I.1. a. Sur l’ensemble ]0, + ∞ [, l’´equation (E) est ´equivalente `a : y ′′ = − a

SP´ ECIALE MP* : CORRIG´ E DU DEVOIR LIBRE

EQUATIONS DIFF´ ´ ERENTIELLES DU TYPE DE FUCHS Partie I

I.1. a. Sur l’ensemble ]0, + ∞ [, l’´equation (E) est ´equivalente `a : y ^′′ = − a

x y ^′ − b x ² y soit X ^′ = AX en posant X =

y y ^′

et A =

0 1

− b/x ² − a/x

. On peut donc appliquer le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz lin´eaire et conclure que l’ensemble des solutions de (E) sur ]0, + ∞ [ est un sous-espace de dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions r´eelles de classe C ² sur ]0, + ∞ [.

b. Si Φ de ]0, + ∞ [ dans C est une solution complexe de (E) alors, comme a et b sont des r´eels, ℜ Φ et ℑ Φ sont des solutions r´eelles de (E) et on a bien sˆ ur ´equivalence.

Si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux solutions r´eelles de (E) lin´eairement ind´ependantes, alors Φ est une solution complexe de (E) ssi

∃ (α, β) ∈ R ² , ∃ (α ^′ , β ^′ ) ∈ R ² |

( ℜ (Φ) = αϕ 1 + βϕ 2

ℑ (Φ) = α ^′ ϕ ₁ + β ^′ ϕ ₂ ce qui s’´ecrit encore

Φ = (α + iα ^′ )ϕ 1 + (β + iβ ^′ )ϕ 1

Conclusion : l’ensemble des solutions complexes de (E) sur ]0, + ∞ [ est un espace vectoriel engendr´e par les solutions r´eelles ϕ 1 et ϕ 2 . ϕ 1 et ϕ 2 ´etant ind´ependantes sur C , on peut dire que cet ensemble est un espace vectoriel complexe de dimension 2.

I.2. En fait, on pr´epare ici la partie II. On peut se contenter d’´enoncer la r´eponse :

• Si l’´equation T (x) = x ² + (a − 1)x + b = 0 admet deux solutions distinctes n ₁ et n ₂ dans N alors toutes les solutions de (E) sont polynomiales et s’´ecrivent

ϕ(x) = λx ⁿ

+ µx ⁿ

• Si T (x) = 0 n’a qu’une seule solution enti`ere n alors l’ensemble des solutions polyno- miales est un espace vectoriel de dimension 1 et ses ´el´ements s’´ecrivent

ϕ(x) = λx ⁿ

• Enfin, si T (x) = 0 n’a pas de solution dans N alors (E) n’a pas de solution polynomiale.

I.3. On reconnaˆıt en fait une ´equation d’Euler. Avec le changement de variable pr´econis´e, on obtient l’´equation (E 2 ) :

(E 2 ) d ² z

dt ² + (a − 1) dz

dt + bz = 0 ce qui permet de r´esoudre l’´equation (E) sur ]0, + ∞ [ :

• Si (a − 1) ² − 4b > 0 et si r 1 , r 2 sont les racines r´eelles distinctes de T (x) = 0 alors les solutions r´eelles de (E) s’´ecrivent :

ϕ(x) = λx ^r

+ µx ^r

.

1

• Si (a − 1) ² − 4b = 0 et si r est la racine r´eelle double de T (x) = 0 alors les solutions r´eelles de (E) s’´ecrivent :

ϕ(x) = (λ ln x + µ)x ^r .

• Enfin, si (a − 1) ² − 4b < 0 et si r = α ± iβ sont les racines complexes conjugu´ees distinctes de T (x) = 0 alors les solutions r´eelles de (E) s’´ecrivent :

ϕ(x) = [λ cos(β ln x) + µ sin(β ln x)]x ^α . Partie II

II.1. a. Soit r un r´eel positif strictement inf´erieur `a R et au rayon de convergence de la s´erie c(x). Sur l’intervalle ]0, r[ on peut ´ecrire

y ^′ = x ^k c ^′ (x) + kx ^k−1 c(x) =

+∞

X

n=0

(n + k)c _n x ^n+k−1 ,

y ^′′ = x ^k c ^′′ (x) + 2kx ^{k − 1} c ^′ (x) + k(k − 1)x ^{k − 1} c(x) =

+ ∞

X

n=0

(n + k)(n + k − 1)c n x ^{n+k − 2} . On divise par x ^k et on fait le produit de Cauchy des s´eries rencontr´ees dans l’expression de (E) et, grˆace `a l’unicit´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere, on obtient les relations (R) [(n + k)(n + k − 1) + (n + k)a 0 + b 0 ]c n +

n − 1

X

m=0

[(m + k)a n−m + b n−m ]c m = 0 pour n ∈ N (on a pris la convention

− 1

P

m=0

α m = 0).

