Professeur:M.AitMansour Examenscorrig´es,FP-Safi-UCA

Fili` eres SMPC Deuxi` eme semestre

Examens corrig´ es, FP-Safi-UCA

Professeur : M. Ait Mansour

Safi-Marrakech, le 11 avril 2020

TABLE DES MATI` ERES

1. Sessions 2011-2012 2

0.1 Enonc´ ´ es . . . . 2 0.2 Corrig´ es . . . . 3

2. Sessions 2015-2016 11

0.1 Enonc´ ´ es . . . . 11 0.2 Corrig´ e . . . . 12

3. Sessions 2017-2018 17

0.1 Enonc´ ´ es . . . . 17 0.2 Corrig´ e . . . . 20

4. Sessions 2018-2019 28

0.1 Enonc´ ´ es . . . . 28

0.2 Correction : Voir TD . . . . 30

SESSIONS 2011-2012

0.1 Enonc´ ´ es

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2011-2012

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` eres : SMPC/S2

Safi Alg` ebre 2

DS : Session Normale Dur´ ee : 2H00

1) On note B _c = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base canonique du R -ev R ³ . Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice dans la base B c est :

A = mat B

_c

(f ) =









0 -1 1

1 -2 -1

2 -2 -1







 .

1. D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique de A.

2. En d´ eduire les valeurs propres de A.

3. V´ erifier que A est diagonalisable.

4. D´ eterminer les sous-espaces propres de f.

5. En d´ eduire une base propre (i.e., base form´ ee par des vecteurs propres de f ) de R ³

qu’on notera par la suite B _p .

FPS-SMPC-S2

6. Donner la matrice de f dans B _p qu’on notera A ⁰ i.e., A ⁰ = mat _B

_p

(f ).

7. D´ eterminer la matrice P de passage de la base B _c ` a la base B _p . 8. Donner la formule de changement de base.

9. Calculer A ³ .

10. R´ esoudre le syst` eme diff´ erentiel suivant :

(S) :



 

 

 



 

 

 



˙

x(t) = −y(t) + z(t)

˙

y(t) = x(t) − 2y(t) − z(t)

˙

z(t) = 2x(t) − 2y(t) − z(t) (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1) .

2) Soient α ∈ R et A α la matrice donn´ ee par : A α = α 1 -1 -α

! .

1. Pour quelles valeurs de α, la matrice A α est inversible ? 2. D´ eterminer A ⁻¹ _α lorsqu’il existe.

3. Diagonaliser A 2 .

4. Trouver le terme g´ en´ eral de chacune des suites (u _n ) _n et (v _n ) _n d´ efinies par u ₀ = v ₀ = 1 et pour tout n ≥ 0 :



 

 

u n+1 = 2u n + v n

v _n+1 = −u _n − 2v _n . .

0.2 Corrig´ es 1)

1. On calcule det(A − λI ₃ ) et on trouve :

P (λ) = det(A − λI 3 )

=

-λ -1 1

1 -2-λ -1

2 -2 -1-λ

= −(λ + 3)(λ + 1)(λ − 1)

χ _A = P (λ) = −(λ + 3)(λ + 1)(λ − 1) . 2. Les valeurs propres de A sont :

λ 1 = −3, λ ₂ = −1 et λ 3 = 1 . 3. Les trois valeurs propres de A sont simples, donc :

A est diagonalisable .

4. Soit v = (x, y, z) ∈ R ³ et V =







 x y z









la matrice colonne associ´ ee ` a v.

On note E _i = Ker(A − λ _i I ₃ ) le sous-espace propre associ´ e ` a la valeur propre λ _i , i ∈ {1, 2, 3}.

• Cherchons E ₁ :

v ∈ E 1 ⇐⇒ (A + 3I 3 )V = 0

⇐⇒



 



 



3x − y + z = 0 x + y − z = 0 2x − 2y + 2z = 0

⇐⇒

( x = 0 y = z

⇐⇒ v = y(0, 1, 1).

Par suite :

E ₁ = V ect{v ₁ }, v ₁ = (0, 1, 1) .

FPS-SMPC-S2

• Cherchons E ₂ :

v ∈ E ₂ ⇐⇒ (A + I ₃ )V = 0

⇐⇒









1 -1 1 1 -1 -1 2 -2 0















 x y z









=







 0 0 0









⇐⇒



 



 



x − y + z = 0 x − y − z = 0 2x − 2y = 0

⇐⇒

( z = 0 x = y

⇐⇒ v = y(1, 1, 0).

