Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Interrogation de cours n°12
Nom : Prénom :
Question 1 (0,5+0,5+1 points) :Soit Aune matrice de formatn×pà coefficients dansKet soitB une matrice de formatq×rà coefficients dansK.
1. À quelle condition le produitABest-il défini ?
2. Si le produitABest défini, quel est le format de la matriceAB?
3. On suppose que le produitABest défini. Compléter la phrase suivante pour donner la définition des coeffi- cients de la matriceAB.
Pour tout (i,j)∈ , × , , [AB]i j=
Question 2 (0,5 point) :Donner deux matricesAetBde format 2×2 à coefficients réels, toutes deux différentes de 0M2(R), telles queAB=0M2(R).
A=
B=
Question 3 (2 points) :Énoncer la formule du binôme de Newton dans le contexte matriciel.
Question 4 (2 points) :SoitA∈Mn(K). Donner la définition de l’assertion :Aest une matrice inversible.
Question 5 (3 points) :Énoncer et démontrer le résultat sur l’inversibilité et l’inverse de la matriceAB, où (A,B)∈ GLn(K)2.
Énoncé :
Preuve :
Question 6 (3×0,5 points)
1. Que dire quant à l’inversibilité et à l’inverse évententuelle deP:=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
?
2. Que dire quant à l’inversibilité et à l’inverse évententuelle de∆:=
1 0 0 0 1 0 0 0 3
?
3. Que dire quant à l’inversibilité et à l’inverse évententuelle deT=
1 −2 0
0 1 0
0 0 1
?
Question 7 (2+1 points)
1. Calculer le produit suivant.
1 0 0
0 1 0
0 −2 1
1 0 0
−4 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
−7 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0
7 8 9 4 5 6 1 2 3
=
2. Qu’en déduire quant à la matriceA:=
7 8 9 4 5 6 1 2 3
?
Question 8 (6 points): SoitA∈Mn(K). Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Aest inversible 2. A∼
LIn
