Pour toutes conditions initiales y01, y02, il existe donc une solution locale de l’´equation diff´erentielle dans R2, y′(t) =f t, y(t

Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique LM 383 : Equations diff´erentielles, Ann´ee 2004-2005 M´ethodes de r´esolution num´erique

Corrig´e de l’Examen du 8 Septembre 2005 I

1) La fonction f(t, x) =

−x³₁+x₂

−x³₂+x1

, pour x= x₁

x2

, est de classe C¹ de [0, T]×R² dans R² et ne d´epend pas de t.

Elle est donc localement lipschitzienne enx, uniform´ement ent. Pour toutes conditions initiales y₀₁, y₀₂, il existe donc une solution locale de l’´equation diff´erentielle dans R², y^′(t) =f

t, y(t) .

2)La fonctionU(x) =|x|² est une fonction de Liapounov pour (P). En effet : DU(x)f(t, x) = 2x1(−x³₁+x2) + 2x2(−x³₂+x1),

= −2x⁴₁−2x⁴₂+ 4x₁x₂,

≤ 2(x²₁+x²₂) = 2U(x).

Il existe donc des solutions sur tout compact donc aussi sur [0,+∞) pour toutes conditions initiales.

3) Si y1(t) =y₀₁ ety2(t) =y₀₂ pour toutt, alors on a : y03

1 =y₀₂, y03 2 =y₀₁

dont les seules solutions sont y₀₁ =y₀₂ = 0, y₀₁ =y₀₂ = 1, y₀₁ =y₀₂ =−1.

4)

(P^′)











z₁^′(t) =z1(t)[1−(z₁²(t) + 3z₂²(t))], z₂^′(t) =−z₂(t)[1 + (3z₁²(t) +z²₂(t))]

z1(0) = ^{y0 1+y}₂ ^{0 2} z2(0) = ^{y0 1−y}₂ ^{0 2}.

5) a) Le couple de fonctions (0, z2(t)) tel que z^′₂(t) = −z2(t) [1 +z₂²(t)] et z2(0) donn´e constitue une solution du syst`eme (P^′). Par l’unicit´e de la solu- tion de (P^′), qui est une cons´equence de l’unicit´e des solutions de (P) pour une condition initiale donn´ee, c’est la seule solution de (P^′) et doncz1(t) = 0 pour tout t.

b) Suposons z1(0) > 0. S’il existe t0 tel que z1(t0) = 0, l’argument du a) implique que z1(t) = 0 pour t ≥ t0. Mais en changeant t en t0 − t, cet argument s’applique aussi avant t0 et donc z1(t) = 0 pour t, ce qui est une contradiction. Donc z1(t)>0 pour tout t.

1

c)On raisonne de la mˆeme fa¸con en consid´erant la solution (z1(t),0) de (P^′) avec z₁(0) donn´e .

6) a) Comme [1 + (3z₁²(t) +z₂²(t))] ≥ 1 et z2(t) > 0, on a : z₂^′(t) ≤ −z2(t).

Par le lemme de Gronwall on obtient z2(t)≤z2(0)e^−t etz2(t) tend bien vers 0 quant t→ ∞.

b) On posew2(t) =−z2(t) et le raisonnement avecw2 est le mˆeme que celui de la question a).

c) Si z2(0)>0, alors z2(t)> 0 pour tout t et z₂^′(t) ≤0 pour tout t.Donc la fonction z₂(t) est d´ecroissante. L’autre cas est sym´etrique.

7) a) i) Supposons que pour tout t, z₁(t)≥1 +ε.

Alorsz₁^′(t) =z1(t)[1−(z₁²(t)+3z²₂(t))]≤z1(t)[1−z₁²(t)]≤ −ε(1+ε)(2+ε)<0.

Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis entre 2 temps s > t : z₁(s) =z₁(t) +z₁^′(c)(s−t)≤z₁(t)−ε(1 +ε)(2 +ε)(s−t).

Quand s → ∞, on obtient une contradiction puisque z1(s) devrait rester sup´erieur `a 1+εet tendre vers−∞. Il existe donc bient0tel quez1(t0)≤1+ε.

ii) Supposons alors qu’il existe t₁ > t₀ tel que z₁(t₁) > 1 +ε. Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires implique qu’il existe a ∈ [t0, t1[ tel que z1(a) = 1 +ε. Choisissons le plus grand des a v´erifiant cette propri´et´e. Alors, par le th´eor`eme des accroissements finis, z₁(t₁)−z₁(a) = z₁^′(c)(t₁ −a) et ceci est une contradiction puisque le premier membre est strictement positif et le second est strictement n´egatif car z^′₁(c) < 0 d’apr`es i) . Donc pour t ≥ t0, z₁(t)≤1 +ε.

iii) Supposons z1(t)≤1−ε pour tout t≥T. Alors :

z₁^′(t) =z1(t)[1−(z₁²(t)+3z₂²(t))]≥(1−ε)(2ε−ε²−3ε²) = 2ε(1−ε)(1−2ε)>0.