Par suite : E ₂ = V ect{v ₂ }, v ₂ = (1, 1, 0) .

• Cherchons E ₃ :

v ∈ E ₃ ⇐⇒ (A − I ₃ )V = 0

⇐⇒









-1 -1 1 1 -3 -1 2 -2 -2















 x y z









=







 0 0 0









⇐⇒



 



 



−x − y + z = 0 x − 3y − z = 0 2x − 2y − 2z = 0

⇐⇒

( y = 0 x = z

⇐⇒ v = z(1, 0, 1).

Par suite : E ₃ = V ect{v ₃ }, v ₃ = (1, 0, 1) .

5. Soit B _p = {v ₁ , v ₂ , v ₃ }. Clairement, B _p est libre donc c’est une base de R ³ .

6. On a f (v ₁ ) = −3v ₁ , f (v ₂ ) = −v ₂ et f (v ₃ ) = v ₃ . Donc :

A ⁰ = mat _B

_p

(f ) =









-3 0 0

0 -1 0

0 0 1







 .

7. On a P = P

_BcBp

= mat

_BpBc

(Id _R

³

) donc :

P =









0 1 1 1 1 0 1 0 1







 .

8. La formule de changement de base :

A ⁰ = P ⁻¹ AP . 9. On a A = P A ⁰ P ⁻¹ . Donc :

A ³ = P A ⁰³ P ⁻¹ = P









-27 0 0 0 -1 0

0 0 1







 P ⁻¹ .

Cherchons d’abord P ⁻¹ . Pour cela on ´ ecrit :



 



 



v ₁ = e ₂ + e ₃ v ₂ = e ₁ + e ₂ v ₃ = e ₁ + e ₃ . D’o` u :



 

 



 

 



e ₁ = 1

2 (−v ₁ + v ₂ + v ₃ ) e 2 = 1

2 (v 1 + v 2 − v 3 ) e ₃ = 1

2 (v ₁ − v ₂ + v ₃ ) . Alors :

P ⁻¹ = 1 2









-1 1 1 1 1 -1 1 -1 1









.

FPS-SMPC-S2

En effectuant le produit matriciel on trouve :

A ³ =









0 -1 1

13 -14 -13 14 -14 -13







 .

10. Le syst` eme (S) est ´ equivalent ` a ˙ X (t) = AX (t), (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = (1, 1, 1). Or A = P A ⁰ P ⁻¹ donc : ˙ X (t) = AX (t) = P A ⁰ P ⁻¹ X (t). D’o` u P ⁻¹ X ˙ (t) = A ⁰ P ⁻¹ X (t). Par le changement de variable Y (t) = P ⁻¹ X (t) on obtient l’´ equation ´ equivalente suivante ˙ Y (t) = A ⁰ Y (t).

Comme A ⁰ est une matrice diagonale, il vient que :



 



 



˙

y 1 = −3y ₁ (t)

˙

y 2 = −y ₂ (t)

˙

y 3 = y 3 (t).

C’est-` a-dire :



 



 



y ₁ (t) = α ₁ e ^−3t y ₂ (t) = α ₂ e ^−t y ₃ (t) = α ₃ e ^t .

Maintenant on revient ` a X par le changement de variable X = P Y et on trouve :



 



 



x(t) = α ₂ e ^−t + α ₃ e ^t y(t) = α ₁ e ^−3t + α ₂ e ^−t z(t) = α ₁ e ^−3t + α ₃ e ^t .

D’autre part, la condition initiale X (0) = (1, 1, 1) conduit au syst` eme suivant :



 



 



α ₂ + α ₃ = 1

α ₁ + α ₂ = 1

α ₁ + α ₃ = 1.

D’o` u α ₁ = α ₂ = α ₃ = 1

2 . Par cons´ equent :



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = 1

2 (e ^−t + e ^t );

y(t) = 1

2 (e ^−3t + e ^−t );

z(t) = 1

2 (e ^−3t + e ^t ).

2)

1. det(A _α ) = −α ² + 1. Donc A _α est inversible si, et seulement si det(A _α ) 6= 0. Ce qui est

´

equivaut ` a α 6= ±1.

2. Pour α 6= ±1, on a :

A ⁻¹ _α = 1 det(A _α )

t Cof (A _α ).

Apr` es calcul imm´ ediat des cofacteurs de A _α on obtient : A ⁻¹ _α = −1

(α − 1)(α + 1)

-α -1

1 α

! .

3. On suppose maintenant que α = 2.

• Le polynˆ ome caract´ eristique de A ₂ , P (λ) = det(A ₂ − λI ₂ ), se calcule imm´ ediate- ment :

P (λ) = (λ − √

3)(λ + √ 3) .

