Indiquer une ou des hypo- th`eses suppl´ementaires raisonnables permettant d’assurer que f est nulle sur U (ici, «raisonnables»signifie que l’on ´evitera les hypoth`eses du genreZ(f) =U)

Universit´e Grenoble Alpes 2017-2018 M1 Math´ematiques g´en´erales

UE Fonctions holomorphes

Examen du mardi 9 janvier 2018

Dur´ee 3 heures. Documents, calculatrices et t´el´ephones portables interdits. La notation tiendra compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des justifications.

Questions de cours

1. Soientf une fonction holomorphe sur un ouvertU deCetZ(f) ={z∈C:f(z) = 0}

l’ensemble de ses z´eros. On suppose que Z(f) est infini. Indiquer une ou des hypo- th`eses suppl´ementaires raisonnables permettant d’assurer que f est nulle sur U (ici,

«raisonnables»signifie que l’on ´evitera les hypoth`eses du genreZ(f) =U). Donner des contre-exemples illustrant les cas o`u l’une de ces hypoth`eses suppl´ementaires n’est pas r´ealis´ee.

2. ´Enoncer le th´eor`eme de la repr´esentation conforme de Riemann.

3. Soit f une fonction enti`ere telle que, pour toutz dansC,

|f(z)|6a|z|^c+b

pour des constantes (a, b, c) positives r´eelles et finies. Montrer que f est un polynˆome.

Expliquer pourquoi le th´eor`eme de Liouville est un cas particulier de ce r´esultat.

Probl`eme (In´egalit´e de Hadamard)

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C. Pour tout r > 0, on note C_r, Dr etDr, respectivement le cercle, le disque ouvert et le disque ferm´e, de centre 0 et de rayonr dansC. Lorsque C_r⊂U, on note

M(r) = sup{|f(z)|:z∈Cr}

1. SiDR⊂U avec R >0, montrer que la fonctionM est croissante sur [0, R[.

2. Si C\D_R ⊂U avec R > 0 et si f est born´ee au voisinage de l’infini, montrer que la fonctionM est d´ecroissante sur ]R,+∞[. Indication : on pourra consid´ererg(z) =f(1/z).

3. Donner un exemple tel quef est holomorphe surC^∗et la fonctionMn’est ni croissante, ni d´ecroissante sur R^∗+.

T.S.V.P.

4. On suppose d´esormais queU contient la couronne ferm´ee{z∈C:r6|z|6R}, pour R > r >0 fix´es.

4.1 Soientnun entier relatif etmun entier strictement positif. En consid´erant la fonction h d´efinie sur U \ {0} par h(z) = zⁿf(z)^m, montrer que pour tout s dans [r, R] et tout nombre rationnel q,

M(s)s^q 6max{M(r)r^q, M(R)R^q}

4.2 Montrer que, pour tout nombre r´eel x,

M(s)s^x6max{M(r)r^x, M(R)R^x} 4.3 En d´eduire que, pour toutsdans [r, R],

M(s)6M(r)^1−α(s)M(R)^α(s) o`u on a pos´e

α(s) = lns−lnr lnR−lnr

Exercice 1

On consid`ere l’int´egrale

I = Z ∞

−∞

sint t(1 +t²)dt Justifier la convergence deI et calculer sa valeur.

Indication : on pourra consid´erer des chemins [−R, R] et des demi-cercles de rayon R centr´es en 0, pour R suffisamment grand, et la fonction complexeg d´efinie par

g(z) = e^iz−1 z(1 +z²)

Exercice 2

Soit γ(r) le bord du triangle du plan complexe d’int´erieur {z ∈C:|Imz|<Rez < r}, pour r >1. On oriente le lacet γ(r) dans le sens direct, et on consid`ere l’int´egrale

F(r) = Z

γ(r)

e^−z (1−z⁴)²dz

1. Montrer que, pour tout r > 1, F(r) = u, pour une constante complexe u que l’on calculera.

2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale

J = Z ∞

0

e^−t(cost+ sint) (1 + 4t⁴)² dt

Fin.