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CHAPITRE II : VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE A DEUX DIMENSIONS
Si à chaque résultat d’une épreuve on peut faire correspondre, non plus un nombre réel mais plusieurs, c’est à dire un vecteur à plusieurs composantes. On dit que cette correspondance définit une variable aléatoire à plusieurs dimensions.
Nous allons considérer, ici, le cas des variables à deux dimensions, mais, la généralisation est possible.
Désignons par X et Y les deux composantes d’une telle variable et par x et y leurs valeurs possibles. L’ensemble des couples de valeurs (x,y) peut être représenté par un ensemble de points de l’espace à deux dimensions dont les coordonnées cartésiennes sont x et y. Selon la nature de chacune des variables X et Y, on distingue plusieurs sortes de variables à deux dimensions :
X et Y sont des variables discrètes
X et Y sont des variables continues
X (ou Y) est discrète et Y (ou X) est continue.
Nous allons étudier le premier cas. Mais les résultats que nous obtiendrons peuvent très bien se généraliser aux autres cas.
II-1 VARIABLE ALEATOIRE A DEUX DIMENSIONS (Exemple)
Considérons les 10 familles d’une petite ville et intéressons nous simultanément à leurs revenus et à leurs consommations. Procédons à un tirage au sort « une épreuve ». Dans ce cas,
l’univers = {F1, F2 ,…,F10 }.
Associons à chaque résultat possible le revenu (X) et la consommation correspondante (Y) :
Y (cons.) X (rev.)
5 10 15 Total
(probabilité marginale de X)
10 3/10 2/10 0/10 5/10
15 1/10 2/10 0/10 3/10
20 1/10 0/10 1/10 2/10
Total
(probabilité marginale de Y)
5/10 4/10 1/10 1
Ce tableau représente la loi de probabilité de la variable aléatoire (X,Y).
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2
Les valeurs possibles de la V.A. (X,Y) ne st autres que les couples de valeurs (x,y) et les probabilités varient de 0 à 3/10.
D’après le tableau de probabilités ci-dessus : 3 chance sur 10 que la famille choisie dispose d’un revenu de 10 et consomme 5
et 5 chances sur 10 qu’elle ait un revenu de 10 toute consommation confondue.
II-2 Présentation générale
De manière générale, un couple de variables discrètes (X,Y) est défini sur un ensemble de couples (xi ,yj); i=1,2,…,n et j=1,2,…,m avec des probabilités :
pij = P(X=xi et Y= yj ) et
n
i m
j
pij
1 1
1
.2-2-1 Loi de probabilités jointe d’une variable à 2 dimensions et lois dérivées.
Le tableau des probabilités pij se présente sous la forme d’un tableau à double entrée qui généralise le tableau des probabilités pi d’une variable à une dimension
:
Ici, ( ) ( i)
y
j i
j ij
i p P X x etY y P X x
p
j
[probabilité marginale de xi ], Y
X
y1 y2 … yj … ym Total x1 p11 p12 … p1j p1m p1 x2 p21 p22 … p2j p2m p2
… … … …
xi pi1 pi2 … pij pim p i
… … … …
xn pn1 pn2 … Pnj Pnm p i Total p1 p2 … pj … pm 1
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3
Dans l’exemple :
Y X
5 10 15 Total
(probabilité marginale de X)
10 3/10 2/10 0/10 5/10
15 1/10 2/10 0/10 3/10
20 1/10 0/10 1/10 2/10
Total
(probabilité marginale de Y)
5/10 4/10 1/10 1
...
) 15 .
10 ( 3 10
0 10
2 10
1
) 15 15
( ) 10 15
( ) 5 15
(
) 15 (
) (
) (
) 10 .
10 ( 5 10
0 10
2 10
3
) 15 10
( ) 10 10
( ) 5 10
(
) 10 (
) (
) (
2 2
2 2
1 1
1 1
X ligne la
de proba des
som
Y et X
P Y
et X
P Y
et X
P
X P x
X P y
Y et x X P p
p
X ligne la
de proba des
som
Y et X
P Y
et X
P Y
et X
P
X P x
X P y
Y et x X P p
p
j j
y j
j j
y j
j j
De même ( ) ( j)
x
j i
i ij
j p P X x etY y P Y y
p
i
[probabilité marginale de yj ].
