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Exercices résolus de mathématiques
Robert Moulan
sc. Math.ULg 1954
Cahier X
34 exercices résolus
http://matheux.ovh/Accueil.html
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Sommaire
Université Matière Session Année Nombre
Exercices
Page
FACSA, ULG, Liège Analyse Septembre 2006 2 P 3
FACSA, ULG, Liège Analyse Septembre 1996 2 P 9
FACSA, ULG, Liège Analyse Septembre 2005 2 P 14
FACSA, ULG, Liège Analyse Septembre 2004 2 P 18
FACSA, ULG, Liège Géométrie, géométrie analytique
Juillet 2004 5 P 23
FACSA, ULG, Liège Trigonométrie Juillet 2004 3 P 31
Divers 1 P 35
FACSA, ULG, Liège Algèbre Septembre 2004 2 P 40
FACSA, ULG, Liège Analyse Septembre 2004 3 P 44
FACSA, ULG, Liège Trigonométrie Septembre 2004 5 P 47
FACSA, ULG, Liège Géométrie, géométrie analytique
Septembre 2004 3 P 50
FACSA, ULG, Liège Algèbre Septembre 2004 2 P 59
Divers 1 P 69
Floco de Von Kock 1 P 71
FACSA, ULG, Liège Géométrie synthétique plane Juillet 2017 P 76
Volume d’une citerne P 78
Permutation sans point fixe P 80
Conversion d’un nombre en binaire
P 83
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Un problème pratique de calcul intégral
Une citerne à mazout cylindrique est installée avec son axe de symétrie parallèle au sol. Elle est munie d’une jauge en plastique transparent placée parallèlement au diamètre (vertical évidemment) de la base du cylindre (voir figure 1)
Le problème est de graduer cette jauge, sachant que le diamètre de la citerne est 2r (dm) et sa longueur l (dm).
Solution
a) Plaçons un système d’axes orthonormés comme indiqué sur la figure (plan xOy horizontal et axe Oz vertical).
Soit z (dm) une cote quelconque comprise entre –r et r et V (litres) le volume de mazout compris entre les plans horizontaux de cotes respectives –r et z.
Soit dz une variation infime de z et dV la variation de volume correspondante. On peut assimiler cette variation de volume à celle d’un parallélépipède rectangle de dimension PQ, dz et l, soit dV = PQ.l.dz.
Or PQ2MQ2 r2z2 , donc dV 2l r2 z2 et 2 z 2 2
V l r r z dz
.
Calculons d’abord l’intégrale indéfinie : I r2z dz2 On pose : zrsinudzrcos .u du
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 sin cos cos 1 cos 2
2
2 sin 2
1 cos 2 2 sin .cos
4 4 4 2
arcsin 1 arcsin
2 2
I r z dz r u r u du r u du r u du
r r u r u r
u d u C u u u C
r z z z r z z
C r z C
r r r r r
Finalement :
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2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 arcsin
2
arcsin arcsin 1 0 arcsin
2 arcsin
2
z
r
r z z
V l r z
r r
z z z z
r l r z r l r z
r r r r
z z
r l r z
r r
Or : arcsin arcsin arccos
2 2 5
z z z
r r
D’où :
2 2 2
arccos z z2
V r l r z
r r
Remarque : si z = r, on retrouve la formule du cylindre
2 2 2 2 2
arcsin 2 0
2 2 2
r r
V r l r r r l r l
r r
b) Pour commencer à étalonner le diamètre AB (donc l’axe Oz) désignons par C, O et D les points de cotes , 0, et
2 2
r r
. Si le volume de mazout était proportionnel à la hauteur du mazout dans la jauge transparente, les 3 points C, O et D indiqueraient respectivement le quart, la moitié ou les trois-quarts de la citerne sont remplis. Si cela est vrai pour le point O, cela n’est pas vrai pour C ou D.
D’une part, calculons le volume de mazout coïncidant avec C (z = –r/2) :
2
2 1 1 2 2 3 2
arccos 0.6142
2 2 4 3 4
V r l r r r l r l
r
D’autre part, un quart du volume de la citerne est 2 0.7854 2 V 4r l r l
Ainsi pour une citerne de 3400 litres (avec r = 7 dm et l = 23 dm de mesures extérieures) :
2 3400 3
1082.2536 dm
r l
et par conséquent la réserve de mazout au point C est : 1082.2536 0.6142 665 litres, alors que la proportionnalité donnerait
1082.2536 0.7854 850 litres.
c) On peut se passer du calcul intégral e considérant qu’à tout moment du remplissage, le volume de mazout est celui d’un cylindre droit dont la base est un segment de cercle (rayon r et flèche f ) et dont la hauteur est la longueur l de la citerne, ce qui, pour une citerne remplie à moins de sa moitié à un volume 1 2 sin
V 2r l En effet,
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2 2
aire du segment de cercle aire secteur circulaire aire triangle
1 1
. . .sin
2 2
1 1 1
. sin sin
2 2 2
PMQBP OPBQ POQ
PBQ OP OP OQ
r r r r
Or
2 2
sin 2 sin cos et cos , sin
2 2 2 2
h r h
r r
Donc arccos 2
h r
et 2 arccosh h2 2 2
V r l r h
r r
Si au contraire, le volume de mazout dépasse la moitié de la citerne, il faut retirer du volume de celle-ci le volume du cylindre droit qui a pour base le segment de cercle de rayon r et de flèche f et dont la hauteur est la longueur de la citerne, soit :
2 2 2
2 2 2
2
1 1
sin sin cos sin cos
2 2 2 2
arccos
V r l r l r l ar h
r
h h
V r l r h
r r
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Page 82 sur 85 NOTE : les permutations sans point fixes sont aussi appelées DERANGEMENTS.
La résolution fait appel à la notion de sous-factoriel.
Voir : mercredi 31 janvier 2018 22:52
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsous.htm
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