Nous allons étudier le premier

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1

CHAPITRE II : VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE A DEUX DIMENSIONS

Si à chaque résultat d’une épreuve on peut faire correspondre, non plus un nombre réel mais plusieurs, c’est à dire un vecteur à plusieurs composantes. On dit que cette correspondance définit une variable aléatoire à plusieurs dimensions.

Nous allons considérer, ici, le cas des variables à deux dimensions, mais, la généralisation est possible.

Désignons par X et Y les deux composantes d’une telle variable et par x et y leurs valeurs possibles. L’ensemble des couples de valeurs (x,y) peut être représenté par un ensemble de points de l’espace à deux dimensions dont les coordonnées cartésiennes sont x et y. Selon la nature de chacune des variables X et Y, on distingue plusieurs sortes de variables à deux dimensions :

 X et Y sont des variables discrètes

 X et Y sont des variables continues

 X (ou Y) est discrète et Y (ou X) est continue.

Nous allons étudier le premier cas. Mais les résultats que nous obtiendrons peuvent très bien se généraliser aux autres cas.

II-1 VARIABLE ALEATOIRE A DEUX DIMENSIONS (Exemple)

Considérons les 10 familles d’une petite ville et intéressons nous simultanément à leurs revenus et à leurs consommations. Procédons à un tirage au sort « une épreuve ». Dans ce cas,

l’univers  = {F1, F2 ,…,F10 }.

Associons à chaque résultat possible le revenu (X) et la consommation correspondante (Y) :

Y (cons.) X (rev.)

5 10 15 Total

(probabilité marginale de X)

10 3/10 2/10 0/10 5/10

15 1/10 2/10 0/10 3/10

20 1/10 0/10 1/10 2/10

Total

(probabilité marginale de Y)

5/10 4/10 1/10 1

Ce tableau représente la loi de probabilité de la variable aléatoire (X,Y).

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2

Les valeurs possibles de la V.A. (X,Y) ne st autres que les couples de valeurs (x,y) et les probabilités varient de 0 à 3/10.

D’après le tableau de probabilités ci-dessus : 3 chance sur 10 que la famille choisie dispose d’un revenu de 10 et consomme 5

et 5 chances sur 10 qu’elle ait un revenu de 10 toute consommation confondue.

II-2 Présentation générale

De manière générale, un couple de variables discrètes (X,Y) est défini sur un ensemble de couples (x_i ,y_j); i=1,2,…,n et j=1,2,…,m avec des probabilités :

pij = P(X=xi et Y= yj ) et

 

 



n

i m

j

pij

1 1

1

_.

2-2-1 Loi de probabilités jointe d’une variable à 2 dimensions et lois dérivées.

Le tableau des probabilités pij se présente sous la forme d’un tableau à double entrée qui généralise le tableau des probabilités p_i d’une variable à une dimension

:

Ici, ^{( ) (} i⁾

y

j i

j ij

i p P X x etY y P X x

p

j













 



[probabilité marginale de xi ], Y

X

y1 y2 … yj … ym Total x₁ p₁₁ p₁₂ … p_1j p_{1m p1} x2 p21 p22 … p2j p2m p_2

… … … …

xi pi1 pi2 … pij pim p _i

… … … …

xn pn1 pn2 … Pnj Pnm p _i Total p_1 p_2 … p_j … ^p_m 1

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3

Dans l’exemple :

Y X

5 10 15 Total

(probabilité marginale de X)

10 3/10 2/10 0/10 5/10

15 1/10 2/10 0/10 3/10

20 1/10 0/10 1/10 2/10

Total

(probabilité marginale de Y)

5/10 4/10 1/10 1

...

) 15 .

10 ( 3 10

0 10

2 10

1

) 15 15

( ) 10 15

( ) 5 15

(

) 15 (

) (

) (

) 10 .