En examinant la relation obtenue lorsque n = 0 on voit que n´ecessairement k doit v´erifier l’´equation du second degr´e suivante :

k(k − 1) + ka 0 + b 0 = T (k) = 0.

b. La suite de relations demand´ee se d´eduit des relations (R) en rempla¸cant k par une solution de T (x) = 0 et en prenant n dans N ^∗ d’o` u

(P) [n(n + 2k − 1 + a ₀ )c _n +

n−1

X

m=0

[(m + k)a _n − m + b _n − m ]c _m = 0 pour n ∈ N .

II.2. a. Si T (x) ne s’annule pas pour une valeur enti`ere alors le coefficient de c n dans les relations (P) (qui s’´ecrit T (n + k)) ne s’annulera jamais :

en effet, comme T (k) = 0 et comme la diff´erence des solutions de T (x) = 0 n’est pas enti`ere (elle vaut ± √

∆), alors T (n + k) 6 = 0 pour n ^> 1.

Comme le coefficient de c n ne s’annule jamais, pour chaque n ∈ N ^∗ , les relations (P) permettent de d´eterminer c n de mani`ere unique.

b. Ici les deux racines de T (x) = 0 sont r´eelles et valent k et p + k avec k = 1 − a 0 − p

2 .

Pour n ∈ [1, p − 1], c n est d´efini de mani`ere unique par les relations (P) et, lorsque n = p, on a n´ecessairement la relation :

(L)

p − 1

X

m=0

[(m + k)a n−m + b n−m ]c m = 0.

R´eciproquement, si la relation (L) est v´erifi´ee alors les relations (P) fournissent des

solutions.

En prenant k ^′ = k + p et c ^′ ₀ = 1, les relations (P) nous donnent une seule solution ind´ependamment de la relation (L).

II.3. a. Dans tous les cas, les suites d´efinies `a la question pr´ec´edente v´erifient la relation (P).

On prend alors les modules et on utilise l’in´egalit´e triangulaire :

| [n(n + 2k − 1 + a ₀ )c _n | =

n − 1

X

m=0

[(m + k)a _n − m + b _n − m ]c _m

6

n − 1

X

m=0

[(m + k)a _n − m + b _n − m ] | c _m | soit

n | n + 2k + a 0 − 1 | d n 6

n − 1

X

m=0

d m ( | b n − m | + | k + m | . | a n − m | ) pour tout entier sup´erieur ou ´egal `a 1.

b. On sait d´ej`a que les s´eries ⁺

∞

P

n=0 | a n | δ ⁿ et ⁺

∞

P

n=0 | b n | δ ⁿ sont convergentes. On appelle res- pectivement A et B leurs sommes.

Grˆace `a l’in´egalit´e du a, on peut ´ecrire n | n + 2k + a ₀ − 1 | d _n ⁶

n − 1

X

m=0

d _m ( | b _n − m | + ( | k | + | m | ) | a _n − m | ) et, en multipliant cette in´egalit´e par δ ⁿ , on obtient :

n | n + 2k + a ₀ − 1 | d _n δ ^{n 6}

n−1

X

m=0

d _m δ ^m ( | b _n − m | δ ^{n − m} + ( | k | + | m | ) | a _n − m | δ ^{n − m} )

6 [(n + | k | )A + B] sup

m ∈ [0,n − 1]

d m δ ^m .

On divise les deux membres de cette derni`ere in´egalit´e par n | n + 2k + a 0 − 1 | (lorsque ce terme est non nul). Comme (n + | k | )A + B

n | n + 2k + a 0 − 1 | → 0 quand n → + ∞ , on pourra trouver un entier n 0 > 1 tel que

n + 2k + a ₀ − 1 6 = 0 et (n + | k | )A + B n | n + 2k + a 0 − 1 | ⁶ 1 pour tout n ^> n ₀ . On aura donc le r´esultat annonc´e

(I) d n δ ^{n 6} sup

m ∈ [0,n − 1]

(d m δ ^m ).

