Applications linéaires en dimension nie

Applications linéaires en dimension nie

Cours de É. Bouchet ECS1 15 avril 2020

Table des matières

1 Rang d'une application linéaire 2

2 Applications linéaires et familles de vecteurs 3

2.1 Images de familles de vecteurs . . . 3 2.2 Espaces isomorphes et dimension . . . 4

3 Théorème du rang 5

3.1 Énoncé du théorème . . . 5 3.2 Théorème du rang et bijections . . . 6

4 Formes linéaires 6

Dans tout le chapitre,K désigneraR ou C.

1 Rang d'une application linéaire

SoitEetF deux espaces vectoriels. On suppose queEest de dimension nien∈N^∗et on note(e1, . . . , en) une de ses bases. Alors une application linéairef deE dansF est dénie de manière unique par la donnée de la famille :

(f(e1), . . . , f(en)).

Proposition (Image d'une base par une application linéaire).

Démonstration. (démonstration à connaître) Soit (e₁, . . . , e_n) une base deE et(f₁, . . . , f_n) une famille d'éléments de F. On va montrer qu'il existe une unique application linéaire f telle que pour touti∈[[1, n]],f(e_i) =f_i.

Analyse : on suppose qu'il existe une telle applicationf. Soitx=Pn

i=1xiei∈E. Alors, par linéarité def, f(x) =

n

X

i=1

x_if(e_i) =

n

X

i=1

x_if_i. Ce qui dénit entièrement f.

Synthèse : soitf l'application deEdansF qui associe à tout vecteurx=Pn

i=1x_ie_ile vecteurf(x) =Pn i=1x_if_i. Soiti∈[[1, n]], commeei = 0e1+· · ·+ 0ei−1+ 1ei+ 0ei+1+· · ·+ 0en, on af(ei) =fi. Montrons maintenant que f est linéaire : soit λ∈Ket(x, y)∈E² avecx=P_n

i=1x_ie_i ety=P_n

i=1y_ie_i. Alors λx+y=P_n

i=1(λx_i+y_i)e_i et donc :

f(λx+y) =

n

X

i=1

(λx_i+y_i)f_i=λ

n

X

i=1

x_if_i+

n

X

i=1

y_if_i =λf(x) +f(y).

Donc f satisfait bien les conditions demandées.

D'où l'existence d'une unique applicationf qui convient.

Exemple 1. Déterminer l'unique application linéairef deR²dansR² qui vérief((1,0)) = (2,1)etf((0,1)) = (1,1). Soit(x, y)∈R², la linéarité def donne :

f((x, y)) =f(x(1,0) +y(0,1)) =xf((1,0)) +yf((0,1)) =x(2,1) +y(1,1) = (2x+y, x+y).

Soit E etF deux espaces vectoriels etf une application linéaire de E dansF. On suppose que E est de dimension nie et on note(e₁, . . . , e_n)une de ses familles génératrices. Alors :

Im(f) = Vect(f(e1), . . . , f(en)).

Proposition (Famille génératrice de Im(f)).

Démonstration. Soity ∈Im(f). Il existex∈E tel quey=f(x)et comme la famille (e₁, . . . , e_n) est génératrice deE on peut écrirex=Pn

i=1xiei. On a donc, par linéarité def : y=f(x) =f

n

X

i=1

x_ie_i

!

=

n

X

i=1

x_if(e_i).

Donc et . L'inclusion réciproque étant évidente, on obtient

Remarque. C'est en particulier vrai lorsque(e₁, . . . , e_n) est une base deE.

Exemple 2. Soitf dénie deR² dansR² par∀(x, y)∈R²,f((x, y)) = (4x−6y,2x−3y). Déterminer Im(f). (1,0)et(0,1)forment une base deR², donc

Im(f) = Vect (f((1,0)), f((0,1))) = Vect ((4,2),(−6,−3)) = Vect ((4,2)), où la dernière égalité provient de la relation(−6,−3) =−³₂(4,2).

Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F un espace vectoriel. Soit f une application linéaire de E dansF. On appelle rang de f, et on noterg(f) la valeur :

rg(f) = dim (Im(f)). Dénition (Rang d'une application linéaire).

