Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
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Feuille d’exercices 5
Exercice 1. Etudier l’existence et la valeur éventuelle de la limite en l’origine pour les fonc- tions suivantes :
f
1( x, y ) = x
2
y
x
2+ y
2, f
2( x, y ) = x
5
y
3x
6+ y
4, f
3( x, y ) = xy
6
x
6+ y
8, f
4( x, y ) = sin
3
x
sin
2x + y
2cos
2x , f
5( x, y ) = x sin y − y sin x
x
2+ y
2, f
6( x, y, z ) = xyz x
2+ y
2+ z
2, f
7( x, y, z ) = x
3
y
3z
2x
6+ y
8+ z
10 , f
8( x, y, z ) = x
3
y
2z
2x
6+ y
8+ z
10.
Exercice 2. Etudier l’ensemble de continuité des fonctions f : R
2→ R suivantes :
(a) f ( x, y ) =
( x
2+ y
2) sin 1
xy , xy 6= 0,
0, xy = 0,
(b) f ( x, y ) =
x
4, y > x
2, y
2, y ≤ x
2.
Exercice 3. Pour les applications suivantes, étudier l’existence et la continuité des dérivées partielles :
f
1( x, y ) =
( x
2+ y
2) sin 1
p x
2+ y
2, ( x, y ) 6= ( 0, 0 ) , 0, ( x, y ) = ( 0, 5 ) , f
2( x, y ) =
sin ( x
3+ y
3)
x
2+ y
2, ( x, y ) 6= ( 0, 0 ) , 0, ( x, y ) = ( 0, 0 ) , f
3( x, y ) =
x
6x
2+ ( y − x )
2, ( x, y ) 6= ( 0, 0 ) ,
0, ( x, y ) = ( 0, 0 ) ,
f
4( x, y ) = x
2| y | .
Exercice 4. Pour chacune des fonctions f
jsuivantes, donner le développement limité du premier ordre et écrire l’équation du plan tangent à son graphe en point indiqué :
f
1( x, y ) = sin 2x + sin ( x + 2y ) en ( 0, 0 ) , f
2( x, y ) = sin ( x − y ) + cos ( x + sin y ) en ( π / 4, π / 4 ) , f
3( x, y ) = e
x−ysin ( x + y ) en ( π / 2, π / 2 ) , f
4( x, y ) = ln e
x+y+ x cos y ) en ( 0, 0 ) .
Exercice 5. Soit f une fonction de classe C
2. Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes :
1. u ( x, y ) = f ( x
2+ y
2) , 2. u ( x, y ) = f ( x
2y
2) , 3. u ( x, y ) = f ( x, x / y ) , 4. u ( x, y ) = f ( xy, x + y ) , 5. u ( x, y ) = f ( xy, xy ) ,
6. u ( x, y ) = f ( x + y, x
2+ y
2) .
Exercice 6. (a) Soit u = u ( x, y ) une fonction de classe C
2. Reécrire les expressions suivantes en utilisant la fonction f ( r, θ ) = u ( r cos θ, r sin θ ) :
(1) x ∂u
∂y − y ∂u
∂x , (2) x ∂u
∂x + y ∂u
∂y , (3) ∂u
∂y
2+ ∂u
∂x
2, (4) ∆u : = ∂
2
u
∂x
2+ ∂
2
