D.S. DE MATHEMATIQUES (5)

D.S. DE MATHEMATIQUES (5)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l'épreuve. DUREE : 2 H 00

I- Soientun nombre réel,un complexe et. Quelle est la transformation dont l'écriture complexe est _z'−=e^i_{z−}. Démonstration.(2 points)

II-QCM : Cocher les cases Vrai ou Faux aux questions suivantes.(2 points)

Règle du jeu :0 faute : 2 points. 1 faute : 1 point. 2 fautes : 0,5. 3 ou 4 fautes : 0 point.

Soit f la fonction définie surℝpar fx=x²e^−x, f 'sa fonction dérivée et C sa courbe représentative.

1. Pour tout x réel,on a f 'x=2 x e^−x. V F 2. La fonction f est strictement décroissante surℝ. V F

3. La fonction f admet un minimum pour x=2. V F

4. C admet pour tangente l'axe des abscisses. V F

III-On fait passer un courant d'intensité constante dans un conducteur. Par effet Joule, ce conducteur s'échauffe et on notetsa température en degrés Celsius à l'instant t (en secondes). On suppose qu'à la mise sous tension, à l'instant t=0, la température du conducteur est égale à 0°C. Le bilan

énergétique se traduit par l'équation différentielle :

'20 k=2

où k est une constante qui dépend du conducteur et du milieu ambiant.

1. Cas où k = 0

On suppose que le conducteur est parfaitement isolé, c'est-à-dire k = 0.

a. Déterminer t en fonction de t.

b. Tracer la courbe ^C0 représentant cette fonctiondans un repère orthogonal.

(Choisir comme unités : 1 cm pour 2 s en abscisses, 1 cm pour 2° C en ordonnées) c. À quel instant la température du conducteur atteint-elle 20^° C? On pourra donner une approximation graphique.

2. Cas où k≠0

On suppose que le conducteur n'est pas thermiquement isolé et que _{k=5 ×10}⁻³ a. Démontrer que, pour tout t0,

t=201−e^{−0,1 t} b. Étudier la limite deen ∞.

c. Donner une équation de la tangente à l'origine de la courbe C représentantdans un repère orthogonal.

d. Dresser le tableau des variations desur[0 ;∞[.

e. Tracer la courbeC, représentant cette fonction_sur le même graphique que précédemment.

IV-Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O,u ,v,(unité graphique 2 cm), on donne les points A, B et C d'affixes respectives:a=2, _b=1−i



Pour chaque point M du plan, d'affixe z, ^M1 désigne l'image de M par la rotation de centre O et d'angle

3 , puisM'd'affixe z' l'image de^M1 par la translation de vecteur−2 u. Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M'.

1. a. Déterminer la forme exponentielle de b .

b. Placer les points A et C, construire le point B puis le pointC 'image de C par T.

2. a. Démontrer que, pour tout complexe z: : z'=



^



b. Déterminer l'affixe c' du point C'.

c. Déterminer la forme algébrique du quotient c ' c

d. En déduire que le triangle OCC' est rectangle et calculer son aire, en cm².

e. Déterminer le point ayant pour image le point O par la transformation T.

3. On pose z=xi y, avec x et y réels.

a. Pour z non nul, démontrer que la partie réelle du quotient z '

z est :ℜ





b. Démontrer que l'ensemble (E) des points M du plan, tels que le triangleOMM'soit rectangle en O, est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points.

Tracer (E).