Universit´e Pierre et Marie Curie 3M266
Points essentiels du module 3M266
Pour chaque chapitre, nous avons recens´e les points cruciaux du cours. Ce sont les aspects qui seront prioritairement test´es lors des ´evaluations. On trouvera en italique des remarques concernant des erreurs fr´equentes ou des faits ´el´ementaires trop souvent ignor´es.
1 Introduction ` a l’analyse complexe
– D´efinition d’une fonction holomorphe `a l’aide du taux de variation ou d´eveloppement limit´e complexe `a l’ordre 1.
– Si une fonction entre ouverts deC=R2est diff´erentiable au sens du calcul diff´erentiel r´eel, elle est holomorphe si et seulement si sa diff´erentielle en chaque point est la multiplication par un nombre complexe. Cela revient `a dire que ses d´eriv´ees partielles v´erifient les ´equations de Cauchy-Riemann.
Si f est holomorphe, ∂f
∂x(z) =f0(z) = (Df)z.1 et k(Df)zk=|f0(z)| (cf. th´eor`eme des accroissements finis).
2 Fonctions analytiques
– S´eries enti`eres : savoir les manipuler (d´eveloppement des fonctions usuelles, d´erivation et int´egration sans changer le rayon de convergence, produit...).
– Une fonction analytique est holomorphe.
– Principe des z´eros isol´es.
1. Les z´eros d’une fonction holomorphe sur un ouvert connexe sont des points isol´es, sauf si elle est identiquement nulle.
2. Deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe sont ´egales d`es qu’elles sont
´egales sur une partie poss´edant un point d’accumulation (par exemple un ouvert non vide).
– Surjectivit´e de l’exponentielle complexe sur C∗. exp(a) = exp(b) si et seulement si a−b est un multiple entier de 2iπ.
– Fonctions trigonom´etriques complexes.
– Logarithme principal. C’est une fonction holomorphe sur C\R− qui prolonge le lo- garithme n´ep´erien. Elle est donn´ee par Log(z) = ln|z|+iArg(z), o`u Arg(z) est l’argument de z pris dans ]−π, π[. On peut aussi la voir comme la primitive holo- morphe de la fonction inverse surC\R− qui s’annule en 1.
– Il existe d’autres d´eterminations holomorphes du logarithme sur d’autres ouverts de C∗.
– Un logarithme d´etermine des fonctions puissances holomorphes.
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Les fonctions analytiques ne se r´eduisent pas aux sommes de s´eries enti`eres. Le rayon de convergence et les coefficients varient selon le centre de la s´erie.
Le d´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fraction rationnelle s’obtient via sa d´ecomposition en ´el´ements simples ; le rayon de convergence est ´egal `a la distance `a l’ensemble des pˆoles.
Sif est une fonction holomorphe non identiquement nulle sur un ouvert connexe de C, elle n’a qu’un nombre fini de z´eros dans chaque compact de cet ouvert.
Pour savoir si le quotient de deux fonctions analytiques se prolonge holomorphiquement en un point donn´e, on compare les ordres d’annulation des deux fonctions en ce point.
Le module de ez est eRe(z).
Les fonctions coset sin ne sont pas born´ees.
Les solutions de l’´equation zn =a sont les n nombres zk = z0e2ikπn , k = 0, . . . , n−1, o`u z0 est une solution particuli`ere.
Un nombre complexe non nul a des arguments mais la fonction arg n’existe pas sauf `a la consid´erer comme `a valeurs dans R/2πZ.
Il n’y pas debonned´etermination du logarithme.Logest la d´etermination principale et pas une autre. SiLest un logarithme sur un ouvertΩ, il existe en g´en´eral des ´el´ements a et b de Ω tels que ab est dans Ω et L(ab) 6= L(a) +L(b); en g´en´eral, L(zn) 6= nL(z) lorsquen∈N et z, zn∈Ω.
