Fonction exponentielle. Corrigés d’exercices

(1)

Fonction exponentielle.

Corrigés d’exercices

Version du 31/12/2013

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 123 : N°4 Page 136 : N°44

Page 125 : N°8 Page 137 : N°50, 52

Page 127 : N°12 Page 141 : N°64

Page 134 : N°30, 31 Page 143 : N°71

Page 135 : N°38

N°4 page 123

a. VRAI On a :

( )

3 3

3

3 3

1 1 1

_x

x x x

e

e e e

⎛ ⎞ = = =

−

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^.

b. VRAI

On a : ( )

² ² 2 1 1

x x

e e

x

e e e

= =

−

.

c. VRAI

On a : e

^x⁻¹

× e

¹⁻^x

= e

^x^{− + −}¹ ⁽¹ ^x⁾

= e

^x^{− + −}^{1 1} ^x

= e

⁰

= 1 .

d. FAUX On a :

3

3 2

x

x x x

x

e e e

e

=

−

= .

(2)

N°8 page 125

On a : ^{f x} ( ) ¹ ^e

^x

¹ ¹

_x

^e

^x _x

¹

e e

−

= − = − = .

a. La fonction exponentielle est strictement croissante sur \ .

On a donc : ^x ^{< ⇔} ⁰ êxp ( ) ^x ^< ^{exp 0} ( ) ^⇔ êxp ( ) ^x ^{< ⇔} ¹ ê

^x

^{< ⇔} ¹ ^e

^x

^{− <} ^{1 0} ^.

Ainsi, pour tout réel x strictement négatif, le numérateur de ^{f x} ( ) est strictement négatif.

Comme son dénominateur est strictement positif pour tout x réel, on a finalement :

( )

*

, 0

x

₋

f x

∀ ∈ \ <

b. En utilisant encore la croissance stricte de la fonction exponentielle sur \ , on a cette fois : ^x ^{≥ ⇔} ⁰ êxp ( ) ^x ^≥ ^{exp 0} ( ) ^⇔ êxp ( ) ^x ^{≥ ⇔} ¹ ê

^x

^{≥ ⇔} ¹ ^e

^x

^{− ≥} ^{1 0} ^.

Ainsi, pour tout réel x positif, on a ^{f x} ( ) ^≥ ⁰ ^.

Par ailleurs, on a ^e

^x

⁰ ¹

_x

⁰ ¹

_x

⁰ ¹ ¹

_x

¹ ^{f x} ( ) ¹

e e e

> ⇔ > ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < . Finalement :

( )

*

, 0 1

x

₊

f x

∀ ∈ \ ≤ <

N°12 page 127

a. La fonction f est dérivable sur \ comme composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Pour tout x réel, on a : ^f ^' ( ) ^x ^{= − ×} ³ ^e

⁻³^x

^.

Comme on a : ∀ ∈ x \ , e

⁻³^x

> 0 , il vient immédiatement : ^{∀ ∈} ^x ^\ ^, ^f ^' ( ) ^x ^< ⁰ ^{et on en}

conclut :

La fonction x 6 e

⁻^3x

est strictement décroissante sur \ .

b. La fonction 1

x 6 − x , opposée de la fonction inverse, est dérivable sur \

^*₋

et sur \

^*₊

et admet, sur chacun de ces intervalles, pour fonction dérivée : 1

₂

1

₂

x x x

⎛ ⎞

− − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =

6 .

Pour tout réel x non nul, on a : 1

₂

x > 0 ,

1

0 e

⁻x

> et, finalement : ^f ^' ( ) ^x ^> ⁰ ^.

(3)

Ainsi :

La fonction

1

x 6 e

⁻x

est strictement croissante sur \

^*₋

et sur \

^*₊

.

c. L’énoncé est erroné et nous considérons en fait ici la fonction : :

cos^x

f x 6 e

La fonction f est dérivable sur \ comme composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. Elle l’est à fortiori sur l’intervalle [ ^{0 ;} ^π ] et pour tout x réel dans [ ^{0 ;} ^π ] ^{, on a :}

( )

^cos

' sin

^x

f x = − x e ×

Pour tout x réel, on a e

^cos^x

> 0 et pour tout x réel de l’intervalle [ ^{0 ;} ^π ] ^{, on a} ^sin ^x ^≥ ⁰ ^.

