Courbes en polaires

Exo7

Courbes en polaires

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche surwww.maths-france.fr

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1

Construire les courbes suivantes : 1. r=p

cos(2θ), 2. r=sin ^2θ₃

,

3. r=ae^bθ,(a,b)∈]0,+∞[², 4. r=2 cos(2θ) +1,

5. r=tan ^2θ₃ .

CorrectionH ^[005530]

Exercice 2

Etude complète de la courbe d’équation polairer= ^{2 cosθ}_{2 sinθ+1}⁺¹.

CorrectionH ^[005531]

Exercice 3 La cardioïde

Soit la courbe d’équation polairer=a(1+cosθ),a>0.

1. Construire la courbe.

2. Longueur et développée.

CorrectionH ^[005532]

Exercice 4

Construire la courbe d’équation cartésiennex²(x²+y²)−(y−x)²=0 après être passé en polaires .

CorrectionH ^[005533]

Exercice 5

Développée de la spirale logarithmique d’équation polairer=ae^θ (a>0).

CorrectionH ^[005534]

Correction del’exercice 1N

1. (Lemniscate de BERNOULLI.) SoitC la courbe d’équation polairer=p

cos(2θ).Domaine d’étude.

NotonsDle domaine de définition de la fonctionr : θ7→p

cos(2θ).•θ∈D⇔θ+2π∈Det pour θ∈D,

M(θ+2π) = [r(θ+2π),θ+2π] = [r(θ),θ+2π] = [r(θ),θ] =M(θ).

On obtient donc la courbe complète quandθdécrit un intervalle de longueur 2π comme[−π,π].•θ∈ D⇔ −θ∈Det pourθ∈D,

M(−θ) = [r(−θ),−θ] = [r(θ),−θ] =s_(Ox)(M(θ)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ ∈[0,π] puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Ox).•θ∈D⇔π−θ∈Det pourθ∈D,

M(π−θ) = [r(π−θ),π−θ] = [r(θ),π−θ] =s_(Oy)(M(θ)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ ∈ 0,^π₂

puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Oy)puis d’axe(Ox). Pourθ∈

0,^π₂

,θ∈D⇔cos(2θ)>0⇔θ∈ 0,^π₄

. On étudie donc la courbe sur

0,^π₄

.Variations et signe der.La fonctionrest strictement décroissante sur

0,^π₄

, strictement positive sur 0,^π₄

et s’annule en ^π₄.Etude en ^π₄.M ^π₄

=Oet donc la tangente enM ^π₄

est la droite passant parOet d’angle polaire^π₄ ou encore la droite d’équationy=x.

Etude en0.M(0)est le point de coordonnées cartésiennes(1,0). Pourθ∈

−^π₄,^π₄ ,

−→_dM

dθ(θ) =−√^sin(2θ)

cos(2θ)

−

→u_θ+p

cos(2θ)−→v_θ et donc−→_dM

dθ(0) =−→v₀=−→j. M(0)est le point de coordonnées cartésiennes(1,0)et la tangente enM(0)est dirigée par−→

j

−1 1

1

−1 2. SoitC la courbe d’équation polairer=sin ^2θ₃

.Domaine d’étude.•Pourθ∈R, M(θ+6π) = [r(θ+6π),θ+6π] = [r(θ),θ+6π] = [r(θ),θ] =M(θ).

On obtient donc la courbe complète quandθ décrit un intervalle de longueur 6π comme [−3π,3π].

•Pourθ∈[−3π,3π],

M(−θ) = [r(−θ),−θ] = [−r(θ),−θ] = [r(θ),π−θ] =s_(Oy)(M(θ)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ∈[0,3π]puis on obtient la courbe com-

•Pourθ ∈ 0,^3π₂

,M ^3π₂ −θ

=

r ^3π₂ −θ

,^3π₂ −θ

=

r(θ),^3π₂ −θ

=s_y=−x(M(θ)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ ∈

0,^3π₄

puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d’axes la droite d’équationy=−x, puis d’axe(Ox)et enfin d’axe(Oy).

