Calculer un développement limité en 0 des fonc- tions suivantes à l'ordre indiqué entre parenthèses :

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements

1.

^(Ede01)

Calculer un développement limité en 0 des fonc- tions suivantes à l'ordre indiqué entre parenthèses :

3 sin 2x − 2 sin 3x (4) ln(1 + x) 1 + x (3)

√

1 + cos x (4)

e ^{sin x} (3) √

1 + tan x (3) sin x

ln(1 + x) (3) tan ² x ² (4) e ^{tan x} (4)

q 1 + √

1 − x (2) Z x

²

x

³

√ dt

t ⁴ + t ² + 1 (10)

2.

^(Ede02)

Montrer que le graphe de f dénie par f (x) = x exp

2x x ² − 1

admet 3 asymptotes que l'on déterminera. Montrer que le signe de f

⁰

est donné par celui d'un polynôme de degré 4 que l'on peut mettre sous la forme

(x ² − ax + 1)(x ² − bx + 1)

3.

(Ede03)

Calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués en utilisant des développements

x ln(x sh 1

x ) en 0 ⁺ , ln(cos 3x) sin ² (2x) en 0, log _x a − log _a x

sh x − sh a en a 6= 1, (1 − e ^x ) sin x x ² + x ³ en 0, e ^−x

sh p

x ² + x − sh p

x ² − x

en + ∞, x ^x − x

ln(1 + √

x ² − 1) en 1 ⁺ , e ^x

²

^+x − e ^2x cos ^πx ₂ en 1,

2 − x a

tan

^πx_2a

en a 6= 0.

4.

(Ede04)

Montrer que, pour tous les x de [−1, +1] ,

arccos x = 2 arcsin

r 1 − x 2

En déduire un développement de arccos en 1. (il s'agit d'un développement de Puiseux : les exposants de 1 − x sont des demi-entiers)

5.

^(Ede05)

Montrer que f (x) = x + ln(1 + x) est bijective de ] − 1, +∞[ dans R. Former un développement limité de la bijection réciproque à l'ordre 3 en 0.

Soit f (x) = 2x − ln(1 + x) , montrer qu'il existe a et b ( a < 0 < b ) telle que la restriction de f sur [a, b] dénisse une bijection ϕ . Former un développement limité de la bijection réciproque ψ en 0 .

De même, montrer que la fonction f dénie par

∀x ∈ R , f (x) = xe ^x

²

est bijective de R dans R. Former un développement limité en 0 à l'ordre 5 de la bijection réciproque.

6.

^(Ede06)

Calculer à l'aide d'un développement limité la va- leur en 0 de la dérivée à l'ordre 6 de

(1 + x sin x) ^{x tan x} et cos x ^{x tan x}

7.

(Ede07)

Soit a un réel, I un intervalle ouvert contenant a et f une fonction C ^∞ (I, R ) . Calculer la limite en 0 de

h → 1

h ³ (f (a + 3h) − 3f (a + 2h) + 3f (a + h) − f (a)) En déduire, pour x > 0 xé, la limite en 0 de

h →

(x + 3h)(x + h) ³ (x + 2h) ³ x

_h¹3

8.

^(Ede08)

Soit ϕ la fonction dénie dans R privé des entiers impairs, périodique de période 2 et telle que

∀x ∈] − 1, 1[: ϕ(x) = x 1 − |x|

a. Montrer que, pour tout n ∈ N ^∗ , il existe un unique x n ∈]2n, 2n + 1[ tel que x n = ϕ(x n ) .

b. Montrer que

x _n = 2n + 1 − 1 2n + 1

2n ² − 1 n ³ + o( 1

n ³ ) 9.

^(Ede09)

Montrer qu'il existe un unique x _n tel que

tan(x _n ) = x _n et x _n ∈ i

− π

2 + nπ, π 2 + nπ h Montrer que

x n = nπ + π 2 − 1

nπ + 1

2πn ² + o( 1 n ² ) 10.

^(Ede10)

Soit (a _n ) _n∈

N une suite de nombres strictement positifs. Montrer l'équivalence entre les propriétés sui- vantes

(a ⁿ _n ) _n∈

N admet une limite nie strictement positive.

(a n ) _n∈

N admet un développement de la forme a n = 1 + a

n + o( 1 n ) pour un certain réel a .

11.

^(Ede11)

Former un développement limité en 0 à l'ordre 101 de la fonction

ln

99

X

k=0

x ^k k!

!

12.

^(Ede12)

Montrer que au voisinage de +∞ , Z x

1

e ^t ln t dt ∼ e ^x ln x

13.

^(Ede13)

Soit a un réel xé et f , g des fonctions continues dénies dans [a, +∞[ et à valeurs strictement positives.