On en déduit que l’on a ^f ^' ( ) ^x ^≤ ⁰ sur l’intervalle [ ^{0 ;} ^π ] et que la fonction f y est donc décroissante. Plus précisément, la dérivée ne s’annulant que pour deux valeurs de x (0 et

π ), on peut même conclure :

La fonction x 6 e

^cos^x

est strictement décroissante sur l’intervalle [ ^{0 ;} ^π ] ^.

N°30 page 134

a. ( )

² ⁵ ^{2 5} ¹⁰ 10 9 1

9 9 9

e e e

× −

= = = = =

b.

²

1

₂ ² ^{1 2} ³

e e e e e

e

+

×

−

= × = =

c.

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

e e

e e e e e e

e e e

−

= − = − = − =

+ + + + + ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ + +

(4)

N°31 page 134

a. On ne se précipite pas ! On remarque d’abord que l’on a affaire à une différence de deux carrés …

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

4

x x x x

x x x x x x x x

x x

f x e e e e

e e e e e e e e

e e

− −

− − − −

−

= + − −

= + + − + − +

= ×

=

b. On a par exemple :

( )

² ²

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

0

x

x x x x x

x x x

x

x x

x x x x

x

x x x

x

e e e e e e

g x e e e

e e e

e e e e

e

e e e

e

−

+ + + +

= + = +

− − − −

+ + × + +

= + = +

− − − −

=

c. Ici, nous n’avons pas trop le choix et développons :

( ) ( )

( )

2 4

2

1 1

2 1

x x

h x e e

e e

= + − −

= + + − e

²^x

− 1

2 2

x x x

x

e e e

e

= + −

=

N°38 page 135

1. On a affaire à la composée de deux fonctions et il vient :

2 2

composition

lim

lim lim

x x

X x

X

x

e e

→−∞

→+∞

= +∞⎪ ⎫ ⎬ ⇒ = +∞

= +∞⎪⎭

lim

^x2

x

e

→−∞

= +∞

(5)

2. On a :

composition 2

lim 2 lim lim

x x

x

x e e

→+∞

= +∞⎫⎪ ⎬ ⇒ = +∞

= +∞⎪⎭

On en déduit :

_x

^lim

_→+∞

( ^e

²^x

^{+ =} ¹ )

_x

^lim

_→+∞

( ^e

²^x

^{− = +∞} ¹ ) ^.

On a donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞

∞ ».

Classiquement, nous factorisons :

2

2 2 2

2

2 2

1 1

1 1 1

x

x x x

x

x x

e e e e

e e

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠ =

+ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ +

En tenant compte de lim

²^x

x

e

→+∞

= +∞ , il vient 1

₂

lim

_x

0

x^→+∞

e = puis :

2 2 2

1 1

lim 1 1 0 1 1

lim lim 1 1

1 1

lim 1 1 0 1

x x

x x x

e e e

÷

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

⎛ − ⎞ = − = ⎫

⎜ ⎟ ⎪ − −

⎝ ⎠ ⎪⇒ ⎬ = + =

⎛ + ⎞ = + = ⎪ +

⎜ ⎟ ⎪

⎝ ⎠ ⎭

2 2

lim 1 1

1

x x x

e

→+∞

e

− = +

c. On a :

2 composition 1

2 0 0

lim 1 0

lim 1

x x

X x X

x e

e e

→+∞

→

= ⎪ ⎫ ⎬ ⇒ =

= = ⎭ ⎪

2 1

lim

^x

1

x

e

→+∞

=

d. On a immédiatement

_x

^lim

_→+∞

^e

^x

⁼

_x

^lim

_→+∞

( ^e

^x

^{+ = +∞} ¹ ) ^.

Il vient alors :

( )

composition

lim 1

lim 1 0

1 1

lim 0

x x

x x X

e

e X

→+∞ +

+ →+∞

→+∞

+ = +∞ ⎫

⎪ ⇒ =

⎬ +

= ⎪

⎭

(6)

lim 1 0

1

^x

x

e

+

→+∞

=

+

N°44 page 136

1. Pour tout entier naturel n, on a :

1

1_n

1

ⁿ

n n

u e e e

e e

−

⎛ ⎞

= = = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

On en déduit ainsi :

La suite ( ) u

n

est une suite géométrique de raison 1

q = e et de premier terme u

₀

= e .

