CalculerBn pour toutn∈N(utiliser la recurrence pourn≥1)

Université Cadi Ayyad A.U.: 2019-2020

Faculté poly-disciplinaire Filière: SMC-SMP/S2

Sa Algèbre 2

TD 3 Exercice 1 Soit B=

0 0 1 1

.

1. CalculerBⁿ pour toutn∈N(utiliser la recurrence pourn≥1);

2. Est-il possible de calculerBⁿ pour toutn∈Z?

3. Résoudre le systèmeB³X= 0

1

, X= x

y

.

Exercice 2 On se propose de résoudre, par la méthode de diagonalisation, l'équation diérentielle suivante:

(E₀) : 2¨x+ 3 ˙x−4x = 0 x(0) = −1

˙

x(0) = 1.

1. Trouver la matrice A ∈ M2(R) qui exprime l'équation (E0) : 2¨x+ 3 ˙x−4x = 0.

Ind:

Utiliser le changement de variableX= x˙

x

puis trouverA∈ M2(R)telle queX˙ =AX, poser pour celaA=

a b c d

. 2. Montrer queAest diagonalisable.

3. Diagonaliser la matriceA(Vecteurs propres, sous espaces propres, base de vecteurs propres, matrice de passage et formule de changement de base).

4. Trouver la solution de l'équation(E₀)(sans utiliser la méthode de l'équation caractéristique, Tenir compte des conditions initiales).

5. En utilisant la matrice A, déterminer le terme général de chacune des suites récurrentes (u_n, v_n)dénies par:







2un+1=−3un+ 4vn ; vn+1=un

u0= 1, v0=−1.