Correction du Travaux Dirige s N°1

A.U. :2013-2014 42

Correction du Travaux Dirige s N°1

* Exercice 1:

En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points A et C on trouve :



C A



eau A

C p g Z Z

p   . . 



h x



g p

p_C  _A_eau. . 

En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points C et D on trouve :



D C



mercure C

D p g Z Z

p    . . 

 

^h

g d

p

p_D  _C  _eau. .



^{h x}



^{d g}

 

^h

g p

p_D  _A_eau. .   _eau. .



^d



g h

x g p

p_D  _A_eau.   _eau. .1

En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points D et B on trouve :



_{B D}



eau D

B p g Z Z

p   . .  y

g p

p_B  _D _eau. .



d



g y

g h

x g p

p_B  _A_eau.   _eau. .1 _eau. .



x y



h g



d



g p

p_B  _A_eau.    _eau. .1

 

 



d



g

y x g p

h p

eau eau A B









 

1 . .

.





AN : h1,272 m.

* Exercice 2:

On a :

p

N =

p

M + l.g. h

Avec : , (le poids du cylindre A est négligeable), L’équation devient :



(

)

AN : on trouve pour g = 9.81 m/s² : F

= 377.685 N

.

* Exercice 3:

1/- Détermination de l’intensité de la force de pression agissante sur la surface AB : On a F = .g.hG.S avec hG = 4,7m et S = (AB) x l = 5 m²

D’où F = 235 KN.

A.U. :2013-2014 43 - Détermination de la position de la force de pression :

On a _G

G Gy

C Z

S Z Z  I 

. avec

12 ) .(AB ³ I_Gy  l

D’où ZC = 4,77 m.

2/- Détermination de la force totale de pression qui s’exerce sur la face inférieure BC du réservoir :

On a F1 = .g.hG1.S1 avec hG1 = 5,7m et S1 = (BC) x l = 15 m² D’où F1 = 855 KN.

3/- Détermination de la force totale de pression qui s’exerce sur la face supérieure AD du réservoir :

On a F₂ = .g.h_G2.S₂ avec h_G2 = 3,7m et S₂ = S₁-A = 14,9 m² D’où F2 = 551,3 KN.

4/- Détermination du poids total de l’eau dans le réservoir : On a P = .g.VT avec VT = l x S1 + A x (DE)

D’où P = 303,7 KN.

* Exercice 4:

1/- Détermination de la résultante des efforts de pression R₁ : On a R gh_G S_AB x

. .

.

₁

1

  

avec

1 2

1

A AB O

h_G   et S_AB = AB x l D’où R1 = 840 KN.

2/- Détermination du centre de poussée de la résultante de pression R₁ :

On a ₁

1

1 _G . _AB ^G

Gx

C Z

S Z

Z  I  avec

12 ) .(AB ³ I_Gx  l et

1 2

1

A AB O

Z_G   et S_AB = AB x l D’où Z_C1 = 7,42 m.

3/- Détermination de la résultante des efforts de pression R₂ : On a R gh_G S_CD x

. .

.

₂

2

 

avec .sin(45)

3 2

2

h CD

h_G  _C  et S_CD = (CD x DQ)/2.

D’où R2 = 699,41 KN.

A.U. :2013-2014 44 4/- Détermination du centre de poussée de la résultante de pression R₂

:

On a ₂

2 2

2 _G . _CD ^G

G

C Z

S Z

Z  I  avec

36 .h³

I_Gx  b et .sin(45)

3 2

2

Z CD

Z_G  _C  et SCD = (CD x DQ)/2.

D’où Z_C2 = 6,17 m.

5/- Détermination des deux composantes

R 

2x

et

R 

2z

: On a

R 

^2x

=

R 

^2z

= R₂

x sin (45) D’où R2x = R_2z = 494,55 KN.

* Exercice 6:

1/- Détermination de l’intensité de la force de pression exercée par le liquide 1 sur la surface carrée :

n S h g

F 

_G













1 1

1



avec : S a²

sin   

2

1

 



 



 



AB

OA

h_G

D’où :

    



 



   





   sin 

sin 2

2 1

1

OA a a g F

AN :

F₁ 12,219 KN .

2/- Détermination de la position du centre de poussée Cp1 sur l’axe

z 

: On a

 

1 1

2 1

sin

1 G

G Gy Cp

Cp h

S h h I

Z





 

 

avec :

12 a4

I_Gy 

sin   

2

1

 



 



 



AB

OA

h_{G où}

  sin OA 2

Sa²

AN :

Z 3,07 m

Cp1  .

A.U. :2013-2014 45 - Détermination de la position du centre de poussée Cp1 sur l’axe z₁

:

  sin

Z Z^Cp1

Cp1 1

AN :

Z 3,179 m

Cp1 .

3/- Détermination de l’intensité de la force de pression exercée par le liquide 2 sur la surface carrée :

n S h g

F2 2 G2

 















avec : S a²

sin   0 , 5

2

2

  



 



 



OA ^AB



h_G

D’où :

    



 



    





 sin 0 , 5

sin 2

2 2

2



g a OA



^a



F

AN :

F₂ 83,841 KN .

4/- Détermination de la position du centre de poussée Cp2 sur l’axe z₁ :

On a _1G1

G1 1

Gy Cp1

1 Z

S . Z

Z  I 

avec :

12 I a

4

Gy 

2 OA AB

Z1G1   où

  sin OA 2

Sa²

AN :

Z 3,17 m

Cp1

1  .

- Détermination de la position du centre de poussée Cp1 sur l’axe z :





Z sin ZCp1 1Cp1

AN :

Z 3,06 m

Cp1 .

A.U. :2013-2014 46

* Exercice 7:

1/- Bilan des actions extérieures :

Le solide est soumis à son propre poids :

P

et à la poussée d’Archimède :

P

A

A l’équilibre :

P

+

P

^A =

0

 P^A  P ;

La poussée d’Archimède :

P

A

 m

eau

 g  ρ

eau

 v

eau

 g

Avec

(1)

4 D l 2 1 2 V

V

^eau



^t

   

²

Le poids du tronc :

P  m

t

 g  ρ

t

 v

t

 g

Avec

( 2 )

4 D l

V

^t

  

²

En égalisant entre (1) et (2) on aura :

500 Kg/ m 2

ρ ρ

t



^eau



³.

2/- A l’équilibre :

P

+ PA + F1 =

0

 P  F¹ - P^A  0 (3) La poussée d’Archimède :

P

A

 m

eau

 g  ρ

eau

 v

eau

 g

;

Avec

( D - d )

l 4 2 1 2 V

V

eau



^t

   

^{2 2}

Le poids du tronc :

( D - d )

l 4 ρ g ρ v g m

P 

^t

 

^t



^t

 

^t



g

   

^{2 2} ; Compte tenu de l’équation (3) :

ρ) 2 (ρ d ) - D 4 ( g l P - P

F¹  ^A    ^{2 2}  ^eau  ^t ; or

F 0

2 ρ ρ

eau 1

t

  

3/- On a P  F² - P^A  0 ;

. N 1560 ρ) (ρ d ) - D 4 ( g l P - P

F²  ^A    ^{2 2}  ^eau ^t 