2. Comme ¹ ] ^{1 ; 1} [

e ∈ − + , on en déduit immédiatement :

La suite ( ) u

n

est convergente de limite nulle.

3. S

_n

correspond à la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( ) u

n

. Celle-ci étant géométrique, il vient immédiatement :

1

0 1 0

1

1 2

... 1

1 1 1

1 1

1

n

n n

n

S u u u u q

q

e e

e

e e

e e e

+

− −

= + + + = −

−

− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −

= − = −

= −

−

( )

2

, 1

1

n n

n S e e

e

∀ ∈ = −

− −

` −

(7)

Comme ¹ ] ^{1 ; 1} [

e ∈ − + , on a :

1

lim lim 0

n

n n

e

+

− −

→+∞ →+∞

⎛ ⎞ = =

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

Il vient alors :

_n

^{lim 1}

_→+∞

( ⁻ ^e

^{− −}ⁿ¹

) ^{= − =} ^{1 0 1} et enfin (produit) :

( )

2 2 2

lim lim 1

1

1 1 1 1

n

n n n

e e e

S e

e e e

− −

→+∞ →+∞

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦ = − × = −

2

lim

ⁿ

1

n

S e

→+∞

= e

−

N°50 page 137

1. Première méthode

On a :

x x x x

e x e x e e

x x x

× ×

= = = ×

× .

Par croissance comparée, on a : lim

x x

e

→+∞

x = +∞ . Par ailleurs : lim

x

→+∞

= +∞ .

Il vient donc finalement (produit) : lim

x x

x e

→+∞

x

⎛ ⎞

× = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^.

2. Deuxième méthode

Pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : ^x ⁻ ^x ⁼ ^x ( ^x ^{− ≥} ¹ ) ⁰ ^.

On en déduit x ≥ x puis : 1 1

x ≤ x et enfin, la fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives :

x x

e e

x ≤ x . Comme lim

x x

e

→+∞

x = +∞ , il vient alors (comparaison) : lim

x x

e

→+∞

x = +∞ . Les deux méthodes nous conduisent à :

lim

x x

e

→+∞

x = +∞

(8)

N°52 page 137

1. On sait que l’exponentielle croît beaucoup plus vite que tout puissance. On est donc

« naturellement » conduit à factoriser par « e

^2x

».

Pour tout réel x, on a :

( )

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

1 1 1

x

x x

x

x x x

e e e

e x e

x

e x x x

e e e e

⎛ − ⎞ − − ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠ = = ⎝ ⎠

+ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ + + ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

Comme on a (croissances comparées) : lim

x x

e

→+∞

x = +∞ , il vient : lim

_x

0

x

→+∞

e = puis (composition) :

2

lim

_x

0

2

0

x

→+∞

e

⎛ ⎞ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ . D’où :

2 2

lim 1 1 0 1 1

lim 1

lim 1 1 0 1 1

x x x

x

x x

e e

x x e e

→+∞ ÷

→+∞

⎡ − ⎛ ⎞ ⎤ = − = ⎪ ⎫ ⎛ ⎞

⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ − ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎪

⎣ ⎦ ⎬ ⇒ ⎝ ⎠ =

⎡ + ⎛ ⎞ ⎤ = + = ⎪ + ⎛ ⎜ ⎞ ⎟

⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ ⎪ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎭

Finalement :

2 2

lim 1

x x x

e x

→+∞

− = +

2. On a lim

x

→+∞

= +∞ et (composition) lim

³^x

x

e

→+∞

= +∞ .

Nous avons donc affaire ici à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ». L’exponentielle croissant beaucoup plus vite que la racine carrée, nous factorisons. Pour tout réel x, on a :

3 3

1

3

x x

x

e x e x

e

⎛ ⎞

− = ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠

A partir de là, nous pouvons procéder de diverses façons.

On peut utiliser le résultat de l’exercice 50 (voir ci-dessus).

