2 Le théorème d’Ascoli

(1)

Leçon 201 : Espaces de fonctions. Exemples et applica- tions.

1 L’espace C ¡

[a, b] ¢

Définition 1. Soit (fn) une suite de C¡ [a,b]¢

, on dit cette suite converge uniformément si :

∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈[a,b],|x−y|6δ⇒ |f(x)−f(y)|6ε Proposition 2. Si une suite(fn)deC¡

[a,b]¢

converge uniformément vers une fonction f , alors f est continue sur[a,b].

Proposition 3. SurC¡ [a,b]¢

, on définit la normekfk∞=sup_[a,b]|f|. Alors une suite converge pour cette norme ssi elle converge uniformément. L’es- paceC¡

[a,b]¢

muni de cette norme est un espace de Banach.

Théorème 4(Heine). Les fonction continue sur[a,b]sont uniformément continues.

Théorème 5(Dini). Soit(f_n)une suite décroissante de fonctions positives sur[a,b]telle que pour tout x∈[a,b], la suite¡

fn(x)¢

converge vers une limite f(x). Alors la suite(fn)converge uniformément vers f , et f est conti- nue.

Théorème 6(Weierstrass). Toute fonction deC¡ [a,b]¢

est limite uniforme de fonctions polynomiales.

Application 7. L’ensemble des fonctions continues sur [a,b] nulle part dérivables est dense dans C¡

[a,b]¢ .

2 Le théorème d’Ascoli

Dans cette partie, on considèreX métrique compact et C(X) l’ensemble des fonctions continues surXmuni de la normekfk∞=sup_X|f|.

Définition 8. Soit A une partie de C(X) et soitx0∈X. On dit que A est équicontinue enx0si :

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈X,∀f ∈A,d(x,x₀)6δ⇒ |f(x)−f(x₀)|6ε On dit queAest équicontinue si elle est équicontinue en tout point deX.

Lemme 9. Soit(fn)équicontinue dansC(X)et D une partie dense de X . Si la suite¡

fn(x)¢

converge pour tout x∈D, alors la suite(fn)converge uni- formément vers une fonction f ∈C(X).

Théorème 10(Ascoli). Une partie deC(X)est relativement compacte dans C(X)ssi elle est bornée et équicontinue.

Application 11. Soit k ∈C¡

[0, 1]×[0, 1]¢

. On définit un opérateurT de C¡

[0, 1]¢

dans lui-même par :

∀f ∈C¡ [0, 1]¢

,∀x∈[0, 1],T f(x)= Z 1

0

k(x,y)f(y) dy

Alors l’image parT de la boule unité fermée de C¡ [0, 1]¢

est relativement compacte dans C¡

[0, 1]¢ .

3 L’espace H ( Ω )

SoitΩun ouvert deC, on considèreH(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes surΩ.

Proposition 12. Soit(fn)une suite deH(Ω). Si(fn)converge uniformé- ment sur tout compact deΩvers une fonction f , alors f est holomorphe surΩ. De plus, pour tout k∈N, la suite(f_n^(k))converge uniformément sur tout compact deΩvers f^(k).

1

(2)

Définition 13. On dit qu’une suite (fn) de fonctions holomorphes surΩ converge dansH(Ω) vers f si la suite (fn) converge uniformément sur tout compact deΩversf.

Lemme 14. Soit Kn={z∈Ω| |z|6^{n, dist(z,}Ω^c)>¹_n^{}. Alors :} 1. K_nest un compact deΩ.

2. Kn⊆K˚_n+1. 3. Ω=S

n>¹Kn.

De plus, pour tout compact K deΩ, il existe n∈N^∗tel que K⊆Kn.

Théorème 15. Soit Np(f)=sup_K_p|f|, on munitH(Ω)de la distance sui- vante :

d(f,g)= X∞ p=1

1 2^pmin¡

Np(f −g), 1¢

Alors :

1. H(Ω)est complet pour cette distance.

2. Une suite converge pour cette distance ssi elle converge dansH(Ω).

Théorème 16(Montel). Soit A une partie deH(Ω). Alors A est relative- ment compacte dansH(Ω)ssi A est bornée sur tout compact deΩ.

4 Les espaces L

^p

(X , A , µ )

Soit (X,A,µ) un espace mesuré.

Définition 17. Soit p ∈ [1,∞[, on définit l’espace L^p(X,A,µ) comme l’ensemble des fonctions mesurables f telles queR

X|f|^pdµest fini. On note L^p(X,A,µ) le quotient deL^p(X,A,µ) par la relation d’équivalence

« égalitéµ–p.p. ».

