EPFL 22 mars 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 18
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
L’exercice 4 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 29 mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. 1. Calculer la distance dev= (2,−1,0,1,1)∈R5 au sous-espace
U :=
(x1, x2, x3, x4, x5)∈R5
x1+x2−x3+x4+x5 = 0, x1−x3+x4 = 0 .
2. Trouver un polynôme p de degré 3, qui soit une meilleure approximation sur l’intervalle [−π, π] de la fonction sin, dans le sens oùRπ
−π(sin(t)−p(t))2dt soit le plus petit possible. Dessiner les courbes de p, de la fonctionsin et de son approximation de Taylorq:R→R,q(t) =t−t63 sur l’intervalle[−π, π].
Exercice 2. On considère le système d’équations linéaires
x−y = −1 x−4y = 2 2x+y = 4
1. Montrer que le système est inconsistant et trouver le système normal associé.
2. Utiliser la méthode des moindres carrés pour trouver une solution approximative.
Exercice 3. 1. SoitU = span((1,1,0,0),(1,1,1,2))⊂R4. Trouver, en utilisant la méthode des moindres carrés,u∈U qui minimise ku−(1,2,3,4)k.
2. Trouver l’équation de la droite donnée par la méthode des moindres carrés pour l’ensemble
{(0.5,2.1),(1.0,2.4),(2.5,2.8),(4.0,3.4)}.
Faire un dessin des quatre points et de la droite obtenue.
3. Appliquer la méthode des moindres carrés pour trouver uneparaboley=ax2+bx+cqui soit la meilleure approximation à l’ensemble
{(−2,8.4),(−1,2.7),(0,0.8),(1,3.1),(2,9.2)}.
Exercice 4. Soit V leR-espace vectorielP3(R) muni du produit scalaireφ:P3(R)×P3(R)→ Rdéfini par φ(p, q) =Rπ
−πp(t)q(t)dt. Soit T :V →V l’application linéaire définie parT(p) =p0+p pour tout p∈P3(R), oùp0 est la dérivée de p.
1. Calculer la matrice de T par rapport à la base canoniqueB= (1, X, X2, X3)de P3(R).
2. Trouver une base orthonormale C de P3(R) telle que [T]C,C soit triangulaire supérieure et déterminer [T]C,C.
3. Trouver des sous-espaces vectoriels V0 ⊆V1⊆V2 ⊆V3⊆V4 deP3(R) tels quedimVi=ietT(Vi)⊆Vi pour chaquei.
4. Soit maintenant S : V → V définie par S(a+bX+cX2 +dX3) = bX+ 2cX2+ 3dX3. Déterminer [S]B,B et toutes les valeurs propres de S. Donner un vecteur propre pour chacune des valeurs propres trouvées.