On pose, pour x > 0 , F(x) =

Z x a

f (t) dt G(x) = Z x

a

g(t) dt

On suppose G → +∞ et f négligeable devant g en +∞ .

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements

a. Montrer que F est négligeable devant G en +∞ . b. Application. Pour k entier non nul, on note

f _k (x) = e ^x

x ^k , F _k (x) = Z x

1

f _k (t) dt Former un équivalent en +∞ à F _k . En déduire un développement asymptotique de F ₁ .

14.

^(Ede14)

Calculer un développement limité en 0 à l'ordre 4 de la fonction y vériant

y ⁰⁰ (x) + y ⁰ (x) + y(x) = x sin x y(0) = 0, y ⁰ (0) = 1

15.

^(Ede15)

Montrer que la suite Z 1

0

x ⁿ ln(1 + x ² ) dx

n∈ N

converge vers 0 puis chercher un développement asymp- totique.

16.

^(Ede16)

Soit I = ]0, +∞[ et f une fonction dénie dans I par

f (x) = 1 + x

√ x arctan( √ x)

a. Déterminer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de f .

b. Montrer que f est convergente en 0. Si l est sa limite, on prolonge f à [0, +∞[ en posant f (0) = l . Ce prolongement est-il dérivable à droite en 0 ? c. Déterminer les réels α, β, γ tels que, lorsque x tend

vers +∞ ,

f (x) = α √

x + β + γ

√ x + o( 1

√ x )

Quelle est la courbe simple asymptote au graphe de f ?

17.

^(Ede17)

Soit n ≥ 2 entier.

a. Montrer que, x ⁿ − nx + 1 = 0 n'a qu'une solution dans ]0, 1[ (notée α n ).

b. Trouver une suite simple (u n ) _n≥2 équivalente à (α n ) n≥2 .

c. Trouver une suite simple équivalente à (α n − u n ) n≥2 .

18.

^(Ede18)

Trouver un équivalent simple à

(

2n

X

k=n

1 k ^k ) n∈ N

^∗

.

19.

^(Ede19)

Soit α, β, γ, δ des nombres réels strictement posi- tifs (avec β < δ ), préciser les n tels que

n ^α , (ln n) ⁿ

^β

, n ^{(ln n)}

^γ

, e ⁿ

^δ

,

(ln(ln n)) ⁿ

^lnn

, (ln n) ⁿ

^ln(lnn)

, (ln n) ⁿ

^lnn

soient dénis. Classer les suites correspondantes relati- vement à la relation de négligeabilité.

20.

^(Ede20)

Montrer que (

n

X

k=0

e ^k

²

) _{n∈ N} ∼ (e ⁿ

²

) _{n∈ N} . 21.

^(Ede21)

Déterminer la limite de la suite

cos nπ

3n + 1 + sin nπ 6n + 1

n

n∈ N

.

22.

^(Ede22)

Déterminer les limites en 0 des fonctions sui- vantes :

e ^{sin x} − e ^{tan x}

sin x − tan x ; (1 + x)

^lnxx

− x

x(x ^x − 1) ; (cos x) ^{cotan x}

²

; f (x) = x ^x ; g(x) = x ^f(x) ; h(x) = x ^g(x) ; sin x

x

_sin¹_x

; (ln(e + x))

^x1

; x ^x

^x

ln x x ^x − 1 ; 1

sin ² x − 1

x ² ; sin (x − sin x)

√ 1 + x ³ − 1 ; (1 + x)

^x1

− e

x .

23.

^(Ede23)

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués :

en π

2 à gauche : ln

2x π

e

^cos1x

,

en e : sin x − sin e

ln x − 1 , en 2 :

2 ^x + 3 ^x 2 ^x+1 + 5

^x2

_2−x¹

, en π

6 : arctan(2 sin x) − ^π ₄

cos 3x , en π

6 :

tan 3x

2 tan 3x

, en 0 :

a ^x ₁ + · · · + a ^x _n n

¹_x

avec les a i > 0.

24.

^(Ede24)

Déterminer les limites en +∞ des fonctions sui- vantes

p ln(x ² + 1) − p

ln(x ² − 1),

x sin 1 x

^x

²

,

tan π

4 + 1 x

x

,

ln(1 + x) ln x

xln x

,

(x + 1)

^x1

− x

^x1

(x ln x) ² x ^x

^x1

− x

, ((x + 1) · · · (x + n))

¹ⁿ

− x, x ²

e

^1x

− e

^x+11

, ln ^a (1 + x) − ln ^a (x) avec a > 0.

25.

