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D I ~ M O N S T R A T I O N D U T H I ~ 0 R E M E F O N D A M E N T A L D E G A L 0 1 S D A N S L A T H I ~ 0 R I E D E L A R I ~ S O L U T I O N A L G I ~ B I I I O U E D E S I ~ 0 U A T I O N S

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Academic year: 2022

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297

D I ~ M O N S T R A T I O N DU THI~0REME F O N D A M E N T A L DE GAL01S DANS LA THI~0RIE

DE LA RI~SOLUTION ALGI~BIIIOUE DES I~0UATIONS

P A I ~

J. T. S O D E R B E R G

~ U P S A L A .

1. Dans les quelques pages suivantes je me propose de prSsenter une demonstration nouvelle et tr6s simple de l ' i m p o r t a n t thdor6me de GALOlS sur l'existenee d u groupe de substitutions appel6 9roupe d'une

~quation al.qdbrique. Elle a dr6 p u b l i d e ' e n su6dois dans m a th&e inaugu- rale Deduktion af n6dvdndiga och tillr(icMiqa vilkoret four m(Ol~qheten af al- gebraiska eqvationers solution reed radikaler, U p s a l a U n i v e r s i t e t s A r s -

s k r i f t , I886. J e la prdsente iei avee de ldg6res modifications.

~. Avant d'en c o m m e n c e r l'exposition nous aurons h. nous ex- pliquer sur le sens p a r t i e u l i e r que nous attribuerons h eertaines expres- sions. Nous eonviendrons de regarder, avee GALOlS, c o m m e rationnelle toute quantit6 qui pent s'exprimer par une fonetion rationnelle a u x coefficients e o m m e n s u r a b l e s g l'unit6 de eertaines quantitds donn&'s k priori et que nous regarderons e o m m e connues. P o u r qu'une fonction soit appelde rationnelle nous entendrons que t o u s l e s coefficients en soient rationnelles.

Si une fonetion r a t i o n n e l l e des quantit6s

X O ~ ~1 ,~ • • ' ~ ~ n - - I

reste i n w M a b l e par les substitutions d'un certain groupe, mdme en sup-

A c t a m a t h e m a t i e a . 11. I m p r i m 6 le 2 Mai 1888. ~

(2)

298 J . T . S~derberg.

posant :~:o, ~ , . . . , :r,,_, des variables ind6pendantes, nous dirons que la forme de la fonction reste invariable par ces substitutions. Et nous di- stinguerons soigneusenlent ce cas de l'autre, off,

~J~0 ~ 'q~l , " • • ~ X n - - I

~tant les racines d'une 6quation donn6e

x" + p l x "-~ + p~x "-~ + . . . + p , _ ~ x + p , = o

coefficients rationnels, ce n'est ~tue la valeur de la fonction qui reste invariable par certaines substitutions.

3. En partant des propositions 6tablies par LAGRANGE dans son c6- l~bre M6moire Rdflexions sur la @solution algdbrique des dquations, Section IV, il est facile d'dtablir le th6or6me suivant:

Si y e t V sont deux fonctions rationnelles des racines xo, ~1, . . . . :r,_~

d'une dq~atiun algdbrique donnde, et que la valeur de y reste invariable p a r routes les substitutions qui ne changent pas la valeur de V, la fonction y peut s'exprimer en fonction rationnelle de V.

En effet, LAGRA~OE a d6montr6 la proposition suivante:

Si z et V sont deux fonctions rationnelles des racb~es x o , x l . . . . , .%,._~

d u n e dquation al.qdbrique, si I , s, , . . . , s~_ ~ sont les substitutions qui qie chan qent pas la forme de la fonction V, si les m~mes substitutions laissent aussi invariable la fi~rme de la fonction z, si enfin I , a~, . . . . (7,_~ sont des substitutions tellement choisies que le tableau

I~ 8 1 , 8 2 , . . . , Sk__ 1 ;

( 7 1 ~ 81 ( 7 I t 8 2 ( 7 1 t " " " "J ' q k - 1 ( 7 1 'P

. . . . . , . . . . . . . , . , .

O ' i - - 1 ~ 8 1 ( 7 / - - 1 ~ 8 2 ( 7 / - - 1 . . . . ~ "Qk--l(Ti--1

donne l(mles les sub.~li/,[ioT~s diff(',ren/es qul ne cha~ge'~t pas la valeur tie V,

(3)

Dgmonstration du th6orSme fondamental de Galois. 299

la mc~yenne arithmdtique des fonctions qui rdsultent de z en faisant les sub- stitutions i , a~ . . . . , a~_~, sera exprimable en fonction rationnelle de V.