On peut aussi procéder comme suit :

( )

²

3 2 2

1 1

x x x x x x x

x x x x

e x e e x e e x e e

= = × = ×

(9)

On a lim

x

→+∞

= +∞ . On a aussi lim

^x

x

e

→+∞

= +∞ et donc (composition) :

_x

^lim

_→+∞

( ) ^e

^x ²

^{= +∞} ^.

D’où (produit) :

_x

^lim

_→+∞

( ^{x e}

²^x

) ^{= +∞} et (rapport) : 1

₂

lim 0

x^→+∞

x e

x

= .

Par ailleurs, on a (croissances comparées) lim

x x

e

→+∞

x = +∞ et donc : lim

_x

0

x

→+∞

e = .

On déduit de ce qui précède (produit) :

( ) ¹

² ³

lim

_x

lim

_x

0

x x x

x x

e e

→+∞

x e

→+∞

⎡ ⎤

⎢ × ⎥ = =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

Il vient alors (somme) : lim 1

₃_x

1 0 1

x

→+∞

e

⎛ ⎞

− = − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et enfin (produit) :

( )

3 3

lim

^x

1

3_x

lim

^x

x x

e x e x

→+∞

e

→+∞

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− = − = +∞

⎢ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

(

³

)

lim

^x

x

e x

→+∞

− = +∞

3. On a ^e

^x

⁻ ^x

²

^{− =} ^x ^e

^x

⁻ ( ^x

²

⁺ ^x ) ^{. Or :}

_x

^lim

_→+∞

^e

^x

^{= +∞} ^et

_x

^lim

_→+∞

( ^x

²

⁺ ^x ) ^{= +∞} ^.

Nous avons encore une fois affaire à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

L’exponentielle croissant plus vite que toute puissance, nous factorisons :

2

1

x x

e x x e

e e

⎛ ⎞

− − = ⎜ − − ⎟

⎝ ⎠

Comme lim

x x

e

→+∞

x = +∞ (croissances comparées), on a immédiatement : lim

_x

0

x

→+∞

e = . Pour déterminer

2

lim

_x

x

→+∞

e , on peut se reporter au résultat général obtenu à l’exercice 47.

Nous redétaillons ici la démarche.

On a :

2 2

2

2 2

22 2 2 2

4 4

4 2 4 2

x x

x x x

x x

e e e e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= = = ⎝ ⎠ = ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(10)

On a alors :

composition 2

2 2

0

lim 2 lim 2 0

lim 2 0

lim 0

x

x x

x x X X

t

x x

x

X e

e e

t

→+∞

→+∞ →+∞

→

⎫ ⎫

= +∞ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⇒ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⎪ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ =

⎝ ⎠

= ⎪⎭ ⎪

Ainsi, on a :

2 2

2

lim

_x

lim 4 2

_x

4 0 0

x x

e e

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟ = × =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

On a donc :

2

lim

_x

lim

_x

0

x x

e e

→+∞

=

→+∞

= puis (somme) :

2

lim 1

_x _x

1 0 0 1

x

x x

e e

→+∞

⎛ ⎞

− − = − − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^.

Finalement (produit) :

x

^lim (

^x ²

)

x

^lim

^x

¹

x² x

x x

e x x e

e e

→+∞ →+∞

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− − = ⎢ ⎜ − − ⎟ ⎥ = +∞

⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

(

²

)

lim

^x

x

e x x

→+∞

− − = +∞

N°64 page 141

Partie A

1. La fonction g est la somme de deux fonctions dérivables sur \ (la fonction exponentielle et la fonction affine x 6 − − x 1 ). Elle est donc dérivable sur \ et pour tout x réel, on a :

( )

'

^x

1 g x = e −

Comme e

⁰

= 1 et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \ , il vient immédiatement :

• Si ^x ^{∈ −∞} ] ^{; 0} [ ^, ^e

^x

^< ¹ ^{et donc} ^{g x} ^' ( ) ^< ⁰ ^.

• ^g ^{' 0} ( ) ⁼ ⁰ ^.

• Si ^x ^∈ ] ^{0 ;} ^{+ ∞} [ ^, ^e

^x

^> ¹ ^{et donc} ^{g x} ^' ( ) ^> ⁰ ^.