^(Ede25)

Déterminer des fonctions simples équivalentes aux fonctions suivantes au point indiqué :

en + ∞ : (sh(x + 1)) ^a − (ch(x + 1)) ^a , en 0 : exp

1 2x ln

ch x cos x

− 1,

en 0 : sin(sh x) − sh (sin x), en 0 : x ^x − (sin x) ^{sin x} , en + ∞ :

arctan(1 + x) arctan x

^x

− 1.

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements

26.

^(Ede26)

Soient u et v des fonctions dénies dans un voisi- nage de 0 , à valeurs positives et qui convergent en 0 vers un réel a > 0 . On suppose de plus que u(x) 6= v(x) pour tous les x en lesquels les fonctions sont dénies. Calculer la limite en 0 de

u ^v − v ^u u − v

27.

(Ede27)

On dénit une nouvelle relation locale (en a ) entre deux fonctions (continues et à valeurs strictement posi- tives). On dit que f et g sont de même ordre en a si et seulement si o(f) = o(g) . C'est à dire qu'une fonction est négligeable devant l'une si et seulement si elle est négligeable devant l'autre.

a. Montrer que deux fonctions qui se dominent mu- tuellement sont de même ordre.

b. Soit h une fonction dénie au voisinage de a à va- leurs positives et non majorée au voisinage de a . Montrer qu'il existe des fonctions ϕ et ψ à valeurs positives, dénies au voisinage de a et telles que h = ϕψ, ϕ − → ^a +∞, ψ ne tend pas vers 0 en a c. Montrer que deux fonctions de même ordre se do-

minent mutuellement.

28.

^(Ede28)

Soient f et g dérivables en 0 vériant f (0) = 1 , g(0) = 0 , g ⁰ (0) 6= 0 . Quelle est la limite en 0 de f

^1g

? 29.

^(Ede29)

Fonction génératrice de la suite de Fibonacci.

On désigne par (Φ n ) _n∈N la suite de Fibonacci dénie par Φ ₀ = 0 , Φ ₁ = 1 et

∀n ∈ N , Φ _n+2 = Φ _n + Φ _n+1 .

On suppose qu'il existe une fonction f de classe C ^∞ dans un intervalle ouvert contenant 0 et admettant à tous les ordres les développements

f (x) =

n

X

k=0

Φ k x ^k + o(x ^k ).

a. Former des developpements en 0 de xf (x), (x + 1)f (x), f (x) − x

x .

b. Quelle relation la fonction f doit-elle vérier ? c. Conclure.

30.

^(Ede30)

Calculer le coecient de x ^k dans un développe- ment limité en 0 de cos ³ x .

31.

^(Ede31)

La fonction tan admet des développements limités à tous les ordres en 0 : on note a _k le coecient de x ^k . Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , a _n+1 = 1 n + 1

n

X

k=0

a _k a _n−k .

32.

^Ede32

Recollement de solutions d'équations diérentielles.

Pour chacune des équations suivantes, on note Z l'en- sembles des réels où la fonction coecient de y ⁰ prend la valeur 0 . On note C l'ensemble des fonctions continues dans R et dérivables dans R \ Z et vériant la relation.

On note D l'ensemble des fonctions continues et déri- vables dans R et vériant la relation.

Pour chaque équation, déterminer C et D . (1) ty ⁰ (t) − y(t) = t ²

1 + t ² (2) t(t ² − 1)y ⁰ (t) + 2y(t) = t ²

(3) (t ² − 1)y ⁰ (t) − ty(t) = 2t(t ² − 1) (4) y(t) − ty ⁰ (t) = 1

33.

^(Ede33)

Justier que la fonction

∀x < 1

4 , x 7→ 1

√ 1 − 4x

admet des développements limités à tous les ordres en 0 . Pour n ∈ N, montrer que le coecient de x ⁿ dans un développement à un ordre plus grand que n est

2n n

. En déduire

X

i+j=n

2i i

2j j

= 4 ⁿ .

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements : corrigés

1.

^(Cde01)

3 sin 2x − 2 sin 3x = 5x ³ + O x ⁵ ln(1 + x)

1 + x = x − 3

2 x ² + 11

6 x ³ − 25

12 x ⁴ + O x ⁵

√ 1 + cos x = √ 2 −

√ 2 8 x ² −

√ 2

128 × 3 x ⁴ + O(x ⁴ ) e ^sinx = 1 + x + 1

2 x ² − 1

8 x ⁴ + O x ⁵

√ 1 + tan x = 1 + 1 2 x − 1

8 x ² + 11

48 x ³ − 47

384 x ⁴ + O x ⁵ sin x

ln(1 + x) = 1 + 1 2 x − 1

4 x ² − 1

24 x ³ + O x ⁴ tan x ^{2 2}

= x ⁴ + o x ⁴ e ^{tan x} = 1 + x + 1

2 x ² + 1 2 x ³ + 3

8 x ⁴ + o(x ⁴ ) q

1 + √

1 − x = √ 2 − 1

4 √

2 x − 5 64 √

2 x ² + o(x ² ) Z x

²

x

³

√ dt

t ⁴ + t ² + 1 = x ² − x ³ − 1 6 x ⁶ + 1

6 x ⁹

− 1

40 x ¹⁰ + o(x ¹⁰ ) 2. pas de correction pour Ede02.tex

3.

