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Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments qui ont une image (exactement). Notation Df.
Dans la pratique, cela revient à chercher l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est calculable.
Et pour cela, il faut prendre en compte les conditions imposées par les différentes fonctions qui composent f.
Par exemple, un dénominateur ne doit pas être nul, un radicande (expression écrite sous le radical) doit être positif, etc..
Exemples
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f : 1) Soit f(x) =
4 2
5
− + x x .
La seule condition est 2x − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.
Df = − {2} = ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.
2) Soit f(x) =
) 2 )(
1 (
5 +
− +
x x
x .
La condition est (x − 1)(x + 2) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 et x ≠−2.
Df = − {−2, 1} = ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 1[ ∪ ]1, +∞[.
3) Soit f(x) = 9 3 2
2 − + x
x .
La condition est x2− 9 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 et x ≠−3.
Df = − {−3, 3} = ]−∞, −3[ ∪ ]−3, 3[ ∪ ]3, +∞[.
4) Soit f(x) =
6 5 23
2 − x+
x .
La condition est x2− 5x + 6 ≠ 0. Il s’agit dans un premier temps de résoudre x2− 5x + 6 = 0.
∆ = (−5)2− 4 × 1 × 6 = 1. D’où les solutions x1 = 2
1 ) 5 (− +
− = 3 et x2 = 2
1 ) 5 (− −
− = 2.
Finalement, Df = − {2, 3} = ]−∞, 2[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, +∞[.
5) Soit f(x) = 2x−3.
La condition est 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 3. Df = [
2 3, +∞[.
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6) Soit f(x) =
16 1
2− x
.
Les conditions sont x2− 16 ≥ 0 pour que le radical existe, et x2 −16 ≠ 0 pour que le dénominateur ne soit pas nul, soit finalement x2− 16 > 0.
Le trinôme x2− 16 admet 2 racines, −4 et 4, et son coefficient dominant (celui de x2) vaut 1 > 0. Il est donc strictement positif à l’extérieur des racines.
Donc Df = ]−∞, −4[ ∪ ]4, +∞[.
7) Soit f(x) = ln(1 − x2).
La fonction ln est définie sur ]0, +∞[, donc la condition est 1 − x2 > 0.
L’étude du signe du trinôme conduit à : Df = ]−1, 1[.
8) Soit f(x) = ) ln(x
x .
Les conditions sont : x > 0 pour que le logarithme existe, et ln(x) ≠ 0 pour que le dénominateur ne soit pas nul.
Or ln(x) = 0 ⇔ x = 1.
Finalement, Df = ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[.
Les suggestions d’exemples supplémentaires sont bienvenues à lycee.mathematiques@free.fr.