•Remarque.La fonctionradmet 3π pour plus petite période strictement positive. Pourtant, on n’ob- tient pas la courbe complète quandθdécrit[0,3π]car 3π ne fournit pas un nombre entier de tours. Plus précisément,

M(θ+3π) = [r(θ+3π),θ+3π] = [r(θ),θ+π] =s_O(M(θ)).

Variations et signe der.La fonctionrest strictement positive sur 0,^3π₄

et s’annule en 0. La fonction rest strictement croissante sur

0,^3π₄

.•M(0)est le pointO. La tangente enM(0)est la droite passant parOd’angle polaire 0 c’est-à-dire l’axe(Ox).

−1 1

1

−1

traé sur

0,^3π₂

−1 1

1

−1

ourbe omplète

3. SoitC la courbe d’équation polairer=ae^bθ. L’étude est très brève. La fonctionr : θ7→ae^bθ est stric- tement positive et strictement croissante surR. Tout en tournant, on ne cesse de s’écarter de l’origine : la courbe est une spirale.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

traé quand

a= 2^, b= 0,01

4. SoitC la courbe d’équation polairer=2 cos(θ) +1.

Domaine d’étude.• Pourθ ∈R,M(θ+2π) =M(θ). On obtient donc la courbe complète quandθ décrit un intervalle de longueur 2π comme [−π,π]. • Pourθ ∈[−π,π], M(−θ) =s_(Ox)(M(θ)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ∈[0,π]puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Ox).Variations et signe der.La fonctionrest strictement décroissante sur[0,π].

La fonction r est strictement positive sur 0,^2π₃

, strictement négative sur_2π

3,0

et s’annule en ^2π₃ . Donc la fonctionθ7→OM(θ) =|r(θ)|est strictement décroissante sur

0,^2π₃

et strictement croissante sur_2π

3 ,π

.•M ^2π₃

est le pointO. La tangente enM ^2π₃

est la droite passant parOd’angle polaire

2π

3 c’est-à-dire la droite d’équationy=−√

3x.•Par symétrie par rapport à(Ox), les tangentes enM(0) etM(π)sont parrallèles à(Oy).

1 2 3

1 2

−1

−2

5. SoitC la courbe d’équation polairer=tan ^2θ

.Domaine d’étude.NotonsDle domaine de définition

M(−θ) =s_(Oy)(M(θ)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ∈[0,3π]puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Oy).•θ∈D⇔3π−θ∈DetM(3π−θ) =s_(Ox)(M(θ)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ ∈ 0,^3π₂

puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Ox)puis par réflexion d’axe(Oy).•θ∈D⇔ ^3π₂ −θ ∈Det

M ^3π₂ −θ

=

−r(θ),^3π₂ −θ

=

r(θ),^π₂−θ

=s_y=x(M(θ)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àθ ∈ 0,^3π₄

puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d’axe la droite d’équation y=x, puis d’axe (Ox) et enfin d’axe (Oy).•Pourθ∈

0,^3π₄

,r(θ)existe si et seulement siθ6=^3π₄. On étudie donc surθ∈ 0,^3π₄

. Variations et signe de r. La fonctionr est strictement croissante sur

0,^3π₄

, strictement positive sur 0,^3π₄

et s’annule en 0.

• La tangente en M(0) =O est la droite passant par O et d’angle polaire 0 c’est-à-dire l’axe (Ox).

• Etude quand θ tend vers ^3π₄. Quand θ tend vers ^3π₄ par valeurs inférieures, r(θ) tend vers +∞.

la courbe admet donc une direction asymptotique d’angle polaire ^3π₄ ou encore d’équation y=−x.

Recherchons une éventuelle droite asymptote. Pour cela, étudions lim

θ→^3π4

θ<^3π₄

r(θ)sin

θ−3π 4

. Posonsh=

3π

4 −θ ou encoreθ=^3π₄ −h.

r(θ)sin θ−^3π₄

=tan ^π₂−^2h₃

sin(−h) =−cotanhsinh=−cosh→ −1.