• Les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres sont respectivement :







λ 1 = − √

3; v 1 =

1, −(2 + √ 3)

, E 1 = V ect{v ₁ } λ ₂ = √

3; v ₂ =

1, −2 + √ 3

, E ₂ = V ect{v ₂ } . La (nouvelle) matrice de f dans la base propre est :

A ⁰ ₂ = -

√

3 0

0 √

3

!

.

FPS-SMPC-S2

On a aussi, A = P A ⁰ ₂ P ⁻¹ avec :

P = 1 1

-2- √

3 -2+ √ 3

!

et P ⁻¹ = 1 2 √

3

-2 + √

3 -1 2 + √

3 1

! .

4. On pose U _n = u _n v _n

!

et on remarque que U _n+1 = AU _n avec A = 2 1 -1 -2

!

. Donc avec le changement de variable V _n = P ⁻¹ U _n , on obtient le syst` eme ´ equivalent :

V _n+1 = A ⁰ V _n . (1..1)

On pose V _n = u ˆ _n ˆ v _n

!

et on ´ ecrit le syst` eme (1..1) comme suit : ˆ

u n+1

ˆ v n+1

!

= - √

3 0

0 √

3

! u ˆ n

ˆ v n

! .

C’est-` a-dire :

( u ˆ _n+1 = − √ 3ˆ u _n ˆ

v _n+1 = √

3ˆ v _n . D’o` u : ˆ u _n = (−1) ⁿ ( √

3) ⁿ u ˆ ₀ et ˆ v _n = ( √

3) ⁿ v ˆ ₀ . Avec U ₀ = P V ₀ et U ₀ = 1 1

!

nous obtenons :

ˆ u ₀ ˆ v ₀

!

= 1

2 √ 3

−3 + √ 3 3 + √

3

!

. (1..2)

Or U _n = P V _n , donc : u n

v n

!

= 1 1

-2-

√

3 -2+

√ 3

!

. u ˆ n

ˆ v n

! .

Alors, il en r´ esulte que :

( u n = ˆ u n + ˆ v n

v _n = −(2 + √

3)ˆ u _n + (−2 + √

3)ˆ v _n .

Par cons´ equent :

( u _n = (−1) ⁿ ( √

3) ⁿ u ˆ ₀ + ( √ 3) ⁿ v ˆ ₀ v _n = −(2 + √

3)[(−1) ⁿ ( √

3) ⁿ ]ˆ u ₀ + (−2 + √ 3)( √

3) ⁿ ˆ v ₀ .

En reportant, dans ce dernier syst` eme, les valeurs initiales de ˆ u ₀ et ˆ v ₀ , on conclut les valeurs finales de u n et v n pour n ≥ 1 comme suit :



 

 



 

 



u _n = ( √ 3) ⁿ⁻¹

2 h

(−1) ⁿ (−3 + √

3) + 3 + √ 3

i

v _n = ( √ 3) ⁿ⁻¹

2 h

(−1) ⁿ⁺¹ (2 + √

3)(−3 + √

3) + (−2 + √

3)(3 + √ 3)

i

.

CHAPITRE 2.

SESSIONS 2015-2016

0.1 Enonc´ ´ es

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2015-2016

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` eres : SMPC/S2

Safi Alg` ebre 2

DS : Session Normale Dur´ ee : 2H00

On note B _c = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base canonique du R -espace vectoriel R ³ .

Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice par rapport ` a la base B _c est :

A = mat _B

_c

(f ) =





















 1 2

1 4

1 4 1

3

1 3

1 3 1

4

1 4

1 2





















 .

1. D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique de A : χ _A ( On pourra utilser les transformations C

1

← C

1

+ C

2

+ C

3

puis L

2

← L

2

− L

1

et L

3

← L

3

− L

1

, (Sinon) on pourra ´ egalement calculer χ

A

(1) et χ

A

( 1

4 ) puis

´

eventuellement utiliser la division euclidienne ).

2. En d´ eduire les valeurs propres de A.

3. V´ erifier que A est diagonalisable.

4. D´ eterminer les sous-espaces propres de f.

5. En d´ eduire une base form´ ee par des vecteurs propres de R ³ qu’on notera B _p . 6. Donner la nouvelle matrice de f dans la base B _p qu’on notera A ⁰ .

