On notera qu’une telle isométrie n’est pas nécessairement linéaire

RAPPELS ET NOTATIONS.

L’objet de ce problème est d’étudier les applications Lipschitziennes, non linéaires en général, entre espaces vectoriels normés. Le problème est divisé en six parties. Les quatre premières parties sont indépendantes.

- Dans tout le problème, on considère desR- espaces vectoriels normés, dont la norme sera notée k.ks’il n’y a pas d’ambiguïté. La droite réelleRsera toujours munie de la valeur absolue|.|.

- SiX etY sont deux espaces vectoriels normés etf :X→Y est linéaire continue, on note kfk = sup

x∈X\{0}

kf(x)k kxk .

On dit queΦ:X →Y est une isométrie sikΦ(x1)−Φ(x2)k = kx1−x2kpour tout couple (x1,x2)∈X². On notera qu’une telle isométrie n’est pas nécessairement linéaire.

- SoitMun nombre réel positif. Une applicationF:X→Y est diteM-Lipschitzienne si kF(x1)−F(x2)k6^Mkx1−x2k

pour tout couple (x1,x2)∈X². Une application Lipschitzienne est une application qui, pour un cer- tainM>0, estM-Lipschitzienne.

- Un espace norméX est dit séparable s’il contient une suite dense, ou en d’autres termes une partie dénombrable dense.

- Pour tout espace norméX, on noteX^∗ l’espace dual de X, c’est-à-dire l’espace vectoriel des formes linéaires continues deX dansR. Pour tout couple (x^∗,x)∈X^∗×X, on notex^∗(x)=<x^∗,x>.

Conformément aux notations ci-dessus, on note kx^∗k = sup

x∈X\{0}

| <x^∗,x> | kxk .

On rappelle que l’espace dualX^∗muni de cette norme est un espace de Banach. On notera simple- mentX^∗∗l’espace (X^∗)^∗.

- L’espace vectoriel engendré par une partieAd’un espace norméXsera notévec t[A], et sa fer- meture sera notéevec t[A].

- SoitC une partie convexe d’unR-espace vectorielX. On dit queg :C→Rest convexe si pour tous (t₁,t₂, ...,tn,x₁,x₂, ...,xn)∈[0, 1]ⁿ×Cⁿtels quet₁+t₂+...+tn=1, on a

g(

n

X

i=1

tixi)6

n

X

i=1

tig(xi).

- Soitn∈N^∗. On définit surRⁿla normek(x₁,x₂, ....,xn)k1=

n

X

i=1

|x_i|.

- SoientΩun ouvert deRⁿ,x∈Ωetg:Ω→Rune fonction différentiable enx. On note {∇g}(x) la différentielle degau pointx. Cette différentielle {∇g}(x) est donc une forme linéaire surRⁿ.

- On rappelle le lemme de Baire : siPest un espace métrique complet et si pour tout entier j>^1, Vjest un sous-ensemble ouvert et dense deP, alors l’ensemble \

j>1

Vjest dense dansP. - On rappelle enfin que

Z

R

e^−t2d t=p π. .

I. PRÉLIMINAIRES

1. SoientEun espace vectoriel normé,Fun espace de Banach,Aune partie dense deEetf :A→F une application M-Lipschitzienne. Montrer qu’il existe une unique application M-Lipschitzienne fe:E →F telle que pour touta∈A, on ait fe(a)= f(a) (pourx∈E, on pourra considérer une suite (an) d’éléments deAqui converge versx, et montrer que la suite (f(an)) est de Cauchy).

2. Soitn>1. On définitγ:Rⁿ→Rpar

γ(x1,x₂, ...,x_n)=exp(−π(Xⁿ

i=1

x²_i)).

a. Montrer queγest intégrable surRⁿet que l’on a pour tout entierp>1 Z

Rⁿγ(u₁,u₂, ...,un)d u₁d u₂...d un= Z

Rⁿ

pⁿγ(pt₁,pt₂, ...,ptn)d t₁d t₂...d tn=1.