Ainsi,C admet une droite asymptote(D)quandθtend vers ^3π₄ . De plus, M(x,y)∈(D)⇔−−→OM.−→v 3π

4 =−1⇔ −^√1₂x−^√1₂y=−1⇔y=−x+√ 2.

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Correction del’exercice 2N

Domaine d’étude. Notons D le domaine de définition de la fonctionr : θ 7→ ^{2 cosθ}_{2 sinθ+1}⁺¹. ∀θ ∈R, θ ∈D⇔ θ+2π∈DetM(θ+2π) =M(θ). On obtient donc la courbe complète quandθdécrit un intervalle de longueur 2πcomme[−π,π]. Pourθ∈[−π,π], 2 sinθ+1=0⇔θ∈

−^5π₆ ,−^π₆ . On étudie donc la courbe sur[−π,π]\ −^5π₆,−^π₆ .Signe der.

θ −π −^5π₆ −^2π₃ −^π₆ ^2π₃ π

2 cosθ+ 1 − − 0 + + 0 −

2 sinθ+ 1 + 0 − − 0 + +

signe de r − + 0 − + 0 −

Variations der.La fonctionrest dérivable sur[−π,π]\

−^5π₆ ,−^π₆ et pourθ∈[−π,π]\

−^5π₆ ,−^π₆ r⁰(θ) =^{−2 sinθ(2 sin}_{(2 sin}^θ+1)−_θ+1)^{2 cosθ}2 ^{(2 cosθ+1)}=⁻⁴⁻_{(2 sinθ}^{2 cosθ}₊₁₎^{−2 sin}2 ^θ =⁻⁴⁻²

√2 cos(θ−^π₄)

(2 sinθ+1)² <0.

La fonctionrest strictement décroissante sur

−π,−^5π₆ , sur

−^5π₆ ,−^π₆

et sur

−^π₆,π

.Etude quandθtend vers−^5π₆. lim

θ→−^5π6

x<−^5π₆

r(θ) =−∞et lim

θ→−^5π6

x>−^5π₆

r(θ) = +∞. Donc la courbeC admet une direction asymptotique d’angle polaire−^5π₆ ou encore d’équationy=√¹

3x. Etudions maintenant l’existence d’une éventuelle droite asymptote et pour cela étudions lim_θ→−5π

6 r(θ)sin θ+^5π₆

. On poseh=θ+^5π₆ ou encoreθ=−^5π₆ +hde sorte queθ tend vers−^5π₆ si et seulement sihtend vers 0. Quandhtend vers 0

r(θ)sin

θ+5π 6

=2 cos −^5π₆ +h +1 2 sin −^5π₆ +h

+1sinh= (1−√

3 cosh) +sinh

−√

3 sinh+ (1−cosh)sinh∼1−√ 3

−√

3h ×h=1− 1

√3. Par suite,C admet une droite asymptote(D₁)quandθ tend vers−^5π₆. De plus

M(x,y)∈(D₁)⇔−−→OM.−→v₋5π

6 =1−^√1₃⇔ ¹₂x−^√₂³y=1−^√1₃ ⇔y= √¹

3x+²₃−^√2₃ Etude quandθ tend vers−^π₆. lim

θ→−^π6

x<−^π6

r(θ) =−∞et lim

θ→−^π6

x>−^π6

r(θ) = +∞. Donc la courbeC admet une direction asymptotique d’angle polaire−^π₆ ou encore d’équation y=−^√1₃x. On pose ensuiteh=θ+^π₆. Quandhtend vers 0

r(θ)sin

θ+π 6

=2 cos −^π₆+h +1 2 sin −^π₆+h

+1sinh=(1+√

3 cosh) +sinh

√3 sinh+ (1−cosh)sinh∼1+√

√ 3

3h ×h=1+ 1

√3. Par suite,C admet une droite asymptote(D₂)quandθ tend vers−^π₆. De plus

M(x,y)∈(D₂)⇔−−→OM.−→v₋^π

6 =1+√¹

3⇔ ¹₂x+^√₂³y=1+√¹

3⇔y=−^√1₃x+²₃+√² 3

Tableau de variation der.