On en déduit alors :

La fonction g est strictement décroissante sur \

₋

et strictement croissante sur \

₊

.

D’après ce qui précède, la fonction g admet un minimum pour x = 0 . Ce minimum vaut :

( ) ⁰

⁰

^{0 1 1 1 0}

g = e − − = − = .

(11)

On en déduit : ^{∀ ∈} ^x ^\ ^, ^{g x} ( ) ^≥ ⁰ ^et ^{g x} ( ) ^{= ⇔ =} ⁰ ^x ⁰ ^.

Pour tout x réel, on a ^{g x} ( ) ^≥ ⁰ et g ne s’annule que pour x = 0 .

2. D’après la question précédente, on a : ^{g x} ( ) ^≥ ⁰ ^{, soit} ^e

^x

^{− − ≥} ^x ¹ ⁰ ^.

D’où : ∀ ∈ x \ , e

^x

− ≥ x 1 . Comme 1 0 > , il vient : ∀ ∈ x \ , e

^x

− > x 0 . Pour tout x réel, la différence e

^x

− x est strictement positive.

Remarque : ce résultat nous permet d’affirmer que le dénominateur de ^{f x} ( ) ne s’annule pas et, de fait, que la fonction f est définie sur \ .

Partie B

1. a. On a lim

^x

0

x

e

→−∞

= . On en déduit immédiatement :

_x

^lim

_→−∞

( ^e

^x

⁻ ^x ) ^{= +∞} et c’est le terme

« − x » qui « donne » cette limite infinie. On va donc factoriser par « x ».

Pour tout x réel non nul, on a : ( ) ¹

1 1

x

x x

f x e x e e

x x x

= = =

− ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ −

⎝ ⎠

.

Comme lim

^x

0

x

e

→−∞

= et comme 1

lim 0

x^→−∞

x = , il vient (produit) : lim 0

x x

e

→−∞

x = .

D’où : lim 1 0 1 1

x x

e

→−∞

x

⎛ − = − = − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et enfin : 1 1

lim 1

1 1

x

e

x

→−∞

= = −

− −

.

Finalement :

( )

lim 1

x

f x

→−∞

= −

On a cette fois : lim

^x

x

e

→+∞

= +∞ et la fonction exponentielle croissant plus vite que la fonction identité, on factorise par « e

^x

» au dénominateur.

Pour tout x réel, on a : ( ) ¹

1 1

x x

x x x

f x e x x e x

e e e

= = = ×

− ⎛ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠ −

.

(12)

Comme lim

x x

e

→+∞

x = +∞ (croissances comparées), il vient immédiatement : lim

_x

0

x

→+∞

e = puis : lim 1

_x

1 0 1

x

→+∞

e

⎛ − ⎞ = − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et lim ¹ ¹ 1

1 1

x

x e

→+∞

= =

−

.

Finalement (produit) : ^lim ( ) ^lim ¹ ^{0 1} ⁰

1

x x x

x

f x x

e x

e

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ × ⎟ = × =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

.

( )

lim 0

x

f x

→+∞

=

b. D’après les résultats obtenus à la question précédente, on peut affirmer : La courbe représentative C

_f

de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation y = − 1 au voisinage de −∞

et une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de +∞ .

2. La fonction f est dérivable sur \ comme rapport, défini sur \ , de deux fonctions dérivables sur \ . Pour tout x réel, on a :

( ) ( ) ( )

( )

²

1 1

'

x x x

x

e x x e e x

f x

e x

× − − × − −

= =

−

x e

x

− × +

( )

²

( ⁽ )

²

⁾

x

1

x x

e x

e x e x

= −

− −

Comme , ∀ ∈ x \ e

^x

> 0 et ( ^e

^x

⁻ ^x )

²

^> ⁰ (carré non nul), le signe de ^f ^' ( ) ^x est donc celui de 1 − x . On en déduit immédiatement :

• Si ^x ^{∈ −∞} ] ^{; 1} [ ^{, on a} ¹ ^{− >} ^x ⁰ ^{et donc} ^f ^' ( ) ^x ^> ⁰ ^.

• ^f ^{' 1} ( ) ⁼ ⁰ ^.