La suite du raisonnement est la mˆeme en renversant toutes les in´egalit´es.

b) On vient de montrer que pour tout 0 < ε < 1

2, il existe S = sup{t₀, t₁} tel que sit ≥S, 1−ε ≤z1(t)≤1 +ε. Ceci prouve bien que z1(t)→1 quand t → ∞.

8) Le raisonnement de la question 7) s’applique de fa¸con analogue et on montre bien que si z1(0)<0 alors z1(t)→ −1 quand t→ ∞

9) Les questions 5), 6), 7) et 8) impliquent : Si z₁(0) = 0, (z₁(t), z₂(t))→(0,0) quand t→ ∞ Si z1(0)>0, (z1(t), z2(t))→(1,0) quand t→ ∞ Si z1(0)<0, (z1(t), z2(t))→(−1,0) quand t→ ∞

10) On revient `a y<sub>1</sub>(t) = z<sub>1</sub>(t) +z<sub>2</sub>(t), y<sub>2</sub>(t) = z<sub>1</sub>(t) −z<sub>2</sub>(t) et d’apr`es la question 9) :

Si y₀₁ =−y₀₂, alors (y1(t), y2(t))→(0,0) quand t→ ∞.

Si y₀₁ >−y₀₂, alors (y₁(t), y₂(t))→(1,1) quand t→ ∞.

Si y₀₁ <−y₀₂, alors (y1(t), y2(t))→(−1,−1) quandt → ∞.

2

II

1)Sipk etrk sont les polynˆomes d’interpolation associ´es `a f etg respective- ment, aux mˆeme points x0, x1, . . . , xk, on a pk(xi) =f(xi) et rk(xi) =g(xi).

Donc pour tous r´eelsλ, µ,λpk(xi)+µrk(xi) =λf(xi)+µg(xi), doncλpk+µrk

est le polynˆome d’interpolation associ´e `a λf +µg et Lk est bien lin´eaire.

D’autre part, on peut ´ecrire, en reprenant la d´efinition du polynˆome d’inter- polation d’ordreksous forme de Lagrange,pk(x) =Lk(f)(x) =

k

X

i=0

f(xi)li(x).

D’o`u : |pk(x)| ≤

k

X

i=0

|li(x)|

!

||f||, et donc ||pk|| ≤sup

( _k X

i=0

|li(x)|

!

/ x∈[a, b]

)

||f||= Λk||f||.

Donc la norme deLkest bien inf´erieure `a Λk = supn Pk

i=0|li(x)|

| x∈[a, b]o . Pour montrer l’´egalit´e, on utilise la continuit´e de la fonction x7→

k

X

i=0

|li(x)|

sur [a, b], qui entraˆıne l’existence d’un point ξ ∈ [a, b] tel que

k

X

i=0

|li(ξ)| = sup

x∈[a,b]

k

X

i=0

|li(x)| = Λk. Toute fonction f0 telle que f0(xi) = sgn(li(ξ)) et

||f0|| = 1 v´erifie alors : Lk(f0)(ξ) =

k

X

i=0

|li(ξ)| = Λk, ce qui implique bien l’´egalit´e ||Lk||= Λk.

2) a)

li(x) =Y

j6=i

(x−xj)

(xi−xj) =Y

j6=i

(s−j)

(i−j) = (−1)^k−is(s−1)· · ·(s\−i). . .(s−k)

i!(k−i)! ,

o`u (s\−i) d´esigne un facteur omis.

b) Pour s= 1

2, il vient

|li(a+h 2)|=

1 2 1 2 3

2. . .(i\− ¹₂). . .(k− ¹₂)

i!(k−i)! ≥ 1

4

1.2. . .(i\−1). . .(k−1)

i!(k−i)! ≥ 1

4k² k!

i!(k−i)!.

3

On en d´eduit :

Λk≥

k

X

i=0

|li(a+ h

2)| ≥ 1 4k²

k

X

i=0

C_kⁱ = 1 4k²2^k.

c)Pour l’autre in´egalit´e, on ´ecrit, pour s ∈[l, l+ 1] , 0≤l ≤k :

|li(a+sh)| ≤ (k−l)!(l+ 1)!

i!(k−i)! ≤ k!

i!(k−i)!. D’o`u

Λk = sup ( _k

X

i=0

|li(a+sh)|/ s∈[l, l+ 1] , 0≤l≤k )

≤

k

X

i=0

C_kⁱ = 2^k.

4