Or, il est facile de s'assurer que notre proposition est une cons6quence imm6diate de celle de LAGaAI~GE. D'abord, la m o y e n n e arithm6tique des fonctions qu'on obtient de y par les substitutions I , Sl, . . . , sk__~, est une fonction nouvelle z, dont la forme reste invariable par ces substitutions.

De plus, si l'on forme la m o y e n n e arithm6tique des fonctions % s u l t a n t de z par les substitutions i , ~ . . . . , ~__~, on aura le mOne r6sultat qu'en prenant la m o y e n n e arithm~tique de routes les fonctions qui s'ob- tiennent de y en faisant les substitutions du t a b l e a u ci-dessus. Mais il suit de notre hypottiSse que toutes ces fonctions, et par cons6quent leur lnoyenne arithm6tique, sont 6gales ~ y. Done, en a p p l i q u a n t ~ la fonetion z le th6o%me de LAGI~A~GE, on volt que y s'exprime en fonction ration- helle de V.

c. q. f. d.

4. Supposons que

soient toutes les formes diff6rentes dont la v a l e u r est 6gale k la v a l e u r donn6e V 0 qu'on puisse faire acqu6rir '~ la fonction V en faisant toutes les substitutions possibles. Consid6rons toutes les substitutions dont l'effet est de r e m p l a c e r le systgme des formes

Vo, V , , . . . , E _ l

par un autre qui ne contient pas de f o r m c n o u v e l l e ; il est 6vident que ces substitutions f o r m e n t un groupe. Nous dirons que ce groupe appar- tient k la v a l e u r V 0 de la fonction V. Les substitutions de ce g r o u p e sont, par cons6quent, celles qui laissent invariable la w d e u r de chacune des fonctions

Vo , V, , . . . ,

II est facile m a i n t e n a n t de modifier la proposition cit6e plus h a u t de la m a m e r e suivante ~

S i y est une fonction rationnelle des racines Xo, x ~ , . . . , x,,_l dont la valeur n'est pas changde par les sab~titutions du groupe appartenant ('tune

(4)

300 J . T . SSderberg.

valeur donnde de la fonction V, on peut exprimer y e n fonction ration- helle de V.

En effet, on peut choisir les quantit4s rationnelles k0 ,

kl,

. . . , k~_l

de mani6re qua la v a l e u r de la fonction

Q = i,,0 v0 + z;, v, + . . . + k , _ ~ 5 _ ,

ne reste invariable qua par les substitutions qui laissent invariable la v a l e u r de chacune des fonctions V0, V ~ , . . . , V~_~. Done y est fonetion rationnelle de Q et, par cons6quent, de V, puisque toutes les fonctions

V0, V ~ , . . . , V~_ 4 ont la m~me v a l e u r V.

5. A v a n t d'abordcr la d6monstration du th~orfme f o n d a m e n t a l de GALOIS, nous 6tablirons encore le point suivant. Admettons que U et V soient les valeurs donndes de d e u x fonetions rationnelles des raeines x0, x ~ , . . . , x,,_t I1 est facile alors de f o r m e r une autre fonetion ra- tionnelle B des mOnes racines, telle que le g r o u p e a p p a r t e n a n t ~ une v a l e u r donn6e de R soit form6 par les substitutions communes a u x deux groupes qui a ppartiennent aux wtleurs donndes des deux fonetions U et

V. En effet, supposons qua

Uo, U , , . . . , c ~ ,

soient les diffdrentes formes de la premidre fonction dont la valeur est U, et que

Vo, V ~ , . . . , v , _ ,

aient une signification analogue pour la fonction V. Consid~rons une fonction rationnelle de la forme

off nous supposerons que los coefficients h et k soient des quantit6s ra- tionnelles. Toutes les formes diverses que peut aequ6rir la fonc~,ion /~

par les substitutions, seront repr6sent(ies par la forrnule

h o u~° + h, Uo, + . . . + h,_, U~,_, + /% V~° + k, V~, + . . . + ~_, V~_,,

(5)

Ddmons~ration du thdor6me fondamcntal de Oalois. 301 off U~o... U~ .... ct V~0... V~j_, sont des formes quelconques que p e u v e n t acqu4rir lea fonctions U et V par les substitutions. I1 est clair q u e nous pouvons choisir les coefficients h ct k, de manibxe que la valeur de cha- cune de ces formes soit diff~rente de lu valeur donn~e, h. moins que toutes les fonctions U~.o... U,,_, n'aient la w l e u r U et les fonctions

V~0... V~,_, la v a l e u r V.