^(de03)

x ln(x sh 1

x ) − ⁰ −

⁺

→ 1, ln(cos 3x) sin ² (2x)

− → − 0 9 8 , log _x a − log _a x

sh x − sh a

− → − a 2 a ln a ch a , (1 − e ^x ) sin x

x ² + x ³

− → −1 0

e ^−x sh p

x ² + x − sh p

x ² − x _+∞

−−→ sh 1 2 , x ^x − x

ln(1 + √ x ² − 1)

1

⁺

− − → 0, e ^x

²

^+x − e ^2x cos ^πx ₂

− 1

→ − 2e ² π , 2 − x

a

^tan

^πx_2a

₀

− → e

^π2

. 4. pas de correction pour Ede04.tex

5.

^(Cde05)

à compléter.

Développement de la deuxième fonction : f ⁻¹ (y) = y − y ³ + 5

2 y ⁵ + o(y ⁵ ).

6.

^(Cde06)

D'après la formule de Taylor-Young, si le coe- cient de x ⁶ dans un dl en 0 d'une fonction f ∈ C ⁶ est c , f ⁽⁶⁾ (0) = c 6! .

Calculons ces développements pour (1 + x sin x) ^{x tan x} . 1 + x sin x = 1 + x ² − 1

6 x ⁴ + o(x ⁵ ).

Utilisons ln(1 + u) = u − ¹ ₂ u ² + O(u ³ ) avec u = x ² − 1

6 x ⁴ + o(x ⁵ ) ∼ x ²

⇒ O(u ³ ) = O(x ⁶ ) ⊂ o(x ⁵ ).

On en tire

ln(1 + x sin x) = x ² − 2

3 x ⁴ + o(x ⁵ ) x tan x = x ² + 1

3 x ⁴ + o(x ⁵ )



 

 

⇒

x tan x ln(1 + x sin x) = x ⁴ − 1

3 x ⁶ + o(x ⁷ ).

On termine en utilisant e ^u = 1 + u + O(u ² ) avec u = x ⁴ − 1

3 x ⁶ + o(x ⁷ ) ∼ x ⁴ ⇒ O(u ² ) = O(x ⁸ ) ⊂ o(x ⁶ ).

Donc f ⁽⁶⁾ (0) = − ^6! ₃ = −240 . De même pour (cos x) ^{x tan x} .

cos x = 1 − 1 2 x ² + 1

24 x ⁴ + o(x ⁴ ) ⇒ ln(cos x) = − 1

2 x ² − 1

12 x ⁴ + o(x ⁴ ).

Donc f ⁽⁶⁾ (0) = − ₁₂ ^6! = −80 . 7. pas de correction pour Ede07.tex 8. pas de correction pour Ede08.tex

9.

^(Cde09)

La restriction de t 7→ tan t − t dans un intervalle i − π

2 + nπ, π 2 + nπ h

dénit une bijection strictement croissante à valeurs dans R. Il existe donc un unique x _n dans cet intervalle tel que

tan x _n = x _n .

De − ^π ₂ + nπ < x n < ^π ₂ + nπ on déduit par encadrement x n ∼ nπ .

On pose b n = x n − nπ . Alors

− π

2 < b n < π

2 ⇒ b n = arctan x n .

Comme (x n ) → +∞ , (b n ) → ^π ₂ . On pose c n = b n − ^π ₂ . On sait que (c n ) → 0 c'est à dire c n = o(1) . On a obtenu le développement suivant

x n = nπ + π

2 + c n avec c n ∈ o(1).

Pour tout x > 0 , on a

arctan x + arctan 1 x = π

2 . On en déduit

π

2 + c n = b n = arctan x n = π

2 − arctan 1 x n

⇒ c n = − arctan 1

x _n = − arctan 1 nπ + ^π ₂ + o(1) . On calcule le développement composé pour arctan :

1

nπ + ^π ₂ + o(1) = 1 nπ

1 − 1

2n + o( 1 n )

= 1 nπ − 1

2n ² π + o( 1 n ² ) = u.

arctan u = u + o(u ² ) avec o(u) = o( 1 n ² )

⇒ c _n = − 1 nπ + 1

2n ² π + o( 1

n ² ).