θ −π −^5π₆ −^2π₃ −^π₆ ^2π₃ π

r^′(θ) − − −

−1 +∞ +∞

r 0 0

−∞ −∞ −1

Recherche des points multiples.Soit(θ₁,θ₂)∈ [−π,π]\

−^5π₆,−^π₆ ²tel queθ₁<θ₂. On suppose de plus queθ1∈/

±^2π₃ etθ1∈/

±^2π₃ de sorte queM(θ₁)6=OetM(θ₂)6=O.

M(θ₁) =M(θ₂)⇔(∃k∈Z/θ₂=θ₁+2kπetr(θ₂) =r(θ₁))ou(∃k∈Z/θ₂=θ₁+π+2kπetr(θ₂) =−r(θ₁))

⇔ ∈ − −

Maintenant, pourθ∈[−π,0]\

−^5π₆,−^2π₃,−^π₆

−2 cos(θ) +1

−2 sin(θ) +1 =−2 cos(θ) +1

2 sin(θ) +1 ⇔ −4 cos(θ)sin(θ) +1=4 cos(θ)sin(θ)−1⇔sin(2θ) =1 2

⇔2θ∈ π

6+2πZou 2θ∈ 5π

6 +2πZ⇔θ∈ π

12+πZouθ∈5π 12 +πZ

⇔θ∈

−11π 12 ,−7π

12

.

Ainsi, les points doubles distincts de l’origine sontM −^11π₁₂

=M ₁₂^π

etM −^7π₁₂

=M ^5π₁₂

. Sinon,M −^2π₃

= M ^2π₃

=O.

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Correction del’exercice 3N

1. Domaine d’étude.La fonctionr est 2π-périodique et paire. Donc on étudie et on construit la courbe quandθdécrit[0,π]et on obtient la courbe complète par réflexion d’axe(Ox).Variations et signe de r.La fonctionrest strictement décroissante sur[0,π], strictement positive sur]0,π]et s’annule enπ. Etude pourθ=π.La tangente enM(π) =Oest la droite passant parOd’angle polaireπc’est-à-dire l’axe(Ox). Par symétrie par rapport à(Ox), le pointM(π)est un point de rebroussement de première espèce.

a 2a

a

−a

2. Soientθ∈[−π,π]puisM=O+a(1+cosθ)−→u_θ le point deC de paramètreθ.

−−→dM

dθ =−asinθ−→u_θ+a(1+cosθ)−→v_θ =2acos θ

2

−sin θ

2

−→u_θ+cos θ

2 −→v_θ

=2acos θ

2

cos θ

2+π 2

−→u_θ+sin θ

2+π 2

−→v_θ

=2acos θ

2 −→u 3θ

2+^π₂.

Longueur`de la cardioïde.On a

−→_dM

dθ

=2acos ^θ₂=2acos ^θ₂

(pourθ∈[−π,π]) et donc

`=^R_−π^π

−→_dM

dθ

dθ=2a^R_−π^π cos(θ/2)dθ=4a[sin(θ/2)]^π_−π=8a.

La cardioïde d’équation polairer=a(1+cosθ),a>0, a pour longueur 8a.

Développée.Le pointM(θ)est régulier si et seulement siθ6=±π. Dans ce cas,

ds dθ =

−→_dM

dθ

=2acos ^θ₂

et aussi−→τ (θ) =−→u 3θ 2+^π₂

En notantα(θ)une mesure de l’angle

−→i ,−→τ(θ)

, on peut prendreα(θ) =^3θ₂ +^π₂. En notantR(θ)le rayon de courbure au pointM(θ),

R(θ) =_dα^ds = _dα/dθ^ds/dθ =⁴₃acos ^θ₂ . Ensuite,−→n(θ) =r_π/2 −→τ(θ)

=−−→u_3θ/2et donc, en notantΩ(θ)le centre de courbure au pointM(θ),

Ω(θ) =M(θ) +R(θ)−→n(θ)