7. D´ eterminer la matrice P de passage de la base B c ` a la base B p . 8. Donner la formule de changement de base.

9. Montrer de deux m´ ethodes que la matrice A est inversible, donner l’inverse de A.

10. Soit (S) le syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire d´ efini par ˙ X = AX, X(0) =







 0 22 22









, X =







 x y z







 .

(a) ´ Ecrire (S ) sous forme d’un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles lin´ eaires.

(b) R´ esoudre (S) en utilisant la diagonalisation de A.

0.2 Corrig´ e

S. Normale

FPS-SMPC-S2

1. (2pt)

χ _A = det(A − λI ₃ ) =

1

2 − λ 1 4

1 4 1

3

1

3 − λ 1 3 1

4

1 4

1 2 − λ

=

1 − λ 1 4

1 4 1 − λ 1

3 − λ 1 3 1 − λ 1

4

1 2 − λ

(C 1 ←− C 1 + C 2 + C 3 )

= (1 − λ)

1 1

4

1 4

1 1

3 − λ 1 3

1 1

4

1 2 − λ

= (1 − λ)

1 1

4

1 4

0 1

12 − λ 1 3

0 0 1

4 − λ

(L ₂ ← L ₂ − L ₁ , L ₃ ← L ₃ − L ₁ )

= −(λ − 1)(λ − 1

4 )(λ − 1

12 ) = χ _A (λ)

2. (1.5pt) λ ₁ = 1, λ ₂ = 1

4 , λ ₃ = 1 12 .

3. (1pt) A est une matrice carr´ ee d’ordre 3 et admet trois valeurs propres distinctes, donc A est diagonalisable.

4. (4.5pt) La d´ etermination des sous-espaces propres Ker(f − λ _i I ) se ram` ene ` a la r´ eso- lution des syst` emes lin´ eaires correspondants et donne :

E ₁ = Ker(f − λ ₁ I ) = V ect(b ₁ ), b ₁ = (1, 1, 1) E ₂ = Ker(f − λ ₂ I ) = V ect(b ₂ ), b ₂ = (1, 0, −1) E 3 = Ker(f − λ 3 I ) = V ect(b 3 ), b 3 = (3, −8, 3) .

5. (1pt) Soit B _p = {b ₁ , b ₂ , b ₃ }. On a det _B

_c

(B _p ) 6= 0, donc B _p est une base de R ³ form´ ee par des vecteurs propres de A.

6. (0.5pt) A ⁰ = mat _B

_p

(f ) =























1 0 0

0 1

4 0

0 0 1

12





















 .

7. (1pt) P = P _B

_c

_B

_p

= mat(I, B _p , B _c ) =



















1 1 3

1 0 −8

1 −1 3



















8. (1.5pt) A ⁰ = P ⁻¹ AP, P ⁻¹ = P _B

_p

_B

_c

= mat(I, B _c , B _p ) = 1 22



















8 6 8

11 0 −11

1 −2; 1

















 .

9. (3pt)

FPS-SMPC-S2

(a) On a det(A) = 1

4 . Donc A est inversible et on a

A ⁻¹ = 1 det(A)

t

com(A)

= 48





















 1

12 - 1

16 0

- 1 12

3

16 - 1 12

0 - 1

16 ; 1 12





















 .

(b) On a A = P A ⁰ P ⁻¹ . Comme A ⁰ est inversible (puisque les trois valeurs propres de A sont non nulles), A ⁰ est inversible. D’o` u A est inversible comme produit de trois matrices inversibles et on a

A ⁻¹ = P A ⁰⁻¹ P ⁻¹ =



















1 1 3

1 0 −8

1 −1 3









































1 0 0

0 1

4 0

0 0 1

12





















 1 22



















8 6 8

11 0 −11

1 −2; 1



















= 48





















 1

12 - 1

16 0

- 1 12

3

16 - 1 12

0 - 1

16 ; 1 12





















 .

10. (3pt)

(a) (S) ⇐⇒



 

 



 

 



˙ x = 1

2 x + 1

4 y + 1 4 z

˙ y = 1

3 x + 1

3 y + 1 3 z

˙ z = 1

4 x + 1

4 y + 1

2 z .

(b) On pose Y (t) =









x ₁ (t) x ₂ (t) x ₃ (t)









. Clairement, (S ) ⇐⇒ Y ˙ = A ⁰ Y. Comme A ⁰ est une ma-

trice diagonale, il vient que Y (t) =







 c ₁ e ^t c 2 e

¹⁴

^t c 3 e

¹²¹

^t









, o` u c ₁ , c ₂ et c ₃ sont des constantes

`

a trouver comme suit. Y (0) =







 c ₁ c ₂ c ₃









= P ⁻¹ X ₀ =







 14 -11

-1







 .

