Chap 8
Courbes polaires
1 Cas g´ en´ eral
Pr´esentation. Une courbe Γ peut ˆetre d´efinie par une repr´esentation param´etrique en coordonn´ees polaires :
f~ : I Ñ R2
t ÞÑ ρptq~upθptqq
o`u l’on a fait les identifications usuelles.
Rappel. p~upθq, ~u1pθq ~vpθqqd´esigne la base tournante d’angle polaireθ.
O ~i
~j
~uθ
~vθ
M
θ
Tangente. Le vecteur position est ÝÝÝÝÑ
OMptq f~ptq. En un point r´egulier, la tangente est dirig´ee par d
ÝÝÝÝÑ
OMptq
dt
f~1ptq, c’est-`a-dire
Normale. Un vecteur normal `a Γ enMptq s’obtient en« faisant tourner»f~1ptq de π2. Remarque.
Acc´el´eration.
Remarque.
Cas particulier important. Souvent, une courbe en polaire est d´efinie par
#ρρptq
θt . Dans ce cas, le para-
m`etre s’identifie `a θ, et on note ρ ρpθq l’´equation en polaire de cette courbe. Les formules pr´ec´edentes se
simplifient alors, puisque θ1 1 etθ2 0. C’est l’´etude de ces courbes que nous allons maintenant mettre en
place.
2 Etude locale ´
2.1 Tangente en un point
Remarque. L’´etude pr´ec´edente s’applique. La tangente `a la courbe au point r´egulier Mpθq est dirig´e par le vecteur f~1pθq de coordonn´ees pρ1pθq, ρpθqq dans le rep`ere tournant.
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O
~f′(θ)
ρ′(θ) ρ(θ)
~u(θ)
~u′(θ)
θ
D´efinition. S’il existeθ0 tel queρpθ0q 0, on dit que la courbe pr´esente enθ0 un passage au pˆole . Propri´et´e. Tous les points de la courbe, sauf ´eventuellement lors d’un passage au pˆole, sont r´eguliers.
Th´eor`eme.
Lors d’un passage au pˆole, la tangente est dirig´ee par~upθ0q.
2.2 Autres ´etudes possibles.
Le programme limite l’´etude aux cas des points r´eguliers. Sachons cependant que des courbes peuvent
pr´esenter des branches infinies, des points d’inflexions, des points doubles. . .
3 Construction des courbes
3.1 Plan d’´etude
(a) R´eduction de l’ensemble d’´etudeen illustrant par des figures.
(b) R´eduction de l’ensemble d’´etudeen illustrant par des figures.
(c) ´Etude des variations et surtout du signe de ρ.
(d) ´Etude des passages au pˆole : Si ρpθ0q 0, alors la courbe passe par l’origine et sa tangente est dirig´ee
par~upθ0q.
(e) ´Etude des autres ´el´ements remarquables : Les intersections avec les axes, branches infinies, points doubles,
points d’inflexions. . .
(f) Construction de la courbe, sans oublier, le cas ´ech´eant, de la compl´eter.
3.2 Exemples
Exemple 1. Etudier la courbe param´´ etr´ee en coordonn´ees polaires parρpθq sin 3θ.
Exemple 2. Etudier la courbe param´´ etr´ee en coordonn´ees polaires parρpθq 1 cosθ.
Exemple 3. Etudier la courbe param´´ etr´ee en coordonn´ees polaires parρpθq θθ1. 3.3 Utilisation de Maple
> plot([rho,theta,theta = a..b], coords=polar);
o`urhoest une expression d´ependant de la variabletheta.
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Constructiondecourbes 8.1
´ Etudieretrepr´esenterlescourbesd´efiniesparles´equationsen coordonn´eespolairessuivantes: (a)ρap2cosθcos2θq.Onpr´eciseralescoordonn´eesdespoints doubles. (b)ρ1tanθ.Pr´eciserlanaturedupointOetlesvariationsde ρ. θ (c)ρ1tan.Onpr´eciseralescoordonn´eesdespointsdoubles. 2 1sinθ (d)ρ. 1cosθ (e)ρatan3θ. (f)ρaθ. a (g)ρ. θ θ e (h)ρ.Montrerqu’ilyauneinfinit´edepointsdoubles. θ1 courbepolaire_5.tex 8.2Construirelacourbed’´equationencoordonn´eespolaires: θ ρln1cos 2 courbepolaire_11.tex 8.3
´ Etudierlesvariationsetrepr´esentergraphiquementlacourbe d’´equationpolaire: 2 ρcos2θcosθ (Onmontreraenlejustifiantquel’onpeutr´eduirel’intervalled’´etude π `ar0,s.)courbepolaire_4.tex2 8.4Construirelacourbed’´equationpolaire: θ racos 2 o`ua¡0courbepolaire_3.tex
8.5
´ Etudierlacourbed’´equationpolaire: tanθ ρ 12cosθ ππππ (Onrestreindral’´etudeenlejustifiant`ar0,rYs,rYs,πs.)courbe- 3322 polaire_2.tex 8.6
´ Etudierlacourbedontune´equationencoordonn´eespolaires est: ρlnθ Onpr´eciseralesbranchesinfinies.courbepolaire_1.tex 8.7
´ Etudierlacourbed´efinieencoordonn´eespolairespar: 1 ??ρ 1sin2θ1sin2θ courbepolaire_10.tex 8.8
´ EtudieretreconnaˆıtrelacourbeΓd’´equationpolaire: sinθ ρ cos2θ courbepolaire_12.tex Divers 8.9Pr´eciserlatangente`alacourbed’´equationpolaireρ ππ 2cosθcos3θlorsqueθ0,θetθ.courbepolaire_18.tex 34 222 8.10SoitpCqlacourbed’´equationcart´esiennexpxyqapy 2 xq0.Trouverune´equationdepCqencoordonn´eespolaires.Tracer pCq.courbepolaire_6.tex 8.11 (a)Construirelacourbed’´equationCd’´equationencoordonn´eespo- lairesρ1cosθ. (b)SoitPetQdeuxpointsdeCalign´esavecO.Montrerqueles tangentes`aCenPetQsontorthogonales,etqueleurpoint d’intersectiond´ecrituncercle.
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courbepolaire_17.tex 8.12UnpointBd´ecrituncercledecentreOetderayonOA.D´e- terminerlelieudeMpointdecontactducercleinscritdansletriangle OABetdeladroitepOBq.courbepolaire_16.tex 8.13Lesextr´emit´esAetBd’unsegmentdelongueurconstante AB2ad´ecriventlesaxesp0xqetp0yq.D´eterminerlelieudespro- jectionsdeOsurpABq.courbepolaire_7.tex 8.14UnpointMd´ecritlecercledecentreOetderayona.SoitA lepointdecoordonn´eespa,0q.D´eterminerlelieudesorthocentresdu triangleOAM.courbepolaire_8.tex 8.15OnnoteDladroited’´equationx1etClecerclede centreAp1,0qetderayon1.Unedroite∆passantparOcoupeDen PetCenQ.D´eterminerlelieudesmilieuxderPQslorsque∆varie. courbepolaire_9.tex
Unpeuplus... 8.16Construirelacourbedontune´equationencoordonn´eespo- lairesest: θρpρ1qpρ2q courbepolaire_15.tex 8.17Tracerlacourbeparam´etr´eeencoordonn´eespolairespar: ρ1sinθ sinθ courbepolaire_13.tex 8.18Tracerlacourbeparam´etr´eeencoordonn´eespolairespar: ρe
1 2sinθ courbepolaire_14.tex
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