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements : corrigés

On a donc obtenu le développement x n = nπ + π

2 − 1 nπ + 1

2n ² π + o( 1 n ² ).

10.

^(Cde10)

Si a n = 1 + _n ^a + o( _n ¹ ) , on a

ln(a _n ) = ln(1 + a n + o( 1

n )) = a n + o( 1

n )

⇒ n ln(a n ) → a ⇒ a ⁿ _n → e ^a Réciproquement, si a ⁿ _n converge, notons u sa limite.

Alors :

n ln a n → ln u ⇒ ln a n = ln u n + o( 1

n )

⇒ a n = e

^lnun

^+o(

ⁿ¹

⁾ = 1 + ln u n + o( 1

n ) 11.

^(Cde11)

Notons

f (x) = ln

99

X

k=0

x ^k k!

!

D'après le développement en 0 de l'exponentielle à l'ordre 101 :

f (x) = ln

e ^x − x ¹⁰⁰ 100! − x ¹⁰¹

101! + o(x ¹⁰¹ )

= x + ln

1 − e ^−x x ¹⁰⁰

100! − e ^−x x ¹⁰¹

101! + o(x ¹⁰¹ )

car e ^−x → 1 entraîne o(e ^−x x ¹⁰¹ ) = o(x ¹⁰¹ ) . De plus, e ^−x x ¹⁰¹

101! = x ¹⁰¹

101! + o(x ¹⁰¹ ) e ^−x x ¹⁰⁰

100! = x ¹⁰⁰ 100! − x ¹⁰¹

100! + o(x ¹⁰¹ ) On en déduit

f (x) = x + ln

1 − x ¹⁰⁰

100! + 100 x ¹⁰¹

101! + o(x ¹⁰¹ )

= x − x ¹⁰⁰

100! + 100 x ¹⁰¹

101! + o(x ¹⁰¹ ) 12.

^(Cde12)

On transforme par une intégration par parties

Z x 1

e ^t ln t dt = e ^x ln x − Z x

1

e ^t t dt On majore le reste car pour t ≥ 1 , ¹ _t ≤ 1 :

0 ≤ Z x

1

e ^t t dt ≤

Z x 1

e ^t dt = e ^x − e

Cela montre que ce reste est négligeable devant e ^x ln x ce qui prouve l'équivalence demandée.

13.

^(Cde13)

La démonstration ressemble beaucoup à celle du théorème de Césaro.

a. On pose ϕ(x) = ^f(x) _g(x) . À cause de l'hypothèse de né- gligeabilité, cette fonction converge vers 0 en +∞ . On coupe alors F (x) par la relation de Chasles en introduisant un A arbitraire, pour x ≥ A ,

F(x) = F (A) + Z x

A

ϕ(t)g(t) dt

≤ F(A) + ( sup

[A,x]

ϕ)(G(x) − G(A))

≤ F(A) + ( sup

[A,x]

ϕ)G(x) On en déduit

0 ≤ F (x)

G(x) ≤ F (A) G(x) + sup

[A,x]

ϕ

Pour tout ε > 0 , comme ϕ → 0 , on peut xer un A tel que sup _[A,x] ϕ ≤ ^ε ₂ . Pour ce A xé, comme G → +∞ , il existe un B tel que ^F(A) _G(x) ≤ ^ε ₂ pour x ≥ B . On a bien alors :

x ≥ B ⇒ 0 ≤ F(x) G(x) ≤ ε

Ce qui prouve que F est négligeable devant G . b. L'application repose sur la première question et des

intégrations par parties. Il est clair que f k+1 est négligeable devant f k et que F k (x) → +∞ car

F _k (x) ≥ e ^x − e x ^k

Ce qui entraine que F _k+1 est négligeable devant F _k . D'autre part, une intégration par parties conduit à

F k (x) = e ^x

x ^k − e + kF k+1 (x)

En négligeant F _k+1 devant F _k et e devant _x ^e

^xk

, on tire

F k (x) ∼ e ^x x ^k

En intégrant p fois par parties, on arrive à la for- mule :

F 1 (x) = e ^x x + 1! e ^x

x ² + 2! e ^x

x ³ + · · · + (p − 1)! e ^x x ^p + p!F p+1 (x) + (1 + 1! + 2! + · · · + (p − 1)!) e qui est un développement asymptotique.

14.

^(Cde14)

Il n'est pas question d'exprimer la solution du pro- blème de Cauchy pour l'équation diérentielle proposée.

Comme toute solution d'une telle équation est C ^∞ , elle admet un développement de Taylor à tous les ordres.