D’o` u Y (t) =









14e ^t -11e

¹⁴

^t

-e

¹²¹

^t









. Maintenant,

X (t) = P Y (t) =









14e ^t -11e

¹⁴

^t -3e

¹²¹

^t 14e ^t + 8e

¹²¹

^t 14e ^t + 11e

¹⁴

^t -3

¹²¹

^t







 .

Bar` eme : 1. 2pt, 2. 1.5pt, 3. 1pt, 4. 4.5pt, 5. 1pt, 6. 0.5pt, 7. 1pt, 8. 1.5pt (formule :

0.5pt, P ⁻¹ 1pt), 9. 3pt (1.5 pour chaque m´ ethode), 10. 3pt (0.5+2.50), R´ edaction : 1pt.

CHAPITRE 3.

SESSIONS 2017-2018

0.1 Enonc´ ´ es

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2017-2018

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` eres : SMPC/S2

Safi Alg` ebre 2

DS : Session Normale Dur´ ee : 1H45 min

Exercice 1 Montrer que la matrice M =



















2 1 1

0 1 0

-1 -1 0



















est inversible et calculer son

inverse.

————————————————————————————————–

Exercice 2 On note B c = {e ₁ , e 2 , e 3 } la base canonique de R ³ en tant que R -ev.

Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice par rapport ` a la base B _c est :

A = mat _B

_c

(f ) =



















7 7 7

2 2 2

3 3 3

















 .

1. Calculer A ³ .

2. Montrer que les vecteurs u ₁ = e ₁ − e ₂ , u ₂ = e ₂ − e ₃ et u ₃ = 7e ₁ + 2e ₂ + 3e ₃ forment une base de R ³ , que l’on note B.

3. ´ Ecrire f (u _i ) dans la base B pour i ∈ {1, 2, 3}. En d´ eduire la matrice de f dans la base B, que l’on note C.

4. D´ eterminer la matrice de passage de la base B _c ` a la base B et calculer son inverse.

5. Retrouver A ³ par la formule de changement de base.

6. Est-il possible de calculer A ⁻³ ?

————————————————————————————————–

Exercice 3 On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant : (S) :



 

 

˙

x = −x + y

˙

y = −2x + 2y.

On pose X = x y

! .

1. Trouver une matrice A ∈ M ₂ ( R ) tel que ˙ X = AX.

2. Montrer que A est diagonalisable et la diagonaliser (valeurs propres, vecteurs propres, formule de changement de base) .

3. En utilisant la diagonalisation de A trouver la solution de (S) si de plus x ₀ = 1 et

y ₀ = 2.

FPS-SMPC-S2

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2017-2018

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` eres : SMPC/S2

Safi Alg` ebre 2

DS : Session de Rattrapage Dur´ ee : 1H30 min

On note B _c = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base canonique du R -espace vectoriel R ³ .

Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice par rapport ` a la base B _c est :

A = mat _B

_c

(f ) =



















3 1 -1

-1 3 1

0 2 2

















 .

1. R´ esoudre le syst` eme (S) : AX =







 3 2 1









, X =







 x y z







 .

2. Montrer que A est inversible et calculer son inverse.

3. Montrer que les matrices A − 2I ₃ et A − 4I ₃ ne sont pas inversibles, o` u I ₃ est la matrice unit´ e de taille 3.

4. D´ eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.

5. La matrice A est-elle diagonalisable ?

6. Dans la suite on consid` ere la famille de vecteurs B = {u ₁ , u ₂ , u ₃ } d´ efinie par :



 

 

 

 

u ₁ = e ₁ + e ₃ u ₂ = 1

2 (e ₁ + e ₂ ) u ₃ = e ₂ + e ₃ .

7. Montrer que B est une nouvelle base de R ³ et donner la matrice de passage P de la

base B _c ` a la base B.

8. V´ erifier que u ₁ et u ₃ sont des vecteurs propres de f associ´ es ` a des valeurs propres de f que l’on pr´ ecisera.

9. Trouver les coordonn´ ees de f (u ₂ ) dans la base B.

10. En d´ eduire la matrice A ⁰ de f dans la base B et donner la formule liant A, A ⁰ et P (formule de changement de base, on donnera aussi P ⁻¹ ).

11. R´ esoudre le syst` eme (T ) : A ⁰ X =







 3 2 1









, X =







 x y z







 .