Remarque. La fonction nulle est la seule application de rang0.

Remarque. Si (e1, . . . , en) est une base de E, Im(f) = Vect(f(e1), . . . , f(en)) d'après ce qui précède et on a en particulierrg(f) = rg(f(e₁), . . . , f(e_n)).

2 Applications linéaires et familles de vecteurs

2.1 Images de familles de vecteurs

Soit E et F deux espaces vectoriels et f une application linéaire injective de E dans F. L'image par f d'une famille libre deE est une famille libre deF.

Proposition (Image d'une famille libre par une application injective).

Remarque. Ce résultat ne nécessite pas de supposer queE est de dimension nie. Le casE={0}est par contre un peu particulier, puisqu'il n'existe alors pas de famille libre deE.

Démonstration. Soit(e1, . . . , en)une famille libre deE, etf une application linéaire injective deE dansF. Montrons que(f(e₁), . . . , f(e_n))est une famille libre de F. Soit(λ₁, . . . , λ_n)∈Kⁿ, on suppose que

n

X

i=1

λ_if(e_i) = 0_F.

On a alors, par linéarité de f,f(Pn

i=1λ_ie_i) = 0_F, càdPn

i=1λ_ie_i ∈Ker(f). Comme f est injective, Ker(f) ={0_E}, ce qui nous donne Pn

i=1λiei = 0E. Et comme (e1, . . . en) est une famille libre de E, les λi sont tous nuls. Donc (f(e₁), . . . , f(e_n))est libre dansF.

Soit E etF deux espaces vectoriels de dimension nie etf une application linéaire surjective de E dans F. L'image par f d'une famille génératrice deE est une famille génératrice de F.

Proposition (Image d'une famille génératrice par une application surjective).

Démonstration. Soit (e₁, . . . , e_n) une famille génératrice de E et f une application linéaire surjective. Soit y ∈ F. Commef est surjective, y∈Im(f)et il existe x∈E tel quef(x) =y. Et comme(e₁, . . . , e_n) est génératrice deE, il existe(x1, . . . , xn)∈Kⁿ tels quex=Pn

i=1xiei. Ce qui donne : y=f(x) =f

n

X

i=1

x_ie_i

!

=

n

X

i=1

x_if(e_i).

Or∀i∈[[1, n]],f(ei)∈F. Donc la famille(f(e1), . . . , f(en))est génératrice deF.

Soit E etF deux espaces vectoriels de dimension nie n∈N^∗ etf une application linéaire de E dans F. Alors :

Sif est bijective, l'image par f de toute base deE est une base deF.

S'il existe une base deE dont l'image parf est une base deF, alorsf est bijective.

Proposition.

Démonstration.

Le premier point est une conséquence directe des deux résultats précédents.

Réciproquement, supposons qu'il existe une base (e₁, . . . , e_n) de E dont l'image est une base de F. Soitx∈Ker(f), alorsx∈Eet on peut écrirex=Pn

i=1xiei(puisque(e1, . . . , en)est une famille génératrice de E). Par linéarité def, on obtient :

0F =f(x) =f

n

X

i=1

xiei

!

=

n

X

i=1

xif(ei).

Or lesf(e_i)sont une famille libre deF. Donc les scalairesx_isont tous nuls. Doncx= 0_E etKer(f)⊂ {0_E}. La deuxième inclusion étant évidente, on en déduit quef est injective.

Soit y ∈F, alors on peut écrire y=Pn

i=1yif(ei) (puisque(f(e1), . . . , f(en)) est une famille génératrice de F). Alors, par linéarité def,

y=

n

X

i=1

y_if(e_i) =f

n

X

i=1

y_ie_i

! .

Doncy∈Im(f) etF ⊂Im(f). La deuxième inclusion étant évidente, on en déduit quef est surjective.

Donc f est bijective.

2.2 Espaces isomorphes et dimension

Soit n∈N^∗. Un K-espace vectoriel est de dimension nsi et seulement si il est isomorphe àKⁿ. Proposition.

Démonstration.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Alors il possède une base (e1, . . . , en).

