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CCP Maths 2 PSI 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Le sujet comporte un unique problème divisé en quatre parties et porte essentiel- lement sur des questions de calcul matriciel.
• La première partie a pour but de calculer le déterminantdet
((i+j)!)06i,j6n pour tout entiern. Cette partie est indépendante du reste du sujet ; le résultat sera réutilisé dans la partie 4. Les calculs ne sont pas difficiles mais demandent une certaine attention dans l’utilisation des notations.
• Dans la deuxième partie, on étudie certaines propriétés de la matrice de Gram denvecteursv1, . . . , vn d’un espace préhilbertien réel,
G(v1, . . . , vn) = (vi|vj)
∈Mn(R)
On démontre que le déterminant de la matriceG(v1, . . . , vn)est positif et que la famille(v1, v2, . . . , vn)est libre si et seulement si le déterminant deG(v1, . . . , vn) est strictement positif.
• La troisième partie est consacrée à l’étude de la matrice de Gram d’une certaine famille de l’espace euclidienR3. Cette partie réutilise certains résultats établis dans la partie précédente.
• La quatrième partie montre comment les matrices de Gram permettent de calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien réel. Un calcul explicite est demandé qui réutilise un résultat démontré dans la première partie. Les autres questions ne dépendent pas de ce qui précède.
Le sujet est très classique et sa difficulté n’est pas excessive. L’énoncé donne de nombreuses indications. Les questions théoriques restent proches du cours d’algèbre linéaire et bilinéaire surtout dans la deuxième partie. Elles demandent cependant des démonstrations conséquentes qu’il faut savoir maîtriser et qu’il ne faut pas traiter trop rapidement. Le jury déplore ainsi trop souvent des justifications succinctes et incomplètes. Il faut de plus lire précisément les questions posées afin de ne pas ré- pondre à côté. C’est donc un excellent sujet de révision, qu’on doit pouvoir terminer dans les quatre heures imparties.
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Indications
Partie I
I.1.3.1 Utiliser la formule de Pascal.
I.2.2 Utiliser lan–linéarité du déterminant.
I.2.3 Faire le lien avec la partie I.1. pour reconnaître la matrice ∆n.
Partie II
II.B.1 Penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz et à son cas d’égalité.
II.B.6 Raisonner par l’absurde.
Partie III
III.2 Utiliser le polynômePintroduit à la question III.1.
III.3 Utiliser la question précédente et le résultat de la partie II sur la positivité du déterminant de la matrice de Gram de(u1, u2, u3).
Partie IV
IV.2.2 Décomposerv dans F et F⊥, v =vF+vF⊥, utiliser la question IV.1.2 et la question IV.2.1, puis remarquer quekvF⊥k=d(v,F).
IV.3.1 Établir une relation de récurrence sur la suite(Jk)k∈N, en intégrant par parties.
IV.3.3 Suivre les indications de l’énoncé et reprendre le résultat de la question I.2.3 pour le calcul du déterminantDn.
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Partie I
I.1.1 En appliquant directement les formules on obtient a1,1 =
p+ 0 p+ 0
= 1
a1,n−p+1 =
p+ 1 +n−p+ 1−2 p+ 1−1
= n
p
an−p+1,1 =
p+n−p+ 1 + 1−2 p+n−p+ 1−1
= n
n
= 1
an−p+1,n−p+1 =
p+n−p+ 1 +n−p+ 1−2 p+n−p+ 1−1
=
2n−p n
a1,1= 1, a1,n−p+1= n
p
, an−p+1,1= 1, an−p+1,n−p+1=
2n−p n
On peut remarquer dès cette question que la première colonne de la matriceAp est une colonne de1. En effet si 16i6n−p+ 1,
ai,1=
p+i−1 p+i−1
= 1
Soient n∈ N et p ∈ [[ 0 ;n]]. Si on avait voulu être très rigoureux dans les notations de cette partie, il aurait fallu utiliser pour les coefficients de la matriceAp∈Mn−p+1(R)la notation suivante
Ap= api,j
En effet, les coefficients de la matrice changent suivant la taille de la matrice et dépendent à la fois depet dencontrairement à ce qu’on peut penser à la première lecture du sujet.
I.1.2 Soitn>2. Pourp=n,An ∈M1(R)et An= (1). Son déterminant vaut dn= 1
Pourp=n−1,An−1∈M2(R)et, avec les calculs faits précédemment, on obtient
An−1=
1
n n−1
1
n+ 1 n
=
1 n 1 n+ 1
Commedn−1= det(An−1), il vient
dn−1= 1
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/18 Pourp=n−2,An−2∈M3(R)et
An−2=
1
n−1 n−2
n n−2
1 n
n−1
n+ 1 n−1
1
n+ 1 n
n+ 2
n
=
1 n−1 n(n−1) 2
1 n (n+ 1)n
2 1 n+ 1 (n+ 2)(n+ 1)
2
Calculonsdn−2= det(An−2). Pour cela, on soustrait la seconde ligne à la troisième (L3 ← L3−L2) et on retranche la première ligne à la seconde (L2 ← L2−L1).
Le déterminant étant une forme 3-linéaire alternée, on en déduit que
dn−2=
1 n−1 n(n−1) 2
0 1 n
0 1 n+ 1
puis dn−2=
1 n
1 n+ 1
en développant par rapport à la première colonne. On conclut que dn−2= 1
Pour calculer dn−2, on pouvait également utiliser la règle de Sarrus afin de calculer directement le déterminant sans faire des opérations sur les lignes ou les colonnes, ce qui donnerait
dn−2 = 1
2(n(n+ 2)(n+ 1) + 2(n−1)n(n+ 1)
−n2(n−1)−(n+ 1)2n−(n−1)(n+ 1)(n+ 2)
= 1
Les opérations sur les lignes et les colonnes permettent d’exploiter les ca- ractéristiques de la matrice (symétrie, liens entre les lignes, etc.). Ici, cette mé- thode provoque moins d’erreurs de calculs. De manière générale, la règle de Sarrus est à éviter dès que les coefficients de la matrices sont un peu compliqués. Elle est en revanche à privilégier lorsqu’ils sont simples comme à la question I.2.1.
I.1.3.1 D’après l’énoncé, on a maintenantp6n−2pour queAp possède au moins deux lignes. Soit(i, j)∈[[ 2 ; n−p+ 1 ]]×[[ 1 ;n−p+ 1 ]]. Appelonsbi,j le coefficient d’indice(i, j)de la nouvelle ligneLi.
bi,j=ai,j−ai−1,j=
p+i+j−2 p+i−1
−
p+i+j−3 p+i−2
Sij= 1, on remarque quebi,1=
p+i−1 p+i−1
−
p+i−2 p+i−2
= 1−1. Donc
∀i∈[[ 2 ;n−p+ 1 ]] bi,1= 0
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