Mais alors R e s t une fonction c o m m e celle dont nous avons annonc~

l'existencc. Les fonctions L~0... U~,.,_, a y a n t toutes la v a l e u r U, et les fonctions V~0... V~,_, 1~ v a l e u r V, on a

= + . . . + u + + . . . + k,_,) v .

6. I1 est facile ~. prSsent d'dtublir le thdorSme de GALOIS, dont voici l'Snonc5 :

Si une ~quation alg5brique n'a pas de racines dgales, il y a toujours un grouse de substitutions - - et il n'y en a ffu'un ~ ~ui jouit de la double 2)ro2~ridt~ suivante :

I ° route fonction rationnelle des racines dont la valeur est rationnelle, reste invariable par les substitutions du groupe;

2 ° rdciproquem.ent, route fi)nction rationnelle des racines dont la valeur n'est pas changge par les sabstitutions du qroupe, s'exprime rationnellement par les ~uantitds eonnues.

Ce g r o u p e a 6t6 appel6 par GALOIS le groupe de l'dquation.

Consid6rons l'ensemble des groupes qui a p p a r t i e n n e n t k des valeurs donn~es des fonctions rationnelles de x0, x ~ , . . . , ~,_~ exprimables ra- tionnellement pur les quantitds connues. P a r m i ces groupes, il y e n aura uu dont l'ordre est moindre ou 6gal h celui de t o u t autre groupe. Soit G c e gvoupe; je din qu'il jouit de la double propri6t6 dont il s'agit.

En effet, soient F un quelconque des groupes eonsidSrds, I le groupe des substitutions c o m m u n e s ~ G et 'k I', w et ~(2 les fonctions ration- nelles des racines auxquelles correspondent les groupes G e t F; il y aura (n ° 5) une fonction rationnelle des racines, dont le groui)e a p p a r t e n a n t une valeuv donn6e sera pr6cisdment I . De plus, cette fonction s'expri- m a n t en fonction rationnelle et lin6aire de (o et .(2, il t a u t que sa valeur soit rationnelle. L'ordre de I ne peut done ~t/,e infdrieur k celui de G,

(6)

302 J . T . S(~derberg.

d'oh il suit que ces d e u x groupes sent identiques, et que, par consequent, les substitutions de G font toutes partie du groupe I'.

La premiSre partie du th~or~me de G.~LoIs se trouve done dtablie.

La d&nonstration de la seeonde partie est imm5diate. En effet (n ° 4) toute fonction rationnelle des racines d e n t la valeur reste invariable par les substitutions de G, s'exprime r a t i o n n e l l e m e n t par eo et, en eons4quence, par les quantit& connues.

I1 ne nous reste plus qu'h. d4montrer que le groupe d'une dquation est unique. S'il n'en dtait pas ainsi, soit H u n autre groupe jouissant eomme G des propridtds du groupe de l'dquation. Comme au n ° 4, hens pouvons former une fonction rationnelle w, dent la valeur reste invariable par les substitutions de G, mais est ehangde par toute autre substitution.

Cette fonetion s'exprimant r a t i o n n e l l e m e n t par les quantit& eonnues, sa valeur reste invariable par les substitutions du groupe H, qui par con- sdquent est eontenu dans G.

Mais d'un autre e6t5, les racines dtant indgales, nous pouvons aussi, par un proc4d5 bien eonnu (voir p. ex. JOIn)AN, Traitd des substitutions, pag. 255), trouver une fonction rationnelle e% d e n t non seulement la valeur, mais la forme m~me reste invariable par les substitutions de H et dent la valeur est chang4e par toute autre substitution. Par suite de notre hypothSse cette fonction est une quafitit5 rationnclle et par cons&

quent il faut que sa valeur soit invariable par les substitutions de G.

Ces substitutions appartiennent donc aussi au groupe H, et par cons&

quent les groupes G et H sent identiques, ce qui ach4ve la d4mons/ration du th4or~me de GALoIs.

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