Exercice 1 On se propose d’int´ egrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans ]0, ∞[ l’´ equation diff´ erentielle :

Universit´ e de Lorraine UFR MIM

Calculs et math´ ematiques - L1 2013/2014

Feuille d’exercices n

5 Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 1 On se propose d’int´ egrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans ]0, ∞[ l’´ equation diff´ erentielle :

(E) y

(x) − y(x)

x − y(x)

= −9x

.

1. D´ eterminer a ∈]0, ∞[ tel que y(x) = ax soit une solution particuli` ere y

de (E).

2. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x) = y

(x) −

transforme l’´ equation (E) en l’´ equation diff´ erentielle

(E1) z

(x) + (6x + 1

x )z(x) = 1.

3. Int´ egrer (E1) sur ]0, ∞[.

4. Donner toutes les solutions de (E) d´ efinies sur ]0, ∞[.

Exercice 2 R´ esoudre l’´ equation suivante :

y

− 3y

+ 2y = e

. Exercice 3 R´ esoudre l’´ equation suivante :

y

− y = −6 cos x + 2x sin x.

Exercice 4 R´ esoudre l’´ equation suivante :

4y

+ 4y

+ 5y = sin xe

. Exercice 5 On consid` ere l’´ equation :

y

+ 2y

+ 4y = xe

(E)

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle homog` ene associ´ ee ` a (E).

2. Trouver une solution particuli` ere de (E ) (expliquer votre d´ emarche), puis donner

l’ensemble de toutes les solutions de (E).

3. D´ eterminer l’unique solution h de (E) v´ erifiant h(0) = 1 et h(1) = 0.

4. Soit f :]0, ∞[−→ R une fonction deux fois d´ erivable sur ]0, ∞[ et qui v´ erifie : t

f

(t) + 3tf

(t) + 4f (t) = t log t.

(a) On pose g(x) = f (e

), v´ erifier que g est solution de (E).

(b) En d´ eduire une expression de f .

Exercice 6 On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle suivante : (E.D.) y

− 4y

+ 4y = d(x), o` u d est une fonction qui sera pr´ ecis´ ee plus loin.

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle homog` ene (ou sans second membre) associ´ ee ` a (E.D.).

2. Trouver une solution particuli` ere de (E.D.) lorsque d(x) = e

et lorsque d(x) = e

respectivement.

3. Donner la forme g´ en´ erale des solutions de (E.D) lorsque d(x) = e

+ e

4 .

Exercice 7 R´ esoudre : y

(x) + 2y

(x) + y(x) = 2x cos x cosh x.

Exercice 8 D´ eterminer les f ∈ C

( R , R ) telles que :

∀x ∈ R , f

(x) + f (−x) = x cos x.

Exercice 9 En posant t = arctan x, r´ esoudre : y

(x) + 2x

1 + x

y

(x) + y(x)

(1 + x

)

= 0.

Exercice 10 R´ esoudre par le changement de fonction z =

l’´ equation diff´ erentielle :

x

(x) − 2xy

(x) + (2 − x

)y(x) = 0.