• Si ^x ^∈ ] ^1; ^{+ ∞} [ ^{, on a} ¹ ^{− <} ^x ⁰ ^{et donc} ^f ^' ( ) ^x ^< ⁰ ^.

Ainsi :

La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ] ^−∞ ^{; 1} ]

et strictement décroissante sur l’intervalle [ ^1; ^{+ ∞} [ ^.

(13)

D’après ce qui précède, nous pouvons affirmer que la fonction f admet un maximum (global) pour x = 1 . Ce maximum vaut : ( ) ¹

₁

¹ ¹

1 1

f = e = e

− − .

Forts des éléments précédents, nous pouvons finalement dresser le tableau de variation de la fonction f :

3. On a immédiatement :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' 0 0 0 ' 0 0

y = f × − + x f = f × + x f .

On a : ( ) ⁰

₀

⁰ ⁰

f 0

= e =

− et ( ) ( )

( )

0

2 2

0

1 0 1 1

' 0 1

0 1 f e

e

× − ×

= = =

− .

Ainsi :

L’équation réduite de la tangente à C

_f

au point d’abscisse 0 est : y = x . 1

x

0 0 f

+ –

(14)

4. A l’aide de Geogebra, on obtient :

N°71 page 143

Partie A

1. On a immédiatement :

⁰

( ) ( )

0 0

lim 1 lim exp' 0 exp 0 1

0

h h

e e e

h h

→ →

− = − = = =

− .

Il vient alors :

0

( )

0 0

1 1

lim lim lim 1

1

^x

1

x x x x

f x x

e e

x

→

=

→

=

→

= =

− −

0

( )

lim 1

x

f x

→

=

(15)

2. Pour tout x réel strictement positif, on a :

( ) ¹ ₁

1 1 1 1

x x

x x x

f x e e

e e e

= = = ×

− ⎛ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠ −

Comme on a (croissance comparée) : lim

x x

e

→+∞

x = +∞ , il vient immédiatement : lim

_x

0

x

→+∞

e = . Par ailleurs, de lim

^x

x

e

→+∞

= +∞ , on tire 1 lim

_x

0

x^→+∞

e = puis (somme) : 1

lim 1

_x

1 0 1

x^→+∞

e

⎛ − ⎞ = − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

enfin : 1

lim 1

1 1

x

e

x

→+∞

=

−

.

Finalement (produit) : ^lim ( ) ^lim ¹ ₁ ^{0 1} ⁰

1

x x x

x

f x x

e

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ × ⎟ = × =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

.

( )

lim 0

x

f x

→+∞

=

Partie B

1. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :

1 2 1

1 2 1 1 1 1

1 ... 1 ...

n n

n n n n n n

e e e e e e

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−

+ + + + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On a ainsi une somme de la forme 1 + + q q

²

+ + ... q

^N

avec

1 n

1 q = e ≠ et N = − n 1 . Une telle somme s’écrit plus simplement :

1

1 q

N

q

−

+

− soit ici :

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

n n

n n n n

e e

e e e e

− +

×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟

− −

⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ = =

− − − −

On a bien :

1 2 1

1

1 ... 1

1

n

n n n

n

e e e e

e

−

+ + + + =

−

(16)

2. En utilisant le résultat de la question précédente, il vient :

( ) ( )

1 2 1

1 1

1 1 1 1 1

1 ... 1 1

1 1

n

n n n

n

n n

e n

u e e e e e f

n n n

e e

⎛

−

⎞ − ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + + + + ⎟ ⎠ = × − = − × − = − × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

*

1 ,

_n

1 n u e f

n

∀ ∈ ` = − × ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

3. On a :

( )

composition

0

lim 1 0 1

lim 1

n

n x

n f

f x n

→+∞

→

= ⎪ = ⎭ ⎫ ⎬ ⎪ ⇒ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

On en déduit : ^lim ( ¹ ) ¹ ( ¹ ) ^lim ¹ ( ¹ ) ¹ ¹

n

e f e

n

f e e

n n

→+∞ →+∞

⎡ − × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎤ = − × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − × = −

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

lim

_n

1

n

u e

→+∞

Fonction exponentielle. Corrigés d’exercices