D20233. Plis ` a marquer
Sur un napperon circulaire en papier, on marque un point fixeP. Prenant un pointQsur le bord du napperon, on plie le papier de fa¸con `a faire co¨ıncider Q avec P, et on marque la corde du cercle correspondant `a ce pli. Cette corde est tangente `a une courbe ind´ependante deQ, quelle est-elle ?
Solution
Le pli suit la m´ediatriceDdeP Q. D´epla¸consQenQ0, toujours sur le bord, la droite D se d´eplace enD0 qui coupe Dau centre J du cercle circonscrit au triangle P QQ0, sur la m´ediatrice de QQ0 qui passe par le centre O du napperon.
Quand Q0 tend vers Q, J tend vers le point I de contact de D avec son enveloppe, et la m´ediatriceJ O tend versQO qui passe donc par I.
Comme IP =IQ, IP ±IO = QO, et l’enveloppe de D, qui est le lieu de I, est une conique de foyers P et O, de grand axe ´egal au rayon QO du napperon. CommeP est int´erieur au napperon,P O < QO et la conique est une ellipse.
Comme P se projette sur D au milieu de P Q, on peut aussi d´efinir cette courbe comme l’antipodaire, par rapport `a P, du cercle homoth´etique du bord du napperon, dans le rapport 1/2, avecP comme centre d’homoth´etie.
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