On écrit des développements avec les hypothèses puis on utilise l'équation

y ⁰⁰ (x) = x sin x − y ⁰ (x) − y(x) pour les améliorer en intégrant.

y ⁰ (x) = 1 + o(1)

y ⁰⁰ (x) = −1 + o(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements : corrigés

On intégre et on recommence

y ⁰ (x) = 1 − x + o(x) y(x) = x + o(x) y ⁰⁰ (x) = −1 + o(x) On intègre encore

y ⁰ (x) = 1 − x + o(x ² ) y(x) = x − x ²

2 + o(x ² ) y ⁰⁰ (x) = −1 + 3x ²

2 + o(x ² ) On intègre encore

y ⁰ (x) = 1 − x + x ³

2 + o(x ³ ) y(x) = x − x ²

2 + x ⁴

8 + o(x ⁴ ).

15.

^(Cde15)

On note I _n =

Z 1 0

x ⁿ ln(1 + x ² ) dx et on encadre

0 ≤ Z 1

0

x ⁿ ln(1 + x ² ) dx ≤ Z 1

0

x ⁿ ln(2) dx = ln(2) n + 1 Ceci assure la convergence vers 0 par encadrement. Pour former un développement, on intègre par parties :

I n = x ⁿ⁺¹

n + 1 ln(1 + x ² ) ¹

0

− Z 1

0

2x ⁿ⁺²

(n + 1)(1 + x ² ) dx

= ln(2) n + 1 − 2

n + 1 Z 1

0

x ⁿ⁺² 1 + x ² dx On peut faire une deuxième intégration par parties

Z 1 0

x ⁿ⁺² 1 + x ² dx =

x ⁿ⁺³ (n + 3)(1 + x ² )

¹

0

+ Z 1

0

2x ⁿ⁺⁴

(n + 3)(1 + x ² ) ² dx

= 1

2(n + 3) + 2 n + 3

Z 1 0

x ⁿ⁺⁴ (1 + x ² ) ² dx On en tire

I n = ln(2)

n + 1 − 1

(n + 1)(n + 3)

− 4

(n + 1)(n + 3) Z 1

0

x ⁿ⁺⁴ (1 + x ² ) ² dx

| {z }

∈O(

_n¹₃

)

par encadrement. Il s'agit bien d'un développement asymptotique.

16.

^(Cde16)

a. Le développement limité de arctan en 0 s'obtient en intégrant celui de sa dérivée _1+x ¹

2

, soit

arctan x = x − 1 3 x ³ + 1

5 x ⁵ + o(x ⁶ ) On en déduit des développements

arctan √ x = √

x − 1 3

√ x ³ + 1 5

√ x ⁵ + o(x ³ ) arctan √

√ x

x = 1 − 1 3 x + 1

5 x ² + o(x

⁵²

) 1 + x

√ x arctan √

x = 1 + 2 3 x + ( 1

5 − 1

3 )x ² + o(x

⁵²

)

= 1 + 2 3 x − 2

15 x ² + o(x

⁵²

) On peut aaiblir en écrivant o(x ² ) pour avoir un véritable développement limité.

b. Le développement montre que f converge vers 1 en 0 . La fonction prolongée est dérivable en 0 car elle admet un développement limité d'ordre 1 en 0 . Sa dérivée en 0 vaut ² ₃ .

c. On sait que pour tous les x réels, arctan x + arctan 1

x = π 2

Cette formule permet d'écrire les développements suivants car ^{√ 1} _x → 0 quand x → ∞ .

f (x) = ( √ x + 1

√ x )( π

2 − arctan 1

√ x )

= ( √ x + 1

√ x )( π 2 − 1

√ x + 1 3x √

x + o( 1 x √

x ))

= π 2

√ x − 1 + ( 1 3 − 1) 1

x + π 2 √

x + o( 1 x )

= π 2

√ x − 1 + π 2 √

x − 2 3x + o( 1

x ) La parabole y = ^π ₂ √

x − 1 est asymptote au graphe de f au voisinage de +∞ . le graphe est au dessus de la parabole à cause du terme + ₂ ^{√ π} _x .

17.

^(Ced17)

a. Pour n ≥ 0 , introduisons la fonction f _n : f _n (x) = x ⁿ − nx + 1 ⇒ f _n ⁰ (x) = n(x ⁿ⁻¹ − 1).

Donc f _n est strictement décroissante dans [0, 1]

avec

f n (0) = 1 > 0 et f n (1) = 2 − n ≤ 0.

On en déduit que f n (x) = 0 admet une unique solution (notée α n ) dans ]0, 1[ .

b. Pour tout ε > 0 xé, considérons (f n (ε)) n≥2 . Il est évident qu'elle tend vers −∞ .

À partir d'un certain rang :

f _n (ε) < 0 ⇒ 0 < α _n < ε.