10 ( 5 10

0 10

2 10

3

) 15 10

( ) 10 10

( ) 5 10

(

) 10 (

) (

) (

2 2

2 2

1 1

1 1





































































































X ligne la

de proba des

som

Y et X

P Y

et X

P Y

et X

P

X P x

X P y

Y et x X P p

p

X ligne la

de proba des

som

Y et X

P Y

et X

P Y

et X

P

X P x

X P y

Y et x X P p

p

j j

y j

j j

y j

j j

De même ^{( ) (} j⁾

x

j i

i ij

j p P X x etY y P Y y

p

i













 



[probabilité marginale de yj ].

Exemple : P(Y=10) = 4/10

Ainsi, du tableau ci-dessus, on peut déduire aisément la distribution marginale de X et celle de Y :

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4

Loi marginale de X Loi marginale de Y

X P(X=x) Y P(Y=y)

x1 p_1 y1 p _1

x_{2 p2} y₂

2

p

… … … …

x_i p _i y_{j pj}

… … … …

Total 1 Total 1

Exemple : reprenons les données de l’exemple :

Loi marginale de X Loi marginale de Y

X P(X=x) Y P(Y=y)

10 5/10 5 5/10

15 3/10 10 4/10

20 2/10 15 1/10

Total 1 Total 1

On peut caractériser ces distributions marginales en calculant l’espérance marginale, la variance… :

Espérance marginale de X Exemple :

Mais les lois marginales restent insuffisantes pour connaitre le comportement aléatoire du couple X,Y (liaison éventuelle entre X et Y par ex). Elles sont également insuffisantes pour caractériser la loi du couple X,Y. D’où le recours aux distributions conditionnelles :

La variable aléatoire à une dimension Y/X= x_i a pour probabilités :

(en supposant

p

_i  0)

De même, pour la distribution conditionnelle de X/Y=yj on a :

   







^ _



 







i ij i

j i

i j

j

i p

p x

X P

y Y et x X x P

X y Y P

p /

  

_i



i

i P X x

x X

E 



 

    ^13,5

10 20 2 10 15 3 10 10 5

3

1

























i i

i P X x

x X

E

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5

(en supposant

p

_j 0) Il vient,

Loi conditionnelle de Y/X= xi Loi conditionnelle de X/Y= yj

Y/X=xi P(Y=y / X=xi) X/Y=yj P(X=x / Y=yj)

y1 p_i1 p_i x1 p_1j p_j

y2 p_i2 p_i x2 p_2j p_j

… … … …

y_{j pij pi} x_{i pij pj}

… … … …

Total 1 Total 1

Exemple : reprenons les données de l’exemple : Y

X

5 10 15 Total

(probabilité marginale de X)

10 3/10 2/10 0/10 5/10

15 1/10 2/10 0/10 3/10

20 1/10 0/10 1/10 2/10

Total

(probabilité marginale de Y)

5/10 4/10 1/10 1

Loi conditionnelle de Y/X= 20 Loi conditionnelle de X/Y= 10 Y/X=20 P(Y=y / X=20) X/Y=10 P(X=xi / Y=10)

5 1/10 / 2/10 = 1/2 10 2/10 / 4/10 = 1/2

10 0 15 1 /2

15 1/2 20 0

Total 1 Total 1

On peut caractériser ces distributions conditionnelles en calculant l’espérance conditionnelle, la variance… :

   

 

_j

ij

j j i

j i

i

j

p

p y

Y P

y Y et x X y P

Y x X P p



 



 





 /

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6

Espérance conditionnelle de Y Exemple :

Remarque : si on connait (ttes) les lois conditionnelles de Y/X=xi et la loi marginale de X, on peut retrouver la loi du couple (X,Y)

2-2-2 Fonction de répartition

On appelle fonction de répartition du couple (X,Y) la fonction définie par :

Cette fonction de répartition généralise celle d’une variable à une dimension.