Soitf :Rⁿ→Rune fonction Lipschitzienne. Pour tout entierp>^{1, on pose} gp(x1,x2, ....,xn)=

Z

Rⁿ

pⁿγ(p t1,pt2, ...,ptn)f(x1−t1,x2−t2, ...,xn−tn)d t1d t2...d tn.

b. Montrer que la fonctiongpest bien définie pour toutp>1, et que la suite de fonctions (gp)_p>1 converge versf uniformément surRⁿ.

c. Montrer que pour toutp>1, la fonctiongp est continûment différentiable surRⁿ (on pourra effectuer le changement de variablev₁=x₁−t₁, ...,v_n=x_n−t_n).

d. SoitE un espace normé de dimension finie non réduit à {0}. On désigne parLi p0(E) l’espace des fonctions Lipschitziennesf deEdansRtelles quef(0)=0. Pourf ∈Li p0(E), on pose

kfkL=sup©|f(x)−f(y)|

kx−yk ; (x,y)∈E²,x6=yª .

Montrer que pour toute fonction f ∈Li p0(E), il existe une suite (hp)_p>1⊂Li p0(E) de fonctions continûment différentiables surE telles quekhpkL6kfkL pour toutp, et telles que la suite (hp)_p>1 converge versf uniformément surE.

II. ISOMÉTRIES ET LINÉARITÉ.

1. On munit dans cette question seulement l’espaceR²de la normek(x,y)k∞=max{|x|,|y|}. Soit f : (R,|.|)→(R²,k.k∞) définie par f(t)=(t, si n(t)). Montrer quef est une isométrie non linéaire.

2. SoitH un espace préhilbertien, dont la norme est notéek.k2.

a. Soient x et y deux points deH ett ∈]0, 1[ tels quekxk2 = kyk2= kt x+(1−t)yk2. Montrer qu’alorsx=y.

b. Soientx₁,x₂etx₃trois vecteurs deH tels quex₁=x₂+x₃etkx₁k2= kx₂k2+ kx₃k2. Montrer qu’il existe un réelλ>^{0 tel quex}2=λx1 (on pourra se ramener au cas où les (xi) sont non nuls et considérer les vecteurs normalisés ((kxik⁻¹2 xi)).

c. Soitϕ:R→H une isométrie telle queϕ(0)=0. Établir queϕ(t)=tϕ(1) pour toutt>0.

d. SoitY un espace normé, etφ:Y →H une isométrie telle queφ(0)=0. Montrer que pour tout couple de vecteurs (x,y) dansY et toutt>^{0, on a}φ(x+t y)=(1−t)φ(x)+tφ(x+y).

e. Montrer queφest une application linéaire deY dansH.

III. DUALITÉ DES ESPACES NORMÉS

1. SoitX un espace normé,H un hyperplan deX, etu∈X\H. Soith^∗∈H^∗ de norme égale à 1.

Montrer que

sup

h1∈H

[<h^∗,h1> −kh1−uk]6 ^inf

h2∈H[<h^∗,h2> +kh2−uk].

2. Soita∈Rtel que sup

h1∈H

[<h^∗,h1> −kh1−uk]6^a6 ^inf

h2∈H[<h^∗,h2> +kh2−uk].

a. On définitx^∗ :X →R comme suit : pour tout (h,t)∈ H×R, <x^∗,h+t u>=<h^∗,h > +t a.

Montrer quex^∗∈X^∗et quekx^∗k =1.

b. SoitE un espace normé de dimension finie, etF un sous-espace vectoriel deE. Montrer que pour toutx^∗∈F^∗, il existey^∗∈E^∗tel queky^∗k = kx^∗ket tel que<y^∗,x>=<x^∗,x>pour toutx∈F.

Dans toute la suite de cette partie,X désignera un espace normé de dimension infinie, supposé séparable. On notera (xn)_n>1une suite dense dansX.

3. Soitx∈X.

a. Montrer qu’il existe une suite croissante (Ek)k>0de sous-espaces de dimension finie deX tels quex∈E0et tels que la réunionV= [

k>0

E_ksoit dense dansX.

b. Montrer qu’il existev^∗∈V^∗de norme 1 tel que<v^∗,x>= kxk(on pourra utiliser le III.2.b)).

c. Montrer qu’il existex^∗∈X^∗de norme 1 tel que<x^∗,x>= kxk.

4. SoitJX:X→X^∗∗définie pour tout (x,x^∗)∈X×X^∗par<JX(x),x^∗>=<x^∗,x>. Montrer queJX

est une isométrie linéaire.

5. a. Soit (x^∗_n)n>1une suite deX^∗ telle quekx_n^∗k61 pour toutn. Montrer qu’il existe une sous- suite (x^∗_φ(n)) de (x^∗_n) telle que

n→∞lim <x_φ(n)^∗ ,x_k>

existe pour toutk>^1.

b. Montrer que

n→∞lim <x_φ(n)^∗ ,z>

existe pour toutz∈X. c. On pose<x^∗,z>= lim

n→∞<x_φ(n)^∗ ,z>. Montrer que l’applicationx^∗ainsi définie est une forme linéaire et quekx^∗k61.

6. Soitj:R→Xune isométrie telle quej(0)=0.

a. Soitk∈N. Montrer qu’il existex_k^∗∈X^∗de norme 1 tel que<x_k^∗,j(k)−j(−k)>=2k.

b. Montrer que<x_k^∗,j(t)>=tpour toutt∈[−k,k].

c. En déduire qu’il existex^∗∈X^∗de norme 1 tel que<x^∗,j(t)>=tpour toutt∈R.

IV. DIFFÉRENTIABILITÉ DES FONCTIONS CONVEXES

1. Soitf :R→Rune fonction convexe.

a. Soienta<b<ctrois nombres réels. Montrer que f(b)−f(a)

b−a 6 ^f(c)−f(a)

c−a 6 ^f(c)−f(b) c−b .

b. Établir que pour toutx∈R, la dérivée à gauche f_g⁰(x) et la dérivée à droite f_d⁰(x) de f en x existent, quef_g⁰(x)6^f_d⁰(x), et que six1<x2, on a

f_g⁰(x1)6^f_d^0(x1)6^fg⁰(x2).

c. Montrer que f est continue, et que le sous-ensembleS deRconstitué des points où f n’est pas dérivable est fini ou dénombrable (on vérifiera l’existence deψ:S →Qtel que pour toutx∈S, ψ(x)∈]f_g⁰(x),f_d⁰(x)[).

d. Soitx∈R. On définitτ:R^∗→Rpar

τ(t)=[f(x+t)+f(x−t)−2f(x)]/t.

Montrer queτest impaire et croissante surR^∗, puis quef est dérivable enxsi et seulement si

t→0lim⁺τ(t)=0.

2. SoitC un sous-ensemble convexe deRⁿ tel que (−x)∈C pour toutx∈C, etF :C →Rune fonction convexe. On suppose queF(0)=0 et queFest majorée surC. Montrer que

sup

x∈C

F(x)=sup

x∈C|F(x)|. 3. Soitg:Rⁿ→Rune fonction convexe.

a. Soientx=(xi)_16i6n∈Rⁿetα>0.

On note {e₁,e₂, ...,en} la base canonique deRⁿ. Montrer que sup

khk16αg(x+h)−g(x)= max

16i6n,|ε|=1g(x+εαei)−g(x).

b. Montrer quegest continue en tout pointxdeRⁿ. 4. Soientk∈N^∗, 16ⁱ6^{n, ett}>0. On pose

Ok,i(t)=©

x∈Rⁿ; g(x+t e_i)+g(x−t e_i)−2g(x)

t <1

k ª

et

Vk,i=[

t>0

Ok,i(t).

a. Montrer que l’ensembleV_k,iest ouvert.

b. Soit

∆i= \

k>1

V_k,i.

Montrer que∆i={x∈Rⁿ; ∂g

∂xi

(x) existe}.

c. Montrer que∆iest dense dansRⁿ(on pourra utiliser la Question IV.1.c).

5. Montrer que l’ensemble

Ωg= \

16i6n

∆i

est dense dansRⁿ (on remarquera que chaque ensemble∆i est une intersection dénombrable d’ouverts).

6. Soitx∈Ωg. On définit la fonctionGparG(y)=g(y)−g(x)−

n

X

i=1

(yi−xi)∂g

∂x_i(x).

a. Montrer que pour touth∈Rⁿ,

|G(x+h)|6 ^max

16i6n,|ε|=1G(x+εkhk1ei).

b. En déduire queΩgest l’ensemble des points deRⁿen lesquels la fonctiongest différentiable.

7. Soitk.kune norme surRⁿ.

a. Justifier quek.kest convexe, que 06∈Ωk.k, que pour toutx∈Ωk.ket toutt>0, on at x∈Ωk.k

et que {∇k.k}(t x)={∇k.k}(x).

b. Montrer que pour toutx∈Ωk.k, on ak{∇k.k}(x)k =<{∇k.k}(x), x kxk>=1.

c. Soitz∈Rⁿ. Soit (xp)p>1une suite de points deΩk.kqui converge versz. Montrer que

p→∞lim <{∇k.k}(xp),z>= kzk.

V. LE THÉORÈME DE FIGIEL

Dans cette partie,E désigne un espace normé de dimension finieN. Soit, dans les questions V.1 et V.2, un vecteurx∈Etel quekxk =1. On suppose de plus quexest un point de différentiabilité de la normek.kdeE.

1. Soitϕ:E→Rune application 1-Lipschitzienne telle queϕ(t x)=tpour toutt∈R. Soity∈E.

a. Montrer que pour toutt∈R^∗, on a 1= |tϕ(y)−tϕ¡

(ϕ(y)+1/t)x¢

|6kx−t(y−ϕ(y)x)k.

b. En déduire que<{∇k.k}(x),y−ϕ(y)x>=0, puis que {∇k.k}(x)=ϕ.

2. SoitFun espace normé séparable et soitφ:E→Fune isométrie telle queφ(0)=0.

a. Montrer qu’il existef_x^∗∈F^∗de norme 1 tel que<f_x^∗,φ(t x)>=tpour toutt∈R(on utilisera la Question III.6.c)).

b. Montrer quef_x^∗◦φ={∇k.k}(x).

Pourx⁰∈Ωk.k, on considère plus généralement f_x^∗0∈F^∗de norme 1 telle quef_x^∗0◦φ={∇k.k}(x⁰).

3. a. Montrer que pour toutz∈E\{0}, il existe un pointx⁰∈Ωk.ktel que {∇k .k}(x⁰)(z)6=0 (on utilisera la Question IV.7.c)).

b. En déduire qu’il existe des points x1,x2, ...,xN deΩk.k tels que la famille des différentielles

¡{∇k.k}(xi)¢

16i6Nsoit une base deE^∗.

c. Montrer qu’il existe une base (z_j)_16j6NdeEtelle que {∇k.k}(xi)(zj)=δi,j.

D’après la Question V.2.b), pour tout 16ⁱ6^N, il existef_x^∗_i∈F^∗tel que {∇k.k}(xi)=f_x^∗_i◦φ.

On définit une applicationT:F→Epar T(y)=

N

X

i=1

f_x^∗_i(y)zi.

d. Montrer queT est linéaire continue et queT◦φ=I dE. 4. On suppose dans cette question quevec t[φ(E)]=F.

a. Montrer que pour toutx⁰∈Ωk.k, on a

f_x^∗0={∇k.k}(x⁰)◦T.

b. Montrer quekTk =1 (poury∈F, on pourra poserz=T(y) et utiliser la Question IV.7 .c)).

5. On suppose à présent queX est un espace de Banach séparable de dimension infinie. D’après la Question III.3.a), on a

X= [

k>1

E_k

où (Ek)_k>1est une suite croissante de sous-espaces de dimension finie. SoitY un espace normé, et soitΦ:X→Y une isométrie telle queΦ(0)=0 etvec t[Φ(X)]=Y. On poseF_k=vec t[Φ(E_k)].

a. Montrer qu’il existe une unique application linéaire continueT_k:F_k →E_k telle que pour tout x∈Ek,Tk(Φ(x))=x, et quekTkk =1.

b. Montrer qu’il existe une application linéaire continueT :Y →X telle queT◦Φ=I dX, et que kTk =1.

6.Applications :

a. On munitR²d’une norme arbitraire. Soit f :R→R² une isométrie. Montrer qu’il existe une base (ε1,ε2) deR² et une application LipschitzienneϕdeRdansRtelles que pour toutt ∈R, on a

f(t)=tε1+ϕ(t)ε2.

b. Montrer le théorème de Mazur-Ulam : siXetY sont des espaces de Banach séparables, toute surjection isométriqueΦ:X→Y telle queΦ(0)=0 est linéaire.

VI. LE RÉSULTAT PRINCIPAL

SoitXun espace normé séparable de dimension infinie. On désigne parLi p0(X) l’espace vectoriel des fonctions Lipschitziennesf deX dansRtelles quef(0)=0. Pourf ∈Li p₀(X), on pose

kfkL=sup©|f(x)−f(y)|

kx−yk ; (x,y)∈X²,x6=yª .

On vérifie facilement quek.kLest une norme surLi p0(X), que le dualX^∗deXest un sous-espace deLi p0(X) et quekx^∗k = kx^∗kLpour toutx^∗∈X^∗.

1. Pour toutµ∈Li p0(X)^∗, on noteβ(µ) la restriction deµàX^∗. Montrer queβest une application linéaire continue deLi p0(X)^∗dansX^∗∗et quekβk =1.

2. Montrer qu’il existe une suite (xi)_i>1 de vecteurs de X linéairement indépendants tels que vec t[(xi)_i>1]=Xetkxik =2⁻ⁱpour touti.

On poseEk=vec t[{xi; 16i6k}].

On considère l’unique application linéaireR_k:E_k→Li p0(X)^∗qui satisfait pour tout 16ⁿ6^ket toutef ∈Li p₀(X)

Rk(xn)(f)= Z

[0,1]^k−1

£f(xn+

k

X

j=1,j6=n

tjxj)−f(

k

X

j=1,j6=n

tjxj)¤

d t1d t2...d tn−1d tn+1...d tk.

3. Soit f ∈Li p0(X). On note fk la restriction de f àEk. Montrer que sifk est continûment diffé- rentiable, on a pour toutx∈E_k

Rk(x)(f)= Z

[0,1]^k<{∇fk}(

k

X

j=1

tjxj),x>d t1d t2...d tk. 4. Montrer que

kR_kk6¹ (On utilisera la Question I. 2. d).

5. a. Montrer que si 16ⁿ6^{k, on a}

kRk+1(xn)−Rk(xn)k62kxk+1k.

b. Montrer que pour toutx∈Ek, la suite (Rl(x))l>kconverge dans l’espace de BanachLi p0(X)^∗. 6. On poseC= [

k>1

E_k. La Question VI.5 permet de définir pour toutx∈C R(x)=lim

l→∞Rl(x).

a. Montrer queRest une application linéaire continue deC dansLi p0(X)^∗telle quekRk =1 et β◦R(x)=JX(x) pour toutx∈C(l’applicationβest définie à la Question VI.1).

b. En déduire qu’il existe une application linéaire continueR:X→Li p0(X)^∗telle quekRk =1 et β◦R=JX.

SoientY un espace de Banach etQ :Y →X une application linéaire continue, telle qu’il existe une applicationM-LipschitzienneL :X→Y telle queQ◦L =I dX etL(0)=0. On admettra que l’équation

<S(x),y^∗>=<R(x),y^∗◦L >

oùy^∗∈Y^∗etRest définie à la Question VI. 6. b) ci-dessus, définit une application linéaire continue S:X→Y telle queQ◦S=I dX et telle quekSk6^M.

7. Montrer que siXest un espace de Banach séparable, et s’il existe une isométrieΦdeXdans un espace de BanachY, alorsY contient un sous-espace vectoriel fermé linéairement isométrique àX.