Soitϕl'application linéaire qui à toute_i associe lei-ème terme de la base canonique deKⁿ. L'applicationϕest linéaire par construction, et l'image de la base (e₁, . . . , e_n) est la base canonique de Kⁿ. Donc par le résultat

Réciproquement, soit E un espace vectoriel isomorphe à Kⁿ. Il existe donc un isomorphismeϕde Kⁿ dansE. Comme ϕest bijective, l'image parϕde la base canonique deKⁿ est une base deE. DoncE possède une base à néléments et dim(E) =n.

Soit E etF deux espaces vectoriels de dimension nie. Ils sont isomorphes si et seulement si dim(E) = dim(F).

Corollaire.

3 Théorème du rang

3.1 Énoncé du théorème

Soit E etF deux espaces vectoriels etf une application linéaire de E dansF. On suppose que E est de dimension nie, alors dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)), c'est-à-dire

dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f).

Théorème (Théorème du rang).

Démonstration. (démonstration à connaître) Ker(f)⊂E qui est de dimension nie, donc c'est également un espace de dimension nie. Soit (e1, . . . , e_k) une base de Ker(f) (dans le cas où Ker(f) 6= {0_E}). C'est une famille libre de E, donc (théorème de la base incomplète) on peut la compléter en une base (e₁, . . . , e_n) de E (si Ker(f) = {0_E}, on prend directement une base de E). On sait alors que (f(e1), . . . , f(en)) est génératrice de Im(f). Et comme f(e1) =· · ·=f(e_k) = 0F (ces éléments étant dans le noyau def), on obtient que(f(e_k+1), . . . , f(en))est génératrice deIm(f). Il nous reste maintenant à montrer que cette famille est libre pour pouvoir conclure que c'est une base. Soit (λk+1, . . . , λn)des scalaires, on suppose que

n

X

i=k+1

λ_if(e_i) = 0_F. Comme f est linéaire, on en déduit que f Pn

i=k+1λ_ie_i

= 0_F. Donc Pn

i=k+1λ_ie_i ∈ Ker(f), dont une base est (e1, . . . , ek), et il existe des scalaires(α1, . . . , αk)tels que :

n

X

i=k+1

λ_ie_i =

k

X

i=1

α_ie_i.

Comme(e₁, . . . , e_n) est une base deE, et en particulier une famille libre, on en déduit que tous lesλ_i etα_i sont nuls.

On a donc montré que(e1, . . . , ek)est une base deKer(f), et(f(ek+1), . . . , f(en))est une base deIm(f). Ce qui nous donne quedim(Ker(f)) =k,dim(Im(f)) =n−k et en particulier :

dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

3.2 Théorème du rang et bijections

Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie tels que dim(E) = dim(F) et f une application linéaire de E dansF. Alors :

f est injective ⇐⇒f est surjective ⇐⇒f est bijective ⇐⇒rg(f) = dim(F).

Proposition.

Démonstration. Le théorème du rang donne

dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E) = dim(F).

En particulier,

Si f est injective, dim(Ker(f)) = 0, donc dim(Im(f)) = dim(F). Or Im(f) ⊂ F, donc Im(f) = F et f est surjective.

Sif est surjective,dim(Im(f)) = dimF, donc dim(Ker(f)) = 0, càd Ker(f) ={0_E} etf est injective. Donc f est bijective.

Sif est bijective,Im(f) =F et donc rg(f) = dim(F).

Sirg(f) = dim(F), alors dim(Ker(f)) = 0, càd Ker(f) ={0_E}etf est injective.

On a ainsi montré toutes les équivalences.

SoitEetF deux espaces vectoriels de dimension nie tels quedim(E) = dim(F),f une application linéaire de E dansF etgune application linéaire de F dansE. Alors :

Sif◦g=Id_F,f est bijective etf⁻¹=g. Sig◦f =IdE,f est bijective etf⁻¹ =g. Corollaire.