II.4. a. De l’in´egalit´e (I) on peut d´eduire que d n δ ^{n 6} sup

m ∈ [0,n

− 1]

(d m δ ^m ) pour n ^> n 0 . En effet

d n

+1 δ ⁿ

^{+1 6} max sup

m∈[0,n

−1]

(d m δ ^m ), d n

δ ⁿ

!

6 sup

m ∈ [0,n

− 1]

(d m δ ^m )

et, par r´ecurrence sur k, on obtient d _n

+k δ ⁿ

^{+k 6} sup

m ∈ [0,n

− 1]

(d _m δ ^m ).

La suite (d n δ ⁿ ) est born´ee et, grˆace au lemme d’Abel, on sait que la s´erie

+∞

P

n=0

c n x ⁿ a un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a δ. Ceci ´etant vrai pour tout δ < R, on peut affirmer que le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere est ^> R.

Conclusion : la fonction y = c(x)x ^k est solution de (F) sur ]0, R[.

b. Question de synth`ese.

On distingue les cas suivants :

• Si (a 0 − 1) ² − 4b 0 n’est pas le carr´e d’un entier naturel alors (C) admet deux racines complexes distinctes k 1 , k 2 . Les fonctions y 1 (x) = c 1 (x)x ^k

et y 2 (x) = c 2 (x)x ^k

sont solutions de (F) et elles sont lin´eairement ind´ependantes, elles forment par cons´equent une base de l’ensemble des solutions de (F) sur ]0, R[.

• Si (a 0 − 1) ² − 4b 0 = p ² o` u p ∈ N ^∗ posons k 1 = 1 − a 0 − p

2 et k 2 = 1 − a 0 + p

2 =

k 1 + p. La fonction y 2 (x) = c 2 (x)x ^k

est solution de (F) sur ]0, R[.

– Si la relation (L) est v´erifi´ee, on pourra obtenir une deuxi`eme solution y 1 (x) = c 1 (x)x ^k

en prenant par exemple c p = 0. Les fonctions y 1 et y 2

sont lin´eairement ind´ependantes, elles forment par cons´equent une base de l’ensemble des solutions de (F) sur ]0, R[.

– Si la relation (L) n’est pas v´erifi´ee on ne peut pas conclure de cette fa¸con.

On utilise la m´ethode de variation de la constante en cherchant les solutions sous la forme y = λy 2 . On obtient alors (cf. cours)

λ ^′ (x) = K exp

− R x R/2

a(t) t dt y ₂ ² . Or a(x)

x = a ₀

x + a ₁ (x) o` u a <sub>1</sub> est une s´erie enti`ere de rayon de convergence

> R d’o` u exp

− Z x

R/2

a(t) t dt

= 1 x ^a

exp

− Z x

R/2

a 1 (t) dt

= a 2 (x) x ^a

o` u a 2 est une s´erie enti`ere de rayon de convergence ^> R (on utilise ici un th´eor`eme hors programme concernant la composition des s´eries enti`eres).

On a donc

λ ^′ (x) = K a 2 (x)

c 2 (x) ² x ^{− 2k}

^{− a}

= Kα(x)x ^{− 2k}

^{− a}

o` u α(x) est aussi une s´erie enti`ere de rayon de convergence R 1 > 0 (on utilise ici aussi un th´eor`eme hors programme concernant la division des s´eries enti`eres).

Comme − 2k 2 − a 0 = − 1 − p < 0 on peut poursuivre et ´ecrire λ ^′ (x) = α ₀

x ^p+1 + · · · + α _p

x + α p+1 + · · · + α n+p+1 x ⁿ + · · ·

et, en int´egrant terme `a terme sur ] − R 1 , R 1 [ (ce qui est licite car la s´erie enti`ere

+∞

X

n=0

α n+p+1 x ⁿ a un rayon de convergence R 1 ) on obtient finalement

λ(x) = β(x)

x ^p + α p ln x

o` u β est une s´erie enti`ere de rayon de convergence R ₁ ce qui donne une autre solution :

y 1 (x) = λy 2 = x ^k

β(x) + α p x ^k

c 2 (x) ln x.