=O+a(1+cosθ)−→u_θ−4 3acos

θ 2

−→u_3θ/2

=O+a(1+cosθ)

cos(θ)−→i +sin(θ)−→j −4

3a

cos θ

2

cos 3θ

2

−→i +cos θ

2

sin 3θ

2 −→j

=O+a

cos(θ) +cos²(θ)−2

3(cos(θ) +cos(2θ)) −→i +

sin(θ) +sin(θ)cos(θ)−2

3(sin(θ) +sin(2θ)) −→j

=O+a 2

3+1

3cos(θ)−1

3cos²(θ) −→

i + 1

3sin(θ)−1

3sin(θ)cos(θ) −→

j

=O+2a 3

−

→i +a

3(1−cosθ)−→u_θ

Notons Γ la développée cherchée. On a Γ=t◦h(C1) où t est la translation de vecteur ^2a₃−→i, h est l’homothétie de centreOet de rapport ¹₃etC1la courbe d’équation polairer=a(1−cosθ). Maintenant, en notantrla fonctionθ7→a(1+cosθ)etr₁la fonctionθ7→a(1−cosθ),

[r₁(θ+π),θ+π)] = [a(1+cosθ),θ+π] =sO([r(θ),θ)]).

La courbeC1est donc la symétrique par rapport àOde la courbeC. En résumé, la développée deC est l’image deC par la transformationt◦h◦s_O: c’est encore une cardioïde.

a 2a a

−a

Correction del’exercice 4N

Soient(R,θ)∈R²puisMle point du plan dont un couple de coordonnées polaires est[r,θ].

M∈C ⇔x²(x²+y²)−(y−x)²=0⇔r²cos²θ×r²−(rsinθ−rcosθ)²=0

⇔r²[r²cos²θ−(sinθ−cosθ)²] =0⇔r=0 our²=

sinθ−cosθ cosθ

2

(cosθ=0 ne fournit pas de solution)

⇔r=0 our=tanθ−1 our=1−tanθ.

C est donc la réunion de la courbe(C1)d’équation polairer=tanθ−1,(C2)d’équation polairer=1−tanθ et{O}. On note que le pointOappartient à(C1)carθ= ^π₄ fournitr=0. DoncC =C1∪C2∪ {O}=C1∪C2. Ensuite, on notantr₁etr₂respectivement la fonctionθ7→tanθ−1 etr₂=−r₁,

M[θ+π,r₂(θ+π)] =M[θ+π,r₂(θ)] =M[θ+π,−r₁(θ)] =M[θ,r₁(θ)],

et commeθ+πdécritRsi et seulement siθdécritR, les courbesC1etC2sont une seule et même courbe.

C est la courbe d’équation polairer=tanθ−1.

Construction deC.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Correction del’exercice 5N

Développée.M(θ) =O+ae^θ−→u_θ puis

−→_dM

dθ =ae^θ(−→u_θ+−→v_θ) =a√

2e^θ cos ^π₄−→u_θ+sin ^π₄−→v_θ

=a√

2e^θ−→u_θ+^π

4. On en déduit_dθ^ds =a√

2e^θ et−→τ(θ) =−→u_θ+π

4. On peut alors prendreα(θ) =θ+^π₄ et donc^dα_dθ =1. Par suite R(θ) =_dα/dθ^ds/dθ =^a√₁^2eθ =a√

2e^θ. D’autre part,−→n(θ) =−→τ θ+^π₂

=−→u_θ+3π 4 = √¹

2(−−→u_θ+−→v_θ)et donc Ω(θ) =M(θ) +R(θ)−→n(θ) =O+ae^θ−→u_θ+a√

2e^θ.√¹

2(−−→u_θ+−→v_θ) =O+ae^θ−→v_θ =r_O,^π

2(M(θ)).

La développée de la spirale logarithmique d’équation polairer=ae^θ est l’image de cette spirale par le quart de tour direct de centreO.

b b

M(θ)

Ω(θ)