12. Retrouver la solution du syst` eme (S) en utilisant le syst` eme (T) et la formule de changement de base.

0.2 Corrig´ e

(S. Normale 17-18)

Exercice 1 On a det(M ) = 1 6= 0. Donc M est inversible. Par le calcul des co-facteurs on trouve

M ⁻¹ = 1 det(M )

t

com(M ) =



















0 -1 -1

0 1 0

1 1 2

















 .

————————————————————————————————–

Exercice 2 On note B c = {e ₁ , e 2 , e 3 } la base canonique de R ³ en tant que R -ev.

Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice par rapport ` a la base B _c est :

A = mat _B

_c

(f ) =



















7 7 7

2 2 2

3 3 3



















.

FPS-SMPC-S2

1. A ³ =



















1008 1008 1008

288 288 288

432 432 432

















 .

2. On a det _B

_c

(B) = 12 6= 0, donc B est un syst` eme libre sur R . Or card(B) = 3 = dim( R ³ ), donc (B) est une base de R ³ .

3. Apr` es calcul on trouve : f (u ₁ ) = f (u ₂ ) = 0 et f (u ₃ ) = 12u ₃ . Par suite :

C = mat _B (f ) =



















0 0 0

0 0 0

0 0 12

















 .

4. P =



















1 0 7

-1 1 2

0 -1 3



















. Par la m´ ethode des co-facteurs on obtient :

P ⁻¹ = 1 det(P )

t

com(P ) = 1 12



















5 -7 -7

3 3 −9

1 1 1



















.

5. A ³ = P C ³ P ⁻¹ = 1 12



















0 0 12096

0 0 3456

0 0 5184





































5 −7 −7

3 3 −9

1 1 1



















=



















1008 1008 1008

288 288 288

432 432 432

















 .

6. A n’est pas inversible car det(A) = 0 (ou encore 0 est une valeur propre de A) donc A ⁻³ n’existe pas.

————————————————————————————————–

Exercice 3 On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant : (S) :



 

 

˙

x = −x + y

˙

y = −2x + 2y.

On pose X = x y

! .

1.

A = −1 1

−2 2

! .

2. On calcule χ _A : χ _A (λ) = λ(λ − 1). Donc sp(A) = {0, 1} . A est une matrice carr´ ee d’ordre 2 admettant deux valeurs propres simples distinctes donc A est diagonalisable.

• Vecteurs propres : On pose λ ₁ = 0 et λ ₂ = 1. Par r´ esolution des syst` emes AX = λX pour λ ₁ et λ ₂ on trouve : E ₁ = vect(e ⁰ ₁ ), e ⁰ ₁ = (1, 1) et E ₂ = vect(e ⁰ ₂ ), e ⁰ ₂ = (1, 2).

• Formule de changement de base :

(a) On pose B _p = {e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ }. Comme det _B

_c

(B _p ) = 1 6= 0, B _p est libre et c’est donc une base puisque on est dans R ² et B _p contient deux vecteurs.

(b) P = 1 1 1 2

! .

(c) P ⁻¹ = 2 -1 -1 1

!

.

FPS-SMPC-S2

(d) A ⁰ = 0 0 0 1

!

= P ⁻¹ AP.

3. On a ˙ X = AX = P A ⁰ P ⁻¹ X. Donc P ⁻¹ X ˙ = A ⁰ P ⁻¹ X. On pose Y = P ⁻¹ X = y ₁ y ₂

! .

On voit que y 1 = c 1 ∈ R et y 2 = c 2 e ^t avec c 2 ∈ R . Maintenant, en utilisant la matrice de passage P on trouve x(t) = c 1 + c 2 e ^t et y(t) = c 1 + 2c 2 e ^t . Apr` es quoi on tient compte de la condition initiale et on trouve c 1 = 0 et c 2 = 1. D’o` u

x(t) = e ^t , y(t) = 2e ^t .

S. Rattrapage 2017/18

1. (2pts) On a :

AX =







 3 2 1









⇐⇒









3 1 −1

−1 3 1

0 2 2















 x y z









=







 3 2 1









⇐⇒



 



 



3x + y − z = 3

−x + 3y + z = 2 2y + 2z = 1

⇐⇒



 



 



−x + 3y + z = 2

3x + y − z = 3 L ₂ ↔ L ₁ 2y + 2z = 1

⇐⇒



 



 



−x + 3y + z = 2

10y − 2z = 3 L ₂ ← L ₂ + 3L ₁ 2y + 2z = 1

⇐⇒



 



 



−x + 3y + z = 2 2y + 2z = 1

10y − 2z = 3 L ₃ ↔ L ₂

⇐⇒



 



 



−x + 3y + z = 2 2y + 2z = 1

−12z = 4 L ₃ ↔ L ₃ + 5L ₂

⇐⇒



 

 

 

 

 

 

x = 1 6 y = 5 6 z = − 1

3

2. (2pts) En d´ eveloppant le d´ eterminant de A par rapport ` a la premi` ere colonne, on a

det(A) =

3 1 −1

−1 3 1

0 2 2

= 3

3 1 2 2

+

1 −1 2 2

= 16 6= 0,

donc A est inversible. De plus, on a

A ⁻¹ = 1

det(A) Com ^t (A) = 1 8









2 −2 2

1 3 −1

−1 −3 3









.