Conclusion : (y ₁ , y ₂ ) forme une base de l’ensemble des solutions sur ]0, R ₁ [ avec R 1 < R.

• Si (a 0 − 1) ² − 4b 0 = 0 alors il existe une seule solution y 2 (x) = c(x)x ^k , le raisonnement fait ci-dessus s’applique en prenant p = 0, k 1 = k 2 = k.

Conclusion g´en´erale : on a prouv´e le th´eor`eme de Fuchs qui pr´ecise les solutions de l’´equation (F) (ce r´esultat est `a rapprocher du r´esultat trouv´e `a la fin du I).

Partie III

III.1. a. On suppose ici que a 1 < a 2 < . . . < a p et en plus que ε < a i+1 − a i pour i ⁶ p − 1.

Comme P (x) ne s’annule pas sur ]a i , a i + ε[, l’ensemble des solutions de (Φ) sur ]a i , a i + ε[ est un espace vectoriel de dimension 2.

On pose alors t = x − a i , z(t) = y(t + a i ) et P i (x) = P (x) x − x i

. En rempla¸cant dans l’´equation (Φ) x par t et y par z, en divisant la relation obtenue par P i (t + a i ) ² , on arrive `a l’´equation

(F _i ) t ² . d ² z

dt ² + t.A i (t). dz

dt + B i (t).z = 0 o` u A i (t) = Q(t + a i )

P _i (t + a _i ) et B i (t) = R(t + a i )

P _i (t + a _i ) ² sont bien des fractions rationnelles.

La r´eciproque est ´evidente ce qui assure l’´equivalence.

b. Ceci est un r´esultat classique : une fraction rationnelle F qui n’a pas de pˆole dans le disque D(0, R) admet un d´eveloppement en s´erie enti`ere sur ce mˆeme disque.

En effet, on d´ecompose la fraction rationnelle F en ´el´ements simples sur C : F (x) = E(x) +

p

X

h=1 q

X

k=1

a hk

(x − z h ) ^k (o` u E d´esigne la partie enti`ere) puis on ´ecrit 1

(x − z h ) ^k = ( − 1) ^k z ^k _h

1

(1 − t) ^k o` u t = x z h

(ceci est possible car z h 6 = 0). | t | < 1 donc cette derni`ere fonction est d´eveloppable en s´erie enti`ere (par exemple en faisant une r´ecurrence sur k avec le produit de convolu- tion).

On peut appliquer ce r´esultat `a A i et B i car 0 n’est pas pˆole de A et B. On prendra pour R i le plus petit rayon de convergence rencontr´e.

Remarque : en fait ici la preuve est tr`es simple pour A qui n’admet que des pˆoles simples.

c. On remarque que a 0 = Q(a i )

P i (a i ) = Q(a i )

P ^′ (a i ) (r´esultat sur la d´ecomposition des fractions rationnelles). Comme la somme des racines de l’´equation k ² + (a ₀ − 1)k + b ₀ = 0 vaut 1 − a 0 alors la somme des deux valeurs caract´eristiques en a i vaut 1 − Q(a i )

P ^′ (a _i ) .

III.2. a. On sait d´ej`a que P ne s’annule pas sur ]S, + ∞ [ et donc l’espace vectoriel des solutions de (Φ) sur ]S, + ∞ [ est de dimension 2.

En prenant la convention 1

S = + ∞ si S = 0 et en posant z(t) = y(1/t) alors t varie

dans ]0, 1/S[. Apr`es des calculs ´el´ementaires, l’´equation (Φ) devient

( ˜ Φ) t ² . d ² z

dt ² +

2t − Q(1/t) P (1/t)

dz

dt + R(1/t)

t ² P (1/t) ² z = 0.

On posera donc ˜ A(t) = 2 − Q(1/t)

tP (1/t) et ˜ B(t) = R(1/t)

t ² P (1/t) ² qui sont bien des fractions rationnelles.

b. On sait (question III.1.b) que ˜ A et ˜ B sont d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0 ssi elles n’admettent pas 0 comme pˆole. On pourra ´ecrire que P (1/t) = P 1 (t)

t ^p (p est le degr´e de P ), Q(1/t) = Q 1 (t)

t ^q et R(1/t) = R 1 (t)

t ^r , P ₁ (0), Q ₁ (0) et R ₁ (0) n’´etant pas nuls. On obtient ais´ement les conditions

q + 1 − p ⁶ 0 et r + 2 − 2p ⁶ 0 soit encore

max(deg(Q), deg(R)