Démonstration. (démonstration à connaître)

On suppose quef◦g=Id_F. Soitx∈F, alorsf◦g(x) =x, doncf(g(x)) =x. Doncxadmet un antécédent (en l'occurrenceg(x)) parf, etx∈Im(f). DoncF ⊂Im(f). L'autre inclusion étant directe, on obtientIm(f) =F, donc f est surjective. Par la proposition précédente, puisqu'il y a égalité des dimensions, f est également bijective. De plus, comme f◦g=Id_F, on trouve en composant parf⁻¹ à gauche que g=f⁻¹.

On suppose que g◦ f = IdE. Soit x ∈ Ker(f), alors f(x) = 0F et g ◦f(x) = x. Par linéarité de g, on obtient g◦f(x) =g(0F) = 0E. Doncx= 0E. DoncKer(f)⊂ {0_E}. L'autre inclusion étant directe, on obtient Ker(f) ={0_E}, doncf est injective. Par la proposition précédente, puisqu'il y a égalité des dimensions,f est également bijective. De plus, comme g◦f =IdE, on trouve en composant par f⁻¹ à droite que g=f⁻¹.

4 Formes linéaires

Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle forme linéaire surE toute application linéaire de E dans K.

Dénition (Forme linéaire).

Exemple 3. Soit C l'espace vectoriel sur R des fonctions continues sur [0,1]. L'application f → R1

0 f(t)dt est une forme linéaire surC.

Soit E un espace vectoriel de dimension nie n>2 etF un sous-espace deE. Alors F est un hyperplan de E si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire sur E non nulle.

Proposition.

Démonstration.

Supposons queF = Ker(ϕ), oùϕest une forme linéaire surE non nulle.ϕ6= 0, doncdim(Im(ϕ))>1. Comme ϕ est une forme linéaire, on a de plusIm(ϕ)⊂K, et donc Im(ϕ) =K. Le théorème du rang donne alors :

dim(Ker(ϕ)) = dim(E)−rg(ϕ) = dim(E)−1.

F est donc un hyperplan deE.

Réciproquement, supposons que F est un hyperplan deE. Soit (e1, . . . , en−1)une base de F, c'est une famille libre de E, on peut donc (théorème de la base incomplète) la compléter en une base(e₁, . . . , e_n) de E. Soit ϕ l'application linéaire dénie de E dansK en posantϕ(ei) = 0sii6=netϕ(en) = 1. Montrons que F = Ker(ϕ).

Soit x∈F, alors il existe des scalaires (x1, . . . , xn−1) tels quex=Pn−1

i=1 xiei. On a alors ϕ(x) =

n−1

X

i=1

x_iϕ(e_i) =

n−1

X

i=1

x_i0 = 0,

donc x∈Ker(ϕ). DoncF ⊂Ker(ϕ).

Réciproquement, soit x ∈ Ker(ϕ). En particulier, x ∈ E, donc il existe des scalaires (x₁, . . . , x_n) tels que x=Pn

i=1xiei, et

0 =ϕ(x) =

n

X

i=1

x_iϕ(e_i) =x_nϕ(e_n) =x_n. Doncxn= 0, etx=Pn−1

i=1 xiei∈F. DoncKer(ϕ)⊂F.

Par double inclusion, on a bien montré que F =Ker(ϕ). Enn,ϕ(e_n) = 1, donc ϕest non nulle.

Rmq : on pouvait également utiliser le théorème du rang à la place de l'inclusion réciproque.

Exemple 4. Soitf l'application linéaire dénie deR2[X]dansR par : ∀P ∈R2[X],

f(P) =P(0).

f est une forme linéaire. Déterminer l'hyperplan qui correspond à son noyau.

SoitP(X) =aX²+bX+c∈R₂[X]. On a :

P ∈Ker(f)⇐⇒f(P) = 0⇐⇒c= 0⇐⇒P(X) =aX²+bX⇐⇒P ∈Vect(X, X²).

DoncKer(f) = Vect(X, X²) ={aX²+bX|(a, b)∈R²}, qui est bien de dimension2 = dim(R₂[X])−1.

Variantes : on pouvait aussi vérier queX etX² sont dans le noyau, donc Vect(X, X²)⊂Ker(f) et utiliser l'égalité des dimensions pour conclure. Autre possibilité : raisonner par équivalences, mais en passant par une forme factorisée du polynôme.