FPS-SMPC-S2

3. (2pts) On a A − 2I 3 =









3 1 −1

−1 3 1

0 2 2

















2 0 0 0 2 0 0 0 2









=









1 1 −1

−1 1 1

0 2 0









. On d´ eve- loppe donc le d´ eterminant A − 2I ₃ par rapport ` a la troisi` eme ligne : det(A − 2I ₃ ) =

1 1 −1

−1 1 1

0 2 0

= −2

1 −1

−1 1

= 0. On d´ eduit que A − 2I ₃ n’est pas inversible. De mˆ eme on montre que A − 4I ₃ n’est pas inversible.

4. (2pts) Le polynˆ ome caract´ eristique de A :

P _A (X ) = det(A − XI ₃ ) =

3 − X 1 −1

−1 3 − X 1

0 2 2 − X

(2 − X ) ² (4 − X ).

Donc les valeurs propres de A sont 2et4.

5. (1pt) D´ eterminons la dimension du sous espace propre de A associ´ e ` a la valeurs propre 2. Soit X =







 x y z









∈ M ₃ ( R ), on a :

X ∈ E ₂ (A) ⇐⇒ AX = 2X ⇐⇒ (A − 2I ₃ )X = 0 ⇐⇒









1 1 −1

−1 1 1 0 2 0















 x y z









=







 0 0 0









⇐⇒



 



 



x + y − z = 0

−x + y + z = 0 2y = 0

⇐⇒ y = 0etx = y.

Donc E ₂ (A) = R .







 1 0 1









et dim E ₂ (A) = 1. Or 2 est une valeur propre de A d’ordre de multiplicit´ e 2, alors A n’est pas diagonalisable.

6. Enonc´ ´ e

7. (2pts)

• Soient α, β, γ ∈ R , on a

αu 1 + βu 2 + γu 3 = 0 _R

³

⇐⇒ α(e 1 + e 3 ) + β

2 (e 1 + e 2 ) + γ (e 2 + e 3 ) = 0 _R

³

⇐⇒

α + β 2

e 1 +

β 2 + γ

e 2 + (α + β)e 3 = 0 _R

³

⇐⇒



 

 

 

 

α + β

2 = 0 β

2 + γ = 0 α + γ = 0

⇐⇒ α = β = γ = 0.

Donc B est une famille libre de R ³ et comme card(B) = dim R ³ = 3, alors B est une base de R ³ .

• La matrice de passage de la base B _c ` a la base B : P =









1 1/2 0 0 1/2 1

1 0 1







 . 8. (2pts)

• On a A = Mat _B

_c

=









3 1 −1

−1 3 1 0 2 2









, donc



 



 



f (e 1 ) = 3e 1 − e 2

f (e 2 ) = e 1 + 3e 2 + 2e 3

f (e ₃ ) = −e ₁ + e ₂ + 2e ₃

• On a : f (u ₁ ) = f (e ₁ + e ₂ ) = f (e ₁ ) + f (e ₃ ) = 2e ₁ + 2e ₃ = 2u ₁ , donc u ₁ est un vecteur propre de f associ´ e ` a la valeur propre 2.

• On a : f (u ₃ ) = f (e ₂ + e ₃ ) = f (e ₂ ) + f (e ₃ ) = 4e ₂ + 4e ₃ = 4u ₃ , donc u ₃ est un vecteur propre de f associ´ e ` a la valeur propre 4.

9. (1pt) On a : f (u ₂ ) = 1

2 (f (e ₁ ) + f (e ₂ )) = 2e ₁ + e ₂ + e ₃ = u ₁ + 2u ₂ , donc les coordonn´ ees de f (u ₂ ) dans sont (1, 2, 0).

10. (2pts)

• En vertu des questions pr´ ec´ edente, on a

f (u ₁ ) = 2u ₁ , f (u ₂ ) = u ₁ + 2u ₂ et f (u ₃ ) = 4u ₃ ,

donc A ⁰ = Mat _B (f ) =









2 1 0 0 2 0 0 0 4









.