2 ) ⁶ deg(P ) − 1.

c. On a alors







A(0) = 2 ˜ si q + 1 − p < 0 A(0) = 2 ˜ − Q 1 (0)

P 1 (0) si q + 1 − p = 0 . Or P 1 (0) = 1 et comme la somme des valeurs caract´eristiques `a l’infini de (Φ) vaut 1 − A(0) alors la somme des valeurs ˜ caract´eristiques `a l’infini de l’´equation (Φ) est ´egale `a

( − 1 si q + 1 − p < 0 Q ₁ (0) − 1 si q + 1 − p = 0 . III.3. Soit S 1 la somme des valeurs caract´eristiques de (Φ) alors

S ₁ =



 



 



p

P

i=1

1 − Q(a i ) P ^′ (a i )

− 1 si q + 1 − p < 0

p

P

i=1

1 − Q(a i ) P ^′ (a i )

− 1 + Q 1 (0) si q + 1 − p = 0.

Mais, vu que P n’a que des racines simples et que q ⁶ p − 1, la d´ecomposition de la fraction rationnelle Q

P s’´ecrit Q(x) P (x) =

p

X

i=1

Q(a _i ) P ^′ (a i )

1 x − a i

mˆeme si Q

P n’est pas irr´eductible.

On utilise alors l’argument qui consiste `a multiplier par x et `a faire tendre x vers l’infini :

p

X

i=1

Q(a _i )

P ^′ (a i ) = lim

x → + ∞

xQ(x) P (x) =

( 0 si q + 1 − p < 0 Q 1 (0) si q + 1 − p = 0 et, dans tous les cas, on obtient

S 1 = p − 1.

III.4. • En 0 on a a 0 = 1 = Q(0)

P ^′ (0) et b 0 = 0 = R(0) P ^′ (0) ² .

• En 1 on a a 0 = 1 = Q(1)

P ^′ (1) et b 0 = 0 = R(1)

P ^′ (1) ² .

• En + ∞ , comme la somme des valeurs caract´eristiques vaut 1, on a q = p − 1, leur produit ´etant nul, on a n´ecessairement r + 2 − 2p = 0 soit r = 2.

Les deux premi`eres conditions se traduisent par Q(0) = − 1 et Q(1) = 1 soit Q(x) = 2x − 1 et R(0) = R(1) = 0 soit R(x) = λx(x − 1).

En utilisant alors le produit des valeurs caract´eristiques `a l’infini, on trouve R(x) = x(x − 1)

4 .

III.5. L’´equation diff´erentielle obtenue au 4. s’´ecrit donc x ² (x − 1) ² d ² y

dx ² + x(x − 1)(2x − 1) dy

dx + x(x − 1) 4 y = 0 ce qui s’´ecrit encore

d dx

x(x − 1) dy dx

+ 1 4 y = 0.

En revenant au 1 avec a 1 = 1 on trouve l’´equation diff´erentielle t(1 + t) d ² z

dt ² + (1 + 2t) dz dt + 1

4 z = 0 et, en ´ecrivant les D.S.E. :

(R) (n + 1) ² c n+1 = −

n + 1

2 2

c n

avec c 0 = 1, c 1 = − 1

4 . En r´esolvant la r´ecurrence, on obtient c _n = ( − 1) ⁿ

(2n)!

(2 ⁿ n!) ² 2

. On v´erifie `a partir de (R) que la s´erie ⁺

∞

P

n=0

c n x ⁿ a un rayon de convergence ´egal `a 1.

Conclusion :

f (x) =

+∞

X

n=0

( − 1) ⁿ

(2n)!

(2 ⁿ n!) ² 2

(x − 1) ⁿ donne une solution de (Φ ^′ ) sur ]0, 2[.

Soit g l’unique solution de (Φ ^′ ) sur ]1, + ∞ [ v´erifiant les conditions initiales g (1.5) = f (1.5), g ^′ (1.5) = f ^′ (1.5). Grˆace au th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz on sait que f (x) = g(x) sur ]1, 2[, on peut alors d´efinir la fonction h sur ]0, + ∞ [ par

h(x) =

( f (x) sur ]0, 2[

g(x) sur ]1, + ∞ [

qui est une solution de (Φ ^′ ) sur ]0, + ∞ [.