Exemple : reprenons les données de l’exemple :

II-3 liaison entre variables 2-3-1 Indépendance

Les deux variables X et Y sont dites indépendantes si pour tout couple (xi,yj) on a :

Ou encore :

 

 

 

 















x

x y y

ij x

x y y

j i

i j

i j

p

y Y et x X P y

Y et x X P y x

F ( , ) ( ) ( )



X xi etY yj



P

^

X xi

^

P



Y yj



P      

  

j i



j j

i y PY y X x

x X Y

E ^/  



^.  ^/ 

   

¹⁰

2 15 1 0 . 2 10 5 1 20 /

. 20

/^X  



^{y PY}  ^{y X}        Y

E _j

j j

10 8 10

2 10

3 10

2 10

1

) 10 10

( ) 5 10

(

) 10 15

( ) 5 15

( ) 15 20

( ) 15

; 20 (









































Y et X

P Y

et X

P

Y et X

P Y

et X

P Y

et X

P

F

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7 j

i

ij p p

p  _ _

Dans le cas d’indépendance, les distributions conditionnelles deviennent identiques aux distributions marginales. Autrement dit, En probabilité, la réalisation de X n’a pas d’influence sur la réalisation ou non deY et vice versa. En effet,

De même :

Autre écriture :

Où ^F



^x;



est la fonction de répartition marginale de X et ^{F ;}



^{ y}



celle de Y.

Ainsi, dans le cas d’indépendance La fonction de répartition s’écrit comme le produit des fonctions de répartition marginales.

Autre conséquence de l’indépendance : Cov(X,Y)=0.

     

   

)

; ( )

; ( )

, (

:

)

; ( )

; ( )

, (

: '

,

y F

x F

p p

p p p

y x F

écriture Autre

y F

x F

y Y P x

X P

y Y P x

X P y

Y et x X P y

x F

ce indépendan l

de e conséquenc autre

p p p p

p p p p

y

y j

x

x i

x j

x y y i

x

x y y ij

y

y j

x

x i

x

x y y i j

x

x y y i j

i j ij i

j j

i ij j

i

j i

i j

i j

j i

i j

i j







 

 



 



 



 













 

 



 

 



 



 





























 

 





 

 

 

 

   

 





 

 









   

 

   

  

j



i

j i

i j i

i j

j

i P Y y

x X P

y Y P x X P x

X P

y Y et x X x P

X y Y P

p  







 





 





 /

   

 

   



j

 ^

ⁱ

^

j i

j j i

j i

i

j P X x

y Y P

y Y P x X P y

Y P

y Y et x X y P

Y x X P

p  







 





 





 /

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8

  

 

 

0 ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

) ( )

( )

, (





























Y E X E XY E

Y E X E X E Y E Y E X E XY E

Y E X E X YE Y XE XY E

Y E Y X E X E Y X Cov

     

   

 

) ( ).

( .

.

. .

) (

) (

Y E X E y

Y P y x X P x

y Y P x X P xy y

Y et x X P xy XY

E

Y E y X E x

x y x y

















































Dans l’exemple X et Y sont-elles indépendantes ? : 2-3-2 Liaison fonctionnelle

On dit que X et Y sont liées fonctionnellement si pour tout couple (x,y) les variables Y/X=x_i et X/Y=y_j sont certaines. Autrement dit, à une valeur donnée de X correspond une et une seule valeur de Y et vice versa.

Exemple : soit X : le point donné par un dé

et Y : le carré du point donné par le dé.

X 1 2 3 4 5 6 Y 1 4 9 16 25 36

La loi de probabilité du couple (X,Y) se présente comme suit : Y

X

1 4 9 16 25 36 Total 1 1/6 - - - 1/6 2 - 1/6 - - - - 1/6 3 - - 1/6 - - - 1/6 4 - - - 1/6 - - 1/6 5 - - - - 1/6 - 1/6 6 - - - 1/6 1/6 Total 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Dans ce cas :



1 1

 

1

 

. 1/ 1

 

1



1



















X P X

Y P X P Y

et X

P    

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9

donc sa probabilité est égale à 1.

……..

EXERCICE D’APPLICATION

Soient X et Y deux variables aléatoires finies dont la loi jointe est donnée par le tableau (incomplet) suivant :

Y X

0 1

1 0,21 0,08

2 0,23 0,15

3 0,1

1°) Compléter le tableau et calculer les lois marginales de X et Y.