Exemple : P(Y=10) = 4/10
Ainsi, du tableau ci-dessus, on peut déduire aisément la distribution marginale de X et celle de Y :
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4
Loi marginale de X Loi marginale de Y
X P(X=x) Y P(Y=y)
x1 p1 y1 p 1
x2 p2 y2
2
p
… … … …
xi p i yj pj
… … … …
Total 1 Total 1
Exemple : reprenons les données de l’exemple :
Loi marginale de X Loi marginale de Y
X P(X=x) Y P(Y=y)
10 5/10 5 5/10
15 3/10 10 4/10
20 2/10 15 1/10
Total 1 Total 1
On peut caractériser ces distributions marginales en calculant l’espérance marginale, la variance… :
Espérance marginale de X Exemple :
Mais les lois marginales restent insuffisantes pour connaitre le comportement aléatoire du couple X,Y (liaison éventuelle entre X et Y par ex). Elles sont également insuffisantes pour caractériser la loi du couple X,Y. D’où le recours aux distributions conditionnelles :
La variable aléatoire à une dimension Y/X= xi a pour probabilités :
(en supposant
p
i 0)De même, pour la distribution conditionnelle de X/Y=yj on a :
i ij i
j i
i j
j
i p
p x
X P
y Y et x X x P
X y Y P
p /
i
i
i P X x
x X
E
13,5
10 20 2 10 15 3 10 10 5
3
1
i i
i P X x
x X
E
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5
(en supposant
p
j 0) Il vient,Loi conditionnelle de Y/X= xi Loi conditionnelle de X/Y= yj
Y/X=xi P(Y=y / X=xi) X/Y=yj P(X=x / Y=yj)
y1 pi1 pi x1 p1j pj
y2 pi2 pi x2 p2j pj
… … … …
yj pij pi xi pij pj
… … … …
Total 1 Total 1
Exemple : reprenons les données de l’exemple : Y
X
5 10 15 Total
(probabilité marginale de X)
10 3/10 2/10 0/10 5/10
15 1/10 2/10 0/10 3/10
20 1/10 0/10 1/10 2/10
Total
(probabilité marginale de Y)
5/10 4/10 1/10 1
Loi conditionnelle de Y/X= 20 Loi conditionnelle de X/Y= 10 Y/X=20 P(Y=y / X=20) X/Y=10 P(X=xi / Y=10)
5 1/10 / 2/10 = 1/2 10 2/10 / 4/10 = 1/2
10 0 15 1 /2
15 1/2 20 0
Total 1 Total 1
On peut caractériser ces distributions conditionnelles en calculant l’espérance conditionnelle, la variance… :
jij
j j i
j i
i
j
p
p y
Y P
y Y et x X y P
Y x X P p
/
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Espérance conditionnelle de Y Exemple :
Remarque : si on connait (ttes) les lois conditionnelles de Y/X=xi et la loi marginale de X, on peut retrouver la loi du couple (X,Y)
2-2-2 Fonction de répartition
On appelle fonction de répartition du couple (X,Y) la fonction définie par :
Cette fonction de répartition généralise celle d’une variable à une dimension.
Exemple : reprenons les données de l’exemple :
II-3 liaison entre variables 2-3-1 Indépendance
Les deux variables X et Y sont dites indépendantes si pour tout couple (xi,yj) on a :
Ou encore :
x
x y y
ij x
x y y
j i
i j
i j
p
y Y et x X P y
Y et x X P y x
F ( , ) ( ) ( )
X xi etY yj
P
X xi
P
Y yj
P
j i
j j
i y PY y X x
x X Y
E /
. /
102 15 1 0 . 2 10 5 1 20 /
. 20
/X
y PY y X YE j
j j
10 8 10
2 10
3 10
2 10
1
) 10 10
( ) 5 10
(
) 10 15
( ) 5 15
( ) 15 20
( ) 15
; 20 (
Y et X
P Y
et X
P
Y et X
P Y
et X
P Y
et X
P
F
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7 j
i
ij p p
p
Dans le cas d’indépendance, les distributions conditionnelles deviennent identiques aux distributions marginales. Autrement dit, En probabilité, la réalisation de X n’a pas d’influence sur la réalisation ou non deY et vice versa. En effet,
De même :
Autre écriture :
Où F
x;
est la fonction de répartition marginale de X et F ;
y
celle de Y.
Ainsi, dans le cas d’indépendance La fonction de répartition s’écrit comme le produit des fonctions de répartition marginales.
Autre conséquence de l’indépendance : Cov(X,Y)=0.
)
; ( )
; ( )
, (
:
)
; ( )
; ( )
, (
: '
,
y F
x F
p p
p p p
y x F
écriture Autre
y F
x F
y Y P x
X P
y Y P x
X P y
Y et x X P y
x F
ce indépendan l
de e conséquenc autre
p p p p
p p p p
y
y j
x
x i
x j
x y y i
x
x y y ij
y
y j
x
x i
x
x y y i j
x
x y y i j
i j ij i
j j
i ij j
i
j i
i j
i j
j i
i j
i j
j
i
j i
i j i
i j
j
i P Y y
x X P
y Y P x X P x
X P
y Y et x X x P
X y Y P
p
/
j
i
j i
j j i
j i
i
j P X x
y Y P
y Y P x X P y
Y P
y Y et x X y P
Y x X P
p
/
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8
0 ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
( )
, (
Y E X E XY E
Y E X E X E Y E Y E X E XY E
Y E X E X YE Y XE XY E
Y E Y X E X E Y X Cov
) ( ).
( .
.
. .
) (
) (
Y E X E y
Y P y x X P x
y Y P x X P xy y
Y et x X P xy XY
E
Y E y X E x
x y x y
Dans l’exemple X et Y sont-elles indépendantes ? : 2-3-2 Liaison fonctionnelle
On dit que X et Y sont liées fonctionnellement si pour tout couple (x,y) les variables Y/X=xi et X/Y=yj sont certaines. Autrement dit, à une valeur donnée de X correspond une et une seule valeur de Y et vice versa.
