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Durée de l'épreuve : 2h
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On se propose d’étudier le mouvement du dispositif expérimental représenté ci-dessous.
1. Modèle dynamique textuel et le schéma cinématique associé 1.1. Géométrie et masse
Le dispositif, modélisé par un système plan, est composé de :
- un actionneur (Ac01) qui imprime au solide (S1) un effort horizontal F(t) supposé connu explicitement en fonction du temps,
- un ressort de traction-compression (R12), de masse négligeable, disposé entre les solides (S1) et (S2),
- un amortisseur (Am12), de masse négligeable, disposé entre les solides (S1) et (S2),
Signature
Actionneur (AC01)
0
01
x
x r r
23
=
y r
012S
0 A0z
3r
S
2S
3 Ressort (R12)Amortisseur (Am12)
S
1c a b
d
B1
D2
G1 C13
G3
g
- quatre solides indéformables : (S0), (S1), (S2) et (S3) : - (S0) le bâti,
- (S1) de centre d’inertie G1 et de masse m1, - (S2) de masse négligeable,
- (S3) de centre d’inertie G3 et de masse m3, - six liaisons indéformables :
(S0 – S1) : glissière (S1 – S2) : glissière
(S1 – S3) : pivot (S2 – S3) : ponctuelle bilatérale (R12Am12 – S1) : rotule (R12Am12 – S2) : rotule
1.2. Efforts
Toutes les liaisons sont supposées parfaites.
Le ressort (R12)est supposé de caractéristique linéaire, raideur k et longueur libre l0. L’amortisseur (Am12) est supposé de caractéristique linéaire (de type visqueux) et de viscance ν.
Le système évolue dans le champ de la pesanteur défini par la verticale ascendante du lieu zr0
.
1.3. Repère galiléen
Dans le domaine de l’étude, le repère lié au bâti (S0) est supposé galiléen.
Rappel : dtd tan
( )
α =[
1+tan2( )
α]
α&2. Construire un modèle géométrique vectoriel 2.1. Modéliser les liaisons
- tracer le graphe des liaisons
S0
S2
[ ]
0 y B A y
x y B A
Glissière
01 1 0 01
01 01 1
0 r r
r
r r
=
∧
∧
[ ]
0 y D B y
x y D B
Glissière
12 2 1 12
12 12 2
1 r r
r
r r
=
∧
∧ S1
S3
[
C13 x13]
Pivot r
[ ]
ΦPonctuelle
[ ]
B1_Rotule
[ ]
D2_Rotule
2.2. Modéliser les solides rigides
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[
3 0 3 3]
3 3
012 012 0 2
2
012 012 0 1 1
1
012 012 0 0
0
z , y , x
; G C R R
z , y , x
; D R R
z , y , x
; G C B R R
z , y , x
; A R R
r r r
r r r
r r r
r r r
=
=
=
=
2.3. Paramétrer les repères liés
- exploiter un graphe minimum interbases
- exploiter un graphe minimum interpoints
3 3
1
z d CG z
b y a BC
z b y c BG y
y AD y
y AB
012 012
012 012
012 2 012
1
r r r
r r
r r
−
=
−
=
−
=
=
=
ATTENTION : VOTRE TRAVAIL COMMENCE ICI 2.4. Rechercher les équations de liaison
- exploiter les liaisons non encore prises en compte par leur modèle vectoriel Conséquence de la liaison ponctuelle (S2 − S3)
- vérifier les conditions géométriques non encore prises en compte de certaines liaisons Conséquence de la liaison glissière (S0 – S1)
Conséquence de la liaison glissière (S1 – S2)
- exploiter les lois de comportement imprimées par les actionneurs xr0
zr012
z3
r
y012
r y3
r
(012 - 3)
α
b012 α b3
xr0
(S1)
D A B G1 C G3
(S1)
(S3)
2.5. Définir les paramètres indépendants
o Nombre de paramètres indépendants : Nombre = o Définir les paramètres indépendants :
Dans la suite de l’étude on gardera impérativement les paramètres y1 et α
Exprimer y2 et y&2 en fonction de y1,y&1,α etα& à l’aide de l’équation de liaison ci- dessous :
0 b α
a y
y2 − 1 − + tan =
3. Formaliser les lois de comportement en fonction du modèle géométrique - la loi de comportement de l’actionneur (Ac01)
{ }
=
→
B
01 S
Ac 1
- la loi de comportement du ressort (R12)
{ }
=
→
D 2
12 S
R
Dans la suite de l’étude on gardera impérativement : sr
{
R12 S2}
FR yr012=
→ - la loi de comportement de l’amortisseur (Am12)
{ }
=
→
D
S2
Am12
Dans la suite de l’étude on gardera impérativement : sr
{
Am12 S2}
FAm yr012=
→ - les composantes nulles des interefforts de liaison
0 0
0 0
0
=
=
=
=
=
- le champ de la pesanteur
{ } { }
=
→
=
→
3
3 G G
1 g S
S g
1
4. Recenser les inconnues de l'étude - les paramètres indépendants :
- les composantes d’efforts qui interviennent dans les lois de comportement : - les composantes d’efforts inconnues de l’étude :
5. Ecrire les équations de dynamique
5.1. Localiser les coupures des éventuelles chaînes fermées et reformuler le bilan des inconnues de l'étude
La coupure fictive est réalisée au niveau de la liaison : Inconnues de l’étude :
5.2. Définir le graphe des particularités
5.3. Ecrire les conséquences scalaires des théorèmes généraux S0
S2 S1
S3
+ S0
S2 S1
S3
+
+
=
=
=
=
=
=
E avec
E avec
E avec
5.4. Calculer les composantes des efforts
5.5. Calculer les composantes de cinétique
On rappelle que le torseur dynamique d’un solide de masse négligeable est égal au torseur nul.
- Calculer la somme dynamique des solides (S1), (S2) et (S3) dans leur mouvement par rapport à (S0)
- Calculer le moment dynamique au point C du solide (S3) dans son mouvement par rapport à (S0)
5.6. Expliciter les équations de la dynamique
=
=
=
=
=
=