On définit pourf ∈L^p(X,A,µ) la quantitékfkp=¡R

X|f|^pdµ¢_p¹ .

Définition 18. Pour f mesurable positive, on définit la quantité ess sup(f)=inf{M>0|µ({f >M})=0}. On posekfk∞=ess sup(|f|) et on noteL^∞(X,A,µ) l’ensemble des fonctions mesurables telles quekfk∞

est fini. On note L^∞(X,A,µ) le quotient deL^∞(X,A,µ) par la relation d’équivalence « égalitéµ–p.p. ».

Proposition 19(Hölder). Soient p,q ∈[1,∞]tels que _p¹+¹_q =1et soient f ∈L^pet g∈L^q. Alors le produit f g est dansL¹et on akf gk16kfkpkgkq. Proposition 20(Minkowski). Soit p∈[1,∞]et soient f,g∈L^p. Alors on a l’inégalitékf+gkp6kfkp+ kgkp.

Corollaire 21. Pour tout p∈[1,∞], l’espaceL^p(X,A,µ)est un e.v.n. pour la normek·kp.

Proposition 22. Si la mesureµest finie, alors pour tous16^p6^q6∞, on a l’inclusionL^q⊆L^p.

Théorème 23. Pour tout p∈[1,+∞], l’espaceL^p(X,A,µ)est complet pour la normek·kp. De plus, si(fn)converge dansL^palors on peut extraire une sous-suite qui convergeµ–p.p.

Théorème 24. Soit p∈[1,∞[, on se place sur(R,B(R),λ).

1. L’ensemble des fonctions en escalier à support compact est dense dans L^p(R).

2. L’ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans L^p(R).

Corollaire 25. Pour p∈[1,∞[, l’espaceL^pest séparable.

5 Le cas de L

²

Proposition 26. SurL²(X,A,µ), on définit la forme sesquilinéaire suivante

〈f |g〉 =R

X f gdµ. Alors la norme associée à cette forme est la normek·k2et L²est un espace de Hilbert.

2

(3)

Théorème 27(projection orthogonale). Soit F un s.e.v. fermé deL². Alors pour tout f ∈L², il existe un uniqueπF(f)∈F qui réalise la distance de f à F . L’élémentπF(f)est l’unique élément de F qui vérifie f−πF(f)⊥F . De plus, l’applicationπF: L²→F est linéaire, continue et surjective. Enfin, on a la décompositionL²=F⊕F^⊥.

Application 28(espérance conditionnelle L²). Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité et soitF une sous-tribu deA. Alors pour toutX∈L²(Ω,A), on appelle espérance conditionnelle deXsachantF la projection orthogonale deX sur L²(Ω,F). Cette projection est notéeE[X|F].

Théorème 29(représentation de Riesz). SoitΦ: L²→Cune forme linéaire continue. Alors il existe une unique fonction g∈L²telle que :

∀f ∈L²,Φ(f)= Z

X f gdµ

Définition 30. SoitI un intervalle deRet soitρ:I →R₊mesurable. On dit queρest une fonction poids si pour toutn∈N,R

I|x|ⁿρ(x) dxest fini.

On note L²(I,ρ) l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densitéρpar rapport la mesure de Lebesgue.

Muni du produit scalaire〈f |g〉ρ=R

If(x)g(x)ρ(x) dx, c’est un espace de Hilbert.

Théorème 31. Soit I un intervalle deRetρune fonction poids. On sup- pose qu’il existeα>0 tel queR

Ie^α|x|ρ(x) dx est fini. Alors l’ensemble des polynômes est dense dansL²(I,ρ).

Corollaire 32. Il existe une unique famille(Pn)n∈Nde polynômes unitaire orthogonaux deux à deux tels quedegPn=n. Sous les hypothèses du théo- rème précédent, cette famille est une base hilbertienne deL²(I,ρ).

Exemple 33. PourI =Retρ(x)=e⁻^x², les polynômes orthogonaux as- sociés sont appelés les polynômes de Hermite, notés (Hn)_n∈N. C’est une base hilbertienne de L²(I,ρ). La famille (Hne⁻^x

2

2 ) est alors une base hilbertienne de L²(R).

Développements

1. Densité des fonctions continues nulle part dérivables.[7]

2. L^pest complet.[23]

3

(4)

Références

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— BRIANEet PAGÈS,Analyse – Théorie de l’intégration.

— HIRSCHet LACOMBE,Éléments d’analyse fonctionnelle.

— QUEFFÉLECet ZUILY,Analyse pour l’agrégation.

4