Exemple : soit X : le point donné par un dé
et Y : le carré du point donné par le dé.
X 1 2 3 4 5 6 Y 1 4 9 16 25 36
La loi de probabilité du couple (X,Y) se présente comme suit : Y
X
1 4 9 16 25 36 Total 1 1/6 - - - 1/6 2 - 1/6 - - - - 1/6 3 - - 1/6 - - - 1/6 4 - - - 1/6 - - 1/6 5 - - - - 1/6 - 1/6 6 - - - 1/6 1/6 Total 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Dans ce cas :
1 1
1
. 1/ 1
1
1
X P X
Y P X P Y
et X
P
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9
donc sa probabilité est égale à 1.
……..
EXERCICE D’APPLICATION
Soient X et Y deux variables aléatoires finies dont la loi jointe est donnée par le tableau (incomplet) suivant :
Y X
0 1
1 0,21 0,08
2 0,23 0,15
3 0,1
1°) Compléter le tableau et calculer les lois marginales de X et Y.
2°) Présenter les lois conditionnelles de X en fonction des valeurs prises par Y. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
3°) Calculer l’espérance mathématique de X et X+Y.
4°) Calculer l’espérance conditionnelle de X en fonction des valeurs prises par Y.
Solution : 1°) 1-1 Le tableau représente la loi du couple (X,Y)
P(X = x et Y = y ) 1 P(X = 3et Y =1) 0,23x y
. Y
X
0 1 P(X=x) 1 0,21 0,08 0,29 2 0,23 0,15 0,38 3 0,1 0,23 0,33 P(Y=y) 0,54 0,46 1
1-2
Loi marginale de X
X 1 2 3
P(X=x) 0,29 0,38 0,33 1
2°) 2-1 La loi de X/Y=0 s’obtient en calculant :
Loi marginale de Y
Y 0 1
P(Y=y) 0,54 0,46 1
tan , ' 1.1
/X est certaine cons te elle ne prend quune seule valeur
Y
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10
) 0
= Y P(
) 0
= Y et x
= ) P(X
0
= Y x /
=
P(X
Loi conditionnelle de X/Y=0
X/Y=0 1 2 3
P(X=x/Y=0) 0,21/0,54
=21/54
0,23/0,54
=23/54
0,1/0,54
=10/54 1
De même pour X/Y=1, on doit calculer :
) 1
= Y P(
) 1
= Y et x
= ) P(X
1
= Y x /
=
P(X
Loi conditionnelle de X/Y=1
X/Y=1 1 2 3
P(X=x/Y=1) 0,08/0,46
=8/46
0,15/0,46
=15/46
0,23/0,46
=23/46 1
2-2 X et Y sont dites indépendantes si pour tout couple (x,y) on a :
y)
= x) P(Y
= P(X
x)
= P(X y)
= P(Y x)
= P(X
x)
= X et y
= ) P(Y
x
= X / y
= P(Y t
x)
= y) P(X
= P(Y
y)
= P(Y x)
= P(X )
y
= Y P(
) y
= Y et x
= ) P(X y
= Y x /
= P(X
y)
= P(Y x)
= P(X )
y
= Y et x
= P(X
e
Ainsi, en probabilité, on peut vérifier l’indépendance de 2 variables de différentes façons :
2-2-1 Considérons la probabilité :
1566 ,
0 21
, 0
54 , 0 29 , 0
? 21 , 0
) 0
= P(Y 1)
= P(X
? ) 0
= Y et 1
= P(X
X et Y ne sont pas indépendantes.
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11
2-2-2 Comparons la loi conditionnelle de X et sa loi marginale déterminées supra. On constate leur différence X et Y ne sont pas indépendantes.
2-2-3 Comparons les 2 lois conditionnelles de X déterminées supra. On constate leur différence X et Y ne sont pas indépendantes.
3°) Calcul de l’espérance mathématique de X et de X+Y :
Calcul direct :
X+Y 1 2 3 4
Prob 0,21 0,31 0,25 0,23 1
Remarque : évidemment dans les 2 cas on doit obtenir le même résultat.
4°) Calcul de l’espérance conditionnelle de X :
Enfin et comme d’habitude,
Vous pouvez toujours revenir à mon livre de probabilités pour d’autres exemples, d’autres applications, des QCM et autres exercices
corrigés ou non.
Travaillez bien et Bon courage.
2,546 , 0 46 , 0 1 54 , 0 0
04 , 2 33 , 0 3 38 , 0 2 29 , 0 1
. :
1
0 3
1
Y E X E Y X E
y Y P y Y
E
x X P x X
E
Y E X E Y X E que sait On
y x
46 107 46
3 23 46 2 15 46 1 8 1
54 97 54 3 10 54 2 23 54 1 21 0
Y X E
Y X E
5 , 2 23 , 0 4 25 , 0 3 31 , 0 2 21 , 0 1
4
1
y x
y Y et x X P y x Y
X E