FPS-SMPC-S2

• A = P A ⁰ P ⁻¹ .

• P ⁻¹ = 1 det(P )

t

Com(P ) =









1/2 −1/2 1/2

1 1 −1

−1/2 1/2 1/2







 .

11. (2pts) A ⁰ X =







 3 2 1









⇐⇒









2 1 0 0 2 0 0 0 4















 x y z









=







 3 2 1









⇐⇒



 



 



2x + y = 3 2y = 2 4z = 1

⇐⇒



 



 



x = 1 y = 1 z = 1/4

12. (2pts) Posons Y =







 3 2 1









. On a

(S) ⇐⇒ AX = Y ⇐⇒ P A ⁰ P ⁻¹ X = Y ⇐⇒ A ⁰ (P ⁻¹ X ) = P ⁻¹ Y ⇐⇒ X =







 1/6

−1/3 5/6









.

SESSIONS 2018-2019

0.1 Enonc´ ´ es

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2018-2019

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` ere : SMC-SMP/S2

Safi Alg` ebre 2

DS Session Normale Dur´ ee 1H30

Exercice 1 Soit B = 0 0 1 1

! .

1. Calculer B ⁿ pour tout n ∈ N (utiliser la recurrence pour n ≥ 1) ; 2. Est-il possible de calculer B ⁿ pour tout n ∈ Z ?

3. R´ esoudre le syst` eme B ³ X = 0 1

!

, X = x y

! .

Exercice 2 On se propose de r´ esoudre, par la m´ ethode de diagonalisation, l’´ equation dif- f´ erentielle suivante :

(E ₀ ) : 2¨ x + 3 ˙ x − 4x = 0 x(0) = −1

˙

x(0) = 1.

FPS-SMPC-S2

1. Trouver la matrice A ∈ M ₂ ( R ) qui exprime l’´ equation (E 0 ) : 2¨ x + 3 ˙ x − 4x = 0.

Ind : Utiliser le changement de variable X = x ˙

x

!

puis trouver A ∈ M ₂ ( R ) telle que X ˙ = AX , poser pour cela A = a b

c d

!

. 2. Montrer que A est diagonalisable.

3. Diagonaliser la matrice A (Vecteurs propres, sous espaces propres, base de vecteurs propres, matrice de passage et formule de changement de base).

4. Trouver la solution de l’´ equation (E ₀ ) (sans utiliser la m´ ethode de l’´ equation caract´ e- ristique, Tenir compte des conditions initiales).

5. En utilisant la matrice A, d´ eterminer le terme g´ en´ eral de chacune des suites r´ ecurrentes (u _n , v _n ) d´ efinies par :



 



 



2u n+1 = −3u _n + 4v n ; v _n+1 = u _n

u ₀ = 1, v ₀ = −1.

Universit´ e Cadi Ayyad A.U. : 2018-2019

Facult´ e poly-disciplinaire Fili` ere : SMPC/S2

Safi Alg` ebre 2

DS : Session de Rattrapage Dur´ ee : 1H30 On note B c = {e ₁ , e 2 , e 3 } la base canonique du R -espace vectoriel R ³ .

Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice par rapport ` a la base B c est :

A = mat B

_c

(f ) =









2 0 1

1 1 1

-2 0 -1







 .

1. Montrer que A n’est pas inversible. En d´ eduire que 0 ∈ Sp(A) (le spectre de A)

2. D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique de A. En d´ eduire les autres valeurs propres de A.

3. D´ eterminer les sous-espaces propres de f. En d´ eduire que A est diagonalisable

4. En d´ eduire une base propre (i.e., base form´ ee par des vecteurs propres) de R ³ qu’on notera par la suite B _p .

5. Donner la nouvelle matrice de f dans B _p qu’on notera A ⁰ i.e., A ⁰ = mat _B

_p

(f ).

6. D´ eterminer la matrice P de passage de la base B _c ` a la base B _p . 7. Donner la formule de changement de base. (Pr´ eciser P ⁻¹ ).

8. Calculer A ²⁰¹⁹ .

9. Par la diagonalisation de A r´ esoudre le syst` eme diff´ erentiel suivant :

(S) :



 

 

 

 

 

 

˙

x(t) = 2x(t) + z(t)

˙

y(t) = x(t) + y(t) + z(t)

˙

z(t) = −2x(t) − z(t)

(x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = (1, 1, 1) .

0.2 Correction : Voir TD