EPFL 31 mars 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 18
L'exercice 6 est à rendre le 7 avril au début de la séance d'exercices.
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie.
Exercice 1. Un opérateur T ∈L(V)est dit nilpotent s'il existe un entier k tel que Tk = 0. (a) Déterminerspec(N) pourN nilpotent.
(b) Supposons queN est diagonalisable et nilpotent. Montrer que N = 0. Exercice 2. Soient F=C,T ∈L(V)et p∈P(C). Montrer que
spec(p(T)) =p(spec(T))
oùp(spec(T)) := {p(λ)|λ∈spec(T)}. Trouver un contre-exemple pour F=R.
Exercice 3. Soit F=Cet T ∈L(V). Montrer qu'il existe un sous-espace invariant sous T de dimension k pour toutk ∈ {0, . . . ,dim(V)}.
Exercice 4. Soit T: P2(R)→P2(R)l'opérateur linéaire déni par T(q(t)) = (2t+ 1)q(t)−(t2−1)q0(t) ∀q∈P2(R).
(a) Montrer que T est bien déni.
(b) Montrer que T est diagonalisable.
(c) DéterminerTn(q)pour q∈P2(R) etn ∈Nquelconques.
Exercice 5.
(a) On considère l'application α: Pn(R) → R, dénie par p 7→ R1
0 p(t)dt. Montrer que α est une forme linéaire sur Pn(R).
(b) Pour i∈ {0, ..., n}, on note αi l'application αi: Pn(R)→R, p7→ p(i/n). Montrer que αi est une forme linéaire sur Pn(R)et que la famille (α0, ..., αn) est une base de Pn(R)]. (c) En déduire qu'il existe (λ0, ..., λn)∈Rn+1 tel que
Z 1
0
p(t)dt =
n
X
i=0
λip(i/n)
pour toutp∈Pn(R).
Pour les exercices suivantes, V est supposé muni d'un produit scalaire h−,−i: V ×V → F arbitraire et les espaces vectoriels Fn (n≥1) du produit scalaire usuel.
Exercice 6. Trouver les adjoints des applications linéaires suivantes : (a) T ∈L(R2); T(x, y) = (x+y, y).
(b) Fixer w~ ∈V ; T ∈L(V,F); T ~v =h~v, ~wi. (c) T ∈L(Fn); T(z1, . . . , zn) = (0, z1, . . . , zn−1).
Exercice 7. Supposons que T ∈L(V) et λ∈ F. Montrer que λ est une valeur propre de T si et seulement si ¯λ est une valeur propre deT∗.
Exercice 8. Supposons que T ∈ L(V) et U est un sous-espace de V. Montrer que U est invariant par rapport à T si et seulement si U⊥ est invariant par rapport àT∗.