2°) Présenter les lois conditionnelles de X en fonction des valeurs prises par Y. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?

3°) Calculer l’espérance mathématique de X et X+Y.

4°) Calculer l’espérance conditionnelle de X en fonction des valeurs prises par Y.

Solution : 1°) 1-1 Le tableau représente la loi du couple (X,Y)



 

P(X = x et Y = y ) 1 P(X = 3et Y =1)  0,23

x y

. Y

X

0 1 P(X=x) 1 0,21 0,08 0,29 2 0,23 0,15 0,38 3 0,1 0,23 0,33 P(Y=y) 0,54 0,46 1

1-2

Loi marginale de X

X 1 2 3 

P(X=x) 0,29 0,38 0,33 1

2°) 2-1 La loi de X/Y=0 s’obtient en calculant :

Loi marginale de Y

Y 0 1 

P(Y=y) 0,54 0,46 1

 

^{tan , ' 1.}

1

/X est certaine cons te elle ne prend quune seule valeur

Y 

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10

) 0

= Y P(

) 0

= Y et x

= ) P(X

0

= Y x /

=

P(X



Loi conditionnelle de X/Y=0

X/Y=0 1 2 3 

P(X=x/Y=0) 0,21/0,54

=21/54

0,23/0,54

=23/54

0,1/0,54

=10/54 1

De même pour X/Y=1, on doit calculer :

) 1

= Y P(

) 1

= Y et x

= ) P(X

1

= Y x /

=

P(X



Loi conditionnelle de X/Y=1

X/Y=1 1 2 3 

P(X=x/Y=1) 0,08/0,46

=8/46

0,15/0,46

=15/46

0,23/0,46

=23/46 1

2-2 X et Y sont dites indépendantes si pour tout couple (x,y) on a :

y)

= x) P(Y

= P(X

x)

= P(X y)

= P(Y x)

= P(X

x)

= X et y

= ) P(Y

x

= X / y

= P(Y t

x)

= y) P(X

= P(Y

y)

= P(Y x)

= P(X )

y

= Y P(

) y

= Y et x

= ) P(X y

= Y x /

= P(X

y)

= P(Y x)

= P(X )

y

= Y et x

= P(X

 





 











e

Ainsi, en probabilité, on peut vérifier l’indépendance de 2 variables de différentes façons :

2-2-1 Considérons la probabilité :

1566 ,

0 21

, 0

54 , 0 29 , 0

? 21 , 0

) 0

= P(Y 1)

= P(X

? ) 0

= Y et 1

= P(X











 X et Y ne sont pas indépendantes.

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11

2-2-2 Comparons la loi conditionnelle de X et sa loi marginale déterminées supra. On constate leur différence  X et Y ne sont pas indépendantes.

2-2-3 Comparons les 2 lois conditionnelles de X déterminées supra. On constate leur différence  X et Y ne sont pas indépendantes.

3°) Calcul de l’espérance mathématique de X et de X+Y :

Calcul direct :

X+Y 1 2 3 4 

Prob 0,21 0,31 0,25 0,23 1

Remarque : évidemment dans les 2 cas on doit obtenir le même résultat.

4°) Calcul de l’espérance conditionnelle de X :

Enfin et comme d’habitude,

Vous pouvez toujours revenir à mon livre de probabilités pour d’autres exemples, d’autres applications, des QCM et autres exercices

corrigés ou non.

Travaillez bien et Bon courage.

     

   

   

     

2,5

46 , 0 46 , 0 1 54 , 0 0

04 , 2 33 , 0 3 38 , 0 2 29 , 0 1

. :

1

0 3

1





























































Y E X E Y X E

y Y P y Y

E

x X P x X

E

Y E X E Y X E que sait On

y x

 

 

46 107 46

3 23 46 2 15 46 1 8 1

54 97 54 3 10 54 2 23 54 1 21 0































 Y X E

Y X E

     

 

5 , 2 23 , 0 4 25 , 0 3 31 , 0 2 21 , 0 1

4

1



































y x

y Y et x X P y x Y

X E