3 La formule de Cauchy
– Int´egrales le long d’un chemin du plan : savoir les manipuler ais´ement (d´efinition,
´ecriture d’une int´egrale quand le chemin est la concat´enation de plusieurs chemins, majoration ´el´ementaire du module de l’int´egrale, utilisation d’une primitive quand il y en une).
– Formule de Cauchy (non centr´ee) le long d’un cercle.
Un ouvert du plan est connexe si et seulement si il est connexe par arcs. Par exemple, il suffit qu’il soit convexe ou ´etoil´e.
Il y a toujours des primitives holomorphes locales mais pas forc´ement globales.
Le th´eor`eme de Cauchy sur les convexes donne un outil de calcul d’int´egrale.
4 Propri´ et´ es fondamentales des fonctions holomorphes
– Une fonction holomorphe est analytique. Minoration du rayon de convergence de la s´erie de Taylor.
– Une fonction holomorphe est infiniment d´erivable.
– In´egalit´es de Cauchy.
– Th´eor`eme de Liouville.
– Th´eor`eme d’holomorphie des int´egrales `a param`etres.
– Une limite uniforme (sur tout compact) de fonctions holomorphes est holomorphe.
– Principe du maximum.
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Une fonction enti`ere est la somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence infini.
Les in´egalit´es de Cauchy montrent qu’une fonction holomorphecontrˆoleses d´eriv´ees.
Elles donnent en particulier une sorte d’in´egalit´e inverse du th´eor`eme des accroissements finis.
L’holomorphie des int´egrales `a param`etre est facile `a contrˆoler car, contrairement au cas de l’analyse r´eelle, il suffit de dominer la fonction holomorphe, celles des d´eriv´ees s’en suivant.
Pour trouver une domination, entre autres, on est souvent amen´e `a majorer le module d’une fraction. Pour ce faire, on majore le module du num´erateur et on minore le module du d´enominateur. Pour minorer le module d’une somme/diff´erence, on utilise souvent l’in´egalit´e |a+b| ≥ |a| − |b|, quand |a|>|b|.
Une s´erie normalement convergente de fonctions holomorphes est holomorphe.
Le principe du maximum est un moyen tr`es efficace pour obtenir des in´egalit´es et le cas d’´egalit´e permet souvent de transformer des in´egalit´es larges en in´egalit´es strictes (comme par exemple apr`es un passage `a la limite ou pour prouver qu’une homographie pr´eserve le disque unit´e).
L’image d’un ouvert connexe par une application holomorphe qui n’y est pas constante estgrosse, par le th´eor`eme de l’application ouverte.
La d´eriv´ee d’une fonction holomorphe injective ne s’annule pas (contrairement au cas de l’analyse r´eelle) ; la r´eciproque est vraie localement, mais pas globalement (exponentielle).
5 Homotopies et fonctions holomorphes
– Dans un ouvert simplement connexe (par exemple ´etoil´e), l’int´egrale d’une fonction holomorphe le long d’un lacet est nulle (th´eor`eme de Cauchy).
– Dans un ouvert simplement connexe (par exemple ´etoil´e), toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe.
– Il existe une d´etermination holomorphe du logarithme sur tout ouvert simplement connexe (par exemple ´etoil´e).
Un ouvert ´etoil´e (par exemple convexe) est simplement connexe.
L’indice d’un lacet par rapport `a un point ne change pas si on d´eplace le point (dans le compl´ementaire du lacet) ou si on d´eforme le lacet (dans le compl´ementaire du point).
6 Singularit´ es des fonctions holomorphes
– Classification des singularit´es isol´ees : trois types (apparente, pˆole, essentielle), ca- ract´eris´es par le comportement grossier de la fonction (born´e/prolongement continu, explosion, image dense) ou par l’allure du d´eveloppement en s´erie de Laurent.
– R´esidus : `a savoir calculer.
– Formule des r´esidus.
– Th´eor`eme de Rouch´e.
Le quotient de deux fonctions holomorphes est m´eromorphe.
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