Transformer l’´equation (1) en une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 dansR2

Universit´e Joseph Fourier L2 MAT233

2012-2013

Exercice pour r´eviser l’examen Premi`ere partie

Dans cette partie, on consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante :

x⁰⁰(t) +ax(t) = 0, (1)

o`u aest un nombre positif. On d´esigne parf :R→Rune solution de cette ´equation.

1. Transformer l’´equation (1) en une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 dansR². 2. Montrer que, sif(0) =f⁰(0) = 0, alorsf(t) = 0 pour toutt∈R. ´Enoncer le r´esultat

du cours que vous utilisez.

3. On suppose que f n’est pas identiquement nulle et que f(0) = 0. Montrer qu’il n’existe pas une suite de points de z´ero non-nuls de f qui converge vers 0.

4. On suppose que α < β sont deux points de z´ero cons´ecutifs de f. Montrer que f⁰(α)f⁰(β)60.

5. Montrer quet7→cos(√

at) est une solution de (1).

6. Trouver une autre solution de l’´equation (1).

7. D´eterminer l’ensemble des solution de l’´equation (1).

Deuxi`eme partie

Pour toute fonctionf `a valeurs r´eelles de classeC²d´efinie sur un ouvertU du plan R², on d´esigne par ∆f lelaplacien def, d´efini comme :

∆f(x, y) = ∂²f

∂x²f(x, y) +∂²f

∂y²f(x, y).

On dit que la fonctionf est harmonique si ∆f = 0.

8. Montrer que les fonctions constantes surR²sont harmoniques.

9. Soientf etgdeux fonctions de classeC² d´efinies sur un ouvertU deR² qui v´erifie l’´equation de Cauchy-Riemann

(∂f /∂x=∂g/∂y,

∂f /∂y=−∂g/∂x.

Montrer quef etg sont tous les deux harmoniques.

10. Soit f une fonction de classe C² sur R². On suppose que (x0, y0) ∈ R² est un maximum local def. Montrer que ∆(f)(x0, y0)60.

11. Soit f une fonction hamonique. Montrer que, pour tout b > 0, la fonction g : (x, y)7→f(x, y) +b(x²+y²) n’a pas de maximum local.

Dans la suite, on fixe une fonction f d´efinie sur R² qui est harmonique. Pour tout r >0, soient

Ar:={(x, y)∈R² : max(|x|,|y|)6r} et Lr:={(x, y)∈R² : max(|x|,|y|) =r}.

On d´esigne parγr: [0,8r]→R²la courbe param´etr´ee telle que

γr(t) =











(r, t−r), t∈[0,2r], (3r−t, r), t∈[2r,4r], (−r,5r−t), t∈[4r,6r], (t−7r,−r), t∈[6r,8r].

12. D´essiner la courbe param´etr´eeγr.

13. Montre que, sih:R²→Rest une fonction de classeC¹, alors on a Z 4r

2r

h(γr(t)) dt− Z 8r

6r

h(γr(t)) dt= Z

A_r

∂h

∂y(x, y) d(x, y), Z 2r

0

h(γr(t)) dt− Z 6r

4r

h(γr(t)) dt= Z

Ar

∂h

∂x(x, y) d(x, y).

On peut par exemple transformer l’int´egrale double en des int´egrales successives.

14. Soitφf :R²→R² l’application d´efinie comme (x, y)7→(−∂f /∂y, ∂f /∂x). Montrer que

Z 8r 0

hφf(γr(t)), γ_r⁰(t)idt= 0.