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements : corrigés

car f n est décroissante. Donc (α n ) _n≥2 → 0 . Par dénition :

nα n = 1 + α ⁿ _n

|{z}

→0

⇒ nα n ∼ 1 ⇒ α n ∼ 1 n . c. On creuse l'idée d'évaluer le signe de la suite des

f n (ε) en remplaçant ε par une expression de n . Pour λ ≥ 1 , formons un développement

1 n + λ

n ^{n+1 n}

= 1 n ⁿ

1 + λ

n ^{n n}

= 1

n ⁿ e

^nnλ−1

^+O(

ⁿ²ⁿ⁻¹¹

⁾ car ln(1 + λ

n ⁿ ) = λ

n ⁿ + O( 1 n ²ⁿ )

= 1 n ⁿ

1 + λ

n ⁿ⁻¹ + O( 1 n ²ⁿ⁻² )

avec e ^u = 1 + u + O(u ² )

= 1

n ⁿ + λ

n ²ⁿ⁻¹ + O( 1 n ³ⁿ⁻² ) On en tire

f n

1 n + λ

n ⁿ⁺¹

= 1 − λ n ⁿ + λ

n ²ⁿ⁻¹ + O( 1 n ³ⁿ⁻² ).

Pour λ = 1 , cette suite est > 0 à partir d'un certain rang. Pour λ > 1 , cette suite est < 0 à partir d'un certain rang.

Pour tout ε > 0 (avec λ = 1 + ε ), à partir d'un certain rang :

1 n + 1

n ⁿ⁺¹ ≤ α n ≤ 1

n + 1 + ε n ⁿ⁺¹

⇒ 1 ≤ n ⁿ⁺¹

α n − 1 n

≤ 1 + ε

⇒ α n − 1 n ∼ 1

n ⁿ⁺¹ . 18. pas de correction pour Ede18.tex

19. pas de correction pour Ede19.tex 20. pas de correction pour Ede20.tex 21.

^(Cli05)

lim _n→∞

cos _3n+1 ^nπ + sin _6n+1 ^{nπ n}

= e

²⁴¹

√ 3π . 22.

^(Cde22)

Limites en 0.

e ^{sin x} − e ^{tan x}

sin x − tan x → 1, (1 + x)

^lnxx

− x x(x ^x − 1) → − 1

2 (cos x) ^{cotan x}

²

→ e ⁻

¹²

, x ^x

^x

ln x

x ^x − 1 → 1, (ln(e + x))

^1x

→ e

^1e

,

sin x x

_sinx¹

→ 1, x ^x → 1, x ^x

^x

→ 0, x ^x

^xx

→ 1, sin x

x

_sin¹_x

→ 1, (ln(e + x))

^x1

→ e

^1e

, x ^x

^x

ln x

x ^x − 1 → 1, 1 sin ² x − 1

x ² → 1 3 , sin (x − sin x)

√

1 + x ³ − 1 → 1

3 , (1 + x)

^1x

− e

x → − e

2

23.

^(Cli07)

Limites aux points indiqués.

en π

2 à gauche : ln 2x

π

e

^cos1x

→ 0,

en e : sin x − sin e

ln x − 1 → e cos e, en 2 :

2 ^x + 3 ^x 2 ^x+1 + 5

^x2

_2−x¹

→ 2

¹³⁴

3 ⁻

¹³⁹

5

²⁶⁵

, en π

6 : arctan(2 sin x) − ^π ₄

cos 3x → −

√ 3 6 , en π

6 :

tan 3x

2 tan 3x

→ 1 e . 24.

^(Cde24)

p ln(x ² + 1) − p

ln(x ² − 1) −−→ ^+∞ 0,

x sin 1 x

x

²

−−→ +∞ e ⁻

¹⁶

,

tan π

4 + 1 x

x

−−→ +∞ e ² , ln(1 + x)

ln x

^{x ln x}

−−→ +∞ e

(x + 1)

^x1

− x

^x1

(x ln x) ² x ^x

^x1

− x

−−→ +∞ 1 Pour la dernière fonction

(x + 1) · · · (x + n) = x ⁿ (1 + 1 x )(1 + 2

x ) · · · (1 + n x ) =

= x ⁿ

1 + n(n + 1) 2x + o( 1

x )

On en déduit (car n est xé) ((x + 1) · · · (x + n))

ⁿ¹

= x

1 + n(n + 1) 2x + o( 1

x )

¹_n

= x

1 + (n + 1) 2x + o( 1

x )

La limite cherchée est donc ⁿ⁺¹ ₂ . x ²

e

^x1

− e

^x+11

→ à compléter ,

ln ^a (1 + x) − ln ^a (x) → à compléter a > 0.

