N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Courbes planes ; génération
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 12
(1853), p. 220-222<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1853_1_12__220_1>
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COURBES PLMES; GÉNÉRATION.
\ . Lemme. Une courbe plane du degré n est, généra-
» i i* • , /?(«-+- 3) •
lement parlant, detei mmee par — points.
2. THÉORÈME. ap désignant un point fixe dans un plan; Ap une droite Jixe dans le même plan; O un point mobile; I;J Vintersection de la droite Af, avec la droite
menée de O au point ap; donnons à l'indice p successi- vement les valeurs de la suite i , 2, 3 ,. . ., — -}
(n •+-1 ) ( n -+* 2) . ~ 7 7 .
fious aurons - — points Jixes; autant de droites fixes, autant de points d'intersection ïp. Si ces derniers points sont assujettis à se trouver sur une ligne de degré n 9
le point mobile O décrit une ligne de degré
n (n -f-i) (/* -f- 2)
Démonstration. Soient — 5 — les coordonnées du z{ s,
point O ; ~ 5 -^ les coordonnées du point ap, et
l'équation de la droite Ap. L'équation de la droite qui joint le point O au point ap est
oc [jrx zp] + 7 [xvyp] -f- z [ j , xp] = o ;
le crochet indique un déterminant binaire. Les trois coordonnées des points d'intersection lp sont donc des fonctions linéaires de x^, j \ > zi-
Soit
f{x, y, z) = o
une équation générale homogène de degré n et* renfer- mant —~ coefficients indéterminés. Substituant,
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dans cette équation, à la place de x , j , z , les coor- données correspondantes des points Ip, on obtient
(n -h i)(n-h 2) , . , , . v L± L équations du premier degré entre les
( 222 )
« ( « + 3 ) ff . , , ,
coefficients , et, dans chaque terme, les xx, yx, zt montent au degré n; on a donc une équation de plus que d'inconnues -, éliminant les coefficients en éga- lant le déterminant à zéro, on obtient une équation en x,, yi, zx de degré -^ ^ J.
3. On établit de la même manière le théorème sui- vant :
Etant donnes v — — J points dans l es- pace et autant de plans, un faisceau de droites qui passe par ces points fixes, et par le point mobile O, coupe les
j (n - h i ) ( / i + 2 ) ( B + 3 )
plans en- ~ ~-^ points j si ces points d'intersection sont assujettis à être sur une surface de degré n, le point mobile O décrit une surface de degré
n(n+ I ) ( / I + 2)(/I + 3) 1.2.3
