction(Ox). limt0

y

x =a∈R^? limt0

y−ax=∞ branche parabolique, directiony=ax limt0

y−ax=b asymptotey=ax+b

Si une des limites précédentes n'existe pas, on ne peut en général rien conclure.

Position par rapport aux asymptotes.

Lycée Stanisla 47 A. Camane

(3)

6. Recherche éventuelle des points doubles.

Recherche des solutions du système d'équationsx(t) =x(u), y(t) =y(u), t6=u.

7. Tracé (mise en valeur des tangentes et points remarquables, on pourra préciser le sens des t croissants).

Exercice 1.Étudier la courbe de paramétrage f(t) = (cos(3t),sin(2t)).

II - Représentation polaire II.1 - Dénitions

Définition 6 (Représentation polaire).

La représentation polaire de l'arcΓest une représentation de la formef(t) =ρ(t)−→u_θ(t), pour tout t∈I.

Propriétés 3 (Vitesse, Accélération).

Soit Γun arc déni par sa représentation polaire. Alors, pour tout t∈I, (i). f⁰(t) =ρ⁰(t)−→u_θ(t)+ρ(t)θ⁰(t)−→v_θ(t),

(ii). f⁰⁰(t) = (ρ⁰⁰(t)−ρ(t)θ⁰(t)²)−→u_θ(t)+ (2ρ⁰(t)θ⁰(t) +ρ(t)θ⁰⁰(t))−→v_θ(t). Remarque.

Lorsqueθ(t) =t, ∀t∈I, la courbe paramétrée est dénie par la fonctionρ(θ). Propriétés 4 (Arc défini en polaire).

Soit Γun arc paramétré déni pour tout θ∈I parf(θ) =ρ(θ)−→uθ.

(i). La tangente à la courbe au point de paramètre θ est dirigée par le vecteur ρ⁰(θ)−→u_θ+ρ(θ)−→v_θ.

(ii). Si ρ(θ)6= 0, la tangente fait un angle ϕavec le vecteur −→u_θ, oùcotanϕ= ^ρ_ρ⁰.

(iii). Si ρ(θ) 6= 0, la normale à la courbe au point de paramètre θ est dirigée par le vecteur ρ(θ)−→u_θ−ρ⁰(θ)−→v_θ.

II.2 - Tracé

1. Recherche de l'intervalle de dénition.

2. Réduction de l'intervalle d'étude à l'aide de symétries.

Propriété Symétrie

ρ(θ+π) =−ρ(θ) identité ρ(−θ) =ρ(θ) axe(O,−→

i) ρ(−θ) =−ρ(θ) axe(O,−→

j) ρ(θ+θ0) =ρ(θ) rotation d'angleθ0

ρ(θ0−θ) =ρ(θ0+θ) symétrie d'axeθ=θ0

3. Régularité & Variations : étude des variations deρ, tracé du tableau des variations (incluant les tangentes remarquables).

4. Étude des branches innies.

(4)

Limite Comportement

θ→θlim₀ρ(θ) sin(θ−θ0) =λ droite asymptote ρ(θ) = _sin(θ−θ^λ

0) θ→∞lim ρ(θ) =ρ0 cercle asymptote ρ(θ) =ρ0

Exercice 2.Étudier la courbe dénie en polaire par ρ(θ) = sin³ ^θ₃.