25.

^(Cde25)

à compléter en + ∞ :

arctan(1 + x) arctan x

x

− 1 ∼ 2 πx . 26.

^(Cde26)

Appliquons le théorème des accroissements -

nis à la fonction exponentielle entre v(x) ln(u(x)) et u(x) ln(v(x)) .

Il existe w _x entre ces deux nombres tel que u(x) ^v(x) − v(x) ^u(x)

= e ^w

^x

(v(x) ln(u(x)) − u(x) ln(v(x)))

= e ^w

^x

u(x)v(x)

ln(u(x))

u(x) − ln(v(x)) v(x)

.

Lycée Hoche MPSI B Feuille Développements : corrigés

Appliquons le théorème des accroissements nis entre u(x) et v(x) à la fonction

t 7→ ln t t

Il existe z x entre ces deux nombres tel que u(x) ^v(x) − v(x) ^u(x)

= e ^w

^x

u(x)v(x) 1 − ln(z x )

z _x ² (u(x) − v(x)) . On peut alors simplier u(x) − v(x) et

u(x) et v(x) → a w x → a ln a

z _x → a



 

 

⇒ u ^v − v ^u u − v

→ e ^{a ln a} (1 − ln a) = a ^a (1 − ln a).

27.

^(Cde27)

à compléter a. Facile

b. Pour xer les idées, plaçons nous dans un intervalle ]a, b] . Posons

∀x ∈]a, b], ϕ(x) = max

[x,b]

f, ψ(x) = h(x) ϕ(x) C'est possible car f est continue sur le segment [x, b] donc bornée et atteignant ses bornes.

c. On doit montrer

o(f ) = o(g) ⇒ f ∈ O(g) et g ∈ O(f ) On va prouver la contraposée. Supposons f / ∈ O(g) et cherchons à montrer o(f ) 6= o(g) . Soit h = ^f _g , elle n'est pas localement majorée en a . Considérons les fonctions ϕ et ψ de la question b.

f

g = ϕψ ⇒ f ϕ = ψg Notons u cette fonction

1

ϕ → 0 ⇒ u ∈ o(f )

ψ ne converge pas vers 0 ⇒ u / ∈ o(g) 28. pas de correction pour Ede28.tex

29. pas de correction pour Ede29.tex 30.

^(Cde30)

On linéarise :

cos ³ x = 1

4 (cos 3x − 3 cos x) .

Notons c k le coecient de x ^k . Si k est impair c k = 0 . Si k est pair :

c k = (−1)

^k2

4

3 ^k − 3 k!

= (−1)

^k2

3 ^k−1 2 k! . 31. pas de correction pour Ede31.tex

32.

^(Cde32)

Équation (1) : Z = {0} . f ∈ C ⇔ ∃(λ, µ) ∈ R ² tq

f (t) =

( (λ + arctan t)t si x ≤ 0 (µ + arctan t)t si x ≥ 0 f ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R tq f (t) = (λ + arctan t)t.

Équation (2) : Z = {−1, 0, 1} . Dans chacun des trois intervalles, les solutions sont les

t 7→ t ²

t ² − 1 (ln |t| + λ) .

En 0 , ces fonctions sont des o(t) . On peut prolonger par continuité en 0 avec la valeur 0 et la fonction ainsi prolongée est dérivable de nombre dérivé 0 en 0 . On forme des développements asymptotiques en 1 .

t ²

t ² − 1 = 1

2(t − 1) + 3 4 + 1

8 (t − 1) + o(t − 1).

t ²

t ² − 1 ln |t| = 1 + (t − 1) + o(t − 1).

La convergence en 1 se réalise si et seulement si λ = 0 . Par parité, la situation est analogue en −1 . On en déduit

C = D =

t 7→ t ² t ² − 1 ln |t|

.

La dérivabilité en 1 vient du développement limité à l'ordre 1 .

Équation (3) : Z = {−1, 1} . f ∈ C ⇔ ∃(λ ₋ , λ, λ + ) ∈ R ³ tq

f (t) =



 



 



2(t ² − 1) + λ ₋ p

t ² − 1 si x ≤ −1 2(t ² − 1) + λ p

t ² − 1 si − 1 < x ≤ 1 2(t ² − 1) + λ +

p t ² − 1 si − 1 < x ≤ 1 .

Comme la racine carrée n'est pas dérivable en 0 , D =

t 7→ 2(t ² − 1) . Équation (4) : Z = {0} .

f ∈ C ⇔ ∃(λ, µ) ² tq f (t) =

( 1 + λt si t ≤ 0 1 + µt si 0 ≤ t . D = {t 7→ 1 + λt, λ ∈ R } .

33